一般OTC合同中的随机切换控制模型

（5） 鉴于对价格和股息流程的这些定义，我们能够对双边CVA（在给定时间t）BCV at=Srft陈述以下一般定义- 圣 T∈ [0，T]。作为交易对手无风险和风险价格过程/NPV之间的差异。让我们陈述以下关于双边CVA的主张。提案2.2.3（双边CVA）。双边交易对手风险（X；a；Z；τ）到期的可违约索赔的双边CVA过程满足以下关系bcv At=CV At- DV At=BtEQ*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - 红细胞（Srfτ）-燃气轮机+- BtEQ*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ）+燃气轮机（6） 每一个t∈ [0，T]，Rici在哪里∈ {A，B}是交易对手回收率（过程）。证据命题证明遵循Bielecki，Cialenko&Iyigunler（2011）命题2.9的相同简化路线。让我们注意一下（例如，见Brigo et al.（2010）），如果违约因素和违约强度之间存在独立性，CVA过程可以用EPE-andENE表示为以下BCV At=BtEQ*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ）+- BtEQ*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - 红细胞（Srfτ）-= BtZ]t，t]B-1sEP EsQ*（τA）∈ ds，s≤ τB）- BtZ]t，t]B-1sEN EsQ*（τB）∈ ds，s≤ τA）（7）对于t∈ [0，T]从框架部分我们知道*（τi）∈ ds，s≤ τi）=λit:=G-1（t）Q*（t=τi）∈ dt），即交易对手违约强度。就CSA而言，一般而言，它可以被描述为theOTC合同的一个明确部分，旨在通过定义双方在基础索赔期限内的担保协议来降低交易对手风险。

这在很大程度上被用来降低巴塞尔委员会对投资组合风险的资本要求，并为CVA收费提供更具竞争力的价格。如前所述，这种类型的协议通常包含许多因素、条款和事件，这些因素、条款和事件的建模非常复杂（详见Gregory（2011）。现在，让我们概括一下CSA对CVA的定义。定义2.2.4（抵押品账户/流程）。让我们用Γifor i={A，B}和正最小值来定义A合同的双边CSA。从B的角度来看，该公式是对称的，只是标志符号。这种正交性假设将在实现和数值计算部分有用。现在，由于中央清算的不同，以减轻交易对手的风险，作为第三方，本协议将中央清算视为交易的担保。MT A的金额。抵押品处理成本：[0，T]→ R是一个随机的Ft适应过程，定义如下collt={Srft>ΓB+MT a}（Srft- ΓB）+{Srft<ΓA-MT A}（Srft）- ΓA），（8）在时间集{t<τ}上，和collt={Srfτ->ΓB+mta}（Srfτ-- ΓB）+{Srfτ-<ΓA-MT A}（Srfτ）-- 集合{τ上的ΓA），（9）≤ t<τ+t} 。定义2.2.5（CSA结清现金流）。让我们来确定回收率∈ {A，B}A G-可预测过程设为正常数，无抵押标记为θt=Srft- Collt（对于t=τ）。CSA结算现金流是实际价值的leftlimited Gτ--可测量过程定义如下：CFCSAT=Collt+{t=τB}（RBcθ+t- θ-（t）-{t=τA}（RAcθ）-T- θ+t）-{t=τA=τB}θt）。通过使用这些定义，并遵循命题2.2.3的相同证明线。这个命题表明。提案2.2.6（CVA（双边）与CSA）。

到期日为T且通过部分抵押减轻的可违约债权的双边CVA满足以下关系BCV ACSAt=BtEQ*{t<τ=τB≤T}B-1τ(1 - 红细胞（Srfτ）- Collτ）-燃气轮机- BtEQ*{t<τ=τA≤T}B-1τ(1 - RAc）（Srfτ- Collτ）+燃气轮机(10)T∈ [0，T]，其中第一项是（单边）CVA，第二项是DVA（抵押）。在CSA完全/完全抵押的情况下，例如CollP erft，当保证金日期之间的差值tm=tm- 商标-1.趋于零，相关CSA中未定义阈值和最低转让金额。这意味着CollP erft始终等于market，即标的索赔的（无违约）价格过程Srft，也就是正式的（采用定义2.2.4）CollP erft={Srft>0}（Srft- 0）+{Srft<0}（Srft- 0）=Srft T∈ [0，T]，在{T<τ}上。（11） andCollP erft=Srfτ- T∈ [0，T]，关于{τ≤ t<τ+δt}（12）然后，通过插入CSA现金流定义2.2.5中的最后一个关系，很容易得到SCFCSAT=CollP erft t=τ∈ [0，T]。（13） 在文献中，根据CSA规定和模型选择，该过程也被认为是可预测的，或通常适用于Gt。实际上，CSA结清现金流将不再有意义，因为交易对手的风险已被完美的抵押品归零，事实上，2.2.3中定义的CVA变成了BCV ACollP erft=BtEQ*{t<τB≤T}（0）|Gt- BtEQ*{t<τA≤T}（0）|Gt= 0T∈ [0，T]（14）这意味着bcv ACollP erft=Srft- St=0==>St=SrftT∈ [0，T]（15）即索赔的违约价格和无风险价格之间的相等。现在，我们已经准备好定义切换类型的或有机制，我们假设在我们的模型中，切换类型会困扰各方。

可以将其视为零抵押和完美抵押的混合，很自然地对其进行建模（从下一节中可以更清楚地看到），引入切换指标zjand乘以τjj，对于j=1，M，即影响——作为代理人控制——系统动态，从而影响所涉及的过程，尤其是抵押品过程。让我们只考虑两种可能的转换机制（但也可以很容易地推广到部分抵押的情况），这样指标将只取两个值，比如zj={0，1}：o当zj=1时，抵押为空，没有抵押处于活动状态，这意味着完整的BCVA（没有CSA）；o而对于zj=0，我们有一个完全/完全抵押的CSA（将BCVA归零）。因此，正如之前所做的那样，我们给出了抵押品和CVA过程的主要定义，这些定义现在也依赖于这些需要优化确定的开关控制{τj，zj}mj=1变量。如何，这将是下一节的主题。定义2.2.7（或有抵押品流程）。或有抵押品集合的盗窃适应过程可在任何时间确定∈ [0，T]和每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M，切换指示器zjan和默认时间τ（定义为min{τA，τB}），asfollowsCollCt=Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤集合{t<τ}上的{t<τ}（16）上的t<τj+1}，且collct=Srfτ-{zj=0}{τj≤t<τj+1}+0{zj=1}{τj≤集{τ上的t<τj+1}（17）≤ t<τ+t} 在这里，我们回顾了从b）点得出的St=CollP erftf结果。使用定义2.2.7以及结算金额和双边CVA的结果，我们很容易得到以下结果。首先，将DCA和SCas设置为刚刚定义的或有CSA的股息和价格过程，我们可以设置DCT=Drft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+Dt{zj=1}{τj≤t<τj+1}SCt=Srft{zj=0}{τj≤t<τj+1}+St{zj=1}{τj≤t的t<τj+1}∈ [0，T∧ τ ].

从这些关系中，很容易恢复偶然情况下双边CVA过程的一般公式，如下所示：- SCt=Srft- （Srft{zj=0}{τj）≤t<τj+1}+St{zj=1}{τj≤t<τj+1}）=0{zj=0}{τj≤t<τj+1}+BCV在{zj=1}{τj≤t<τj+1}，因此以下定义是适定的。定义2.2.7（BCVA和或有CSA）。与转换型或有CSA签订的合同的双边CVA，BCV激活了针对任何时间t定义的Gt适应流程∈[0，T]，对于每个切换时间τj∈ [0，T]和j=1，M、 切换指示器zjand defaulttimeτ（如上定义），如下所示{zj=1}{τj时BCV ACt=BCV≤t<τj+1}+0{zj=0}{τj≤t<τj+1}，f或t∈ [0，T∧ τ]，（18），其中BCV A的表达式已知于命题2.2.3。最后，我们注意到，只有当抵押活跃时，CSA结算现金流才不同于零，即isCfCSAt=CollCτ t=τ∈ [0，T]。备注2.2.8。我们强调，所有这些过程通常都是c\'adl\'ag半鞅，很难处理它们的动力学，这些动力学也是递归的，非线性的，受代理切换控制的影响。在下一节中，我们将从随机控制的设置中看到简化问题分析所需的工作假设。2.3使用CVA和抵押品进行融资。融资问题以及如何在衍生产品的定价和套期保值，尤其是可违约债权的整个问题中建模，是文献中的主要主题之一（Brigo et al.（2011）对该问题进行了清晰的分析）。关于我们的问题，我们假设存在一个由外部出资人持有的现金账户，比如CF undt 0，这可能是正面的，也可能是负面的，取决于交易对手在特定交易的价格和对冲中使用的融资（>0）或投资（<0）策略，在我们的案例中也进行了抵押。

包括分析中的资金，这会影响：o与特定交易的对冲组合/策略相关的现金流，尤其是如果对冲不能像违约索赔那样完美，因此交易员需要融资或投资其对冲组合产生的现金盈余与CVA套期保值相关的现金流；这通常包括在整个索赔的对冲组合中与双方确定的抵押品/CSA相关的现金流；例如，当风险敞口超出特定阈值时，交易对手必须公布/接收其在融资/机会成本中产生的共同成本。为了减少与CVA有关的递归问题，我们假设CVA值由交易对手支付，但未设置对冲组合，因此，融资成本为空CF und=0（即融资账户不活跃）。关于与抵押有关的融资问题，在隔离（无再融资）和现金抵押的假设下，我们区分以下情况：1）如果交易对手必须在保证金账户中过账抵押物，她将承受外部出资人申请的融资成本，由借贷利率rborrt=rt+ST表示，即无风险利率加上信贷利差（通常与另一方不同）。

另一方面，交易对手从出资人处获得抵押后的报酬，该报酬通常在CSA中定义为无风险利率加上一些基点，因此我们可以用无风险利率（即rt+bpt）进行近似计算~=rt.显然，我们注意到，上述利率的存在意味着以下融资资产的存在DBBORRT=（rt+st）Bborrtdt（19）dBremt=（rt+bpt）Bremtdt（20）2）相反，让我们考虑调用抵押品的交易对手：如上所述，抵押品是按照“Brem”给定的利率（因为双方的报酬可能不同）生成的，但她不能使用或投资抵押品金额（这是分离的），因此她承受着机会成本，可以用roppt=rt+πt表示，其中π是无风险利率的溢价。因此，我们假设以下资产的存在ToodOppt=（rt+πt）Bopptdt（21）d¨Bremt=（rt+¨bpt）¨Bremtdt（22）上一个定义的目标将从下一小节中更清晰，在下一小节中，我们将通过定义交易对手目标，在第三节中，我们正式定义我们想要解决的仓促转换控制问题。2.4交易对手目标和工作假设概述。现在，我们已经考虑到了或有类型抵押可违约债权的交易对手在确定最佳标准/目标时必须考虑的所有相关要素和变量。如前所述，交易对手被认为是交易对手风险规避者，她希望通过定义或有抵押品/CSA将CVA的负面影响（即另一方违约的成本）降至最低，但她希望以最佳方式决定何时转向部分或全部抵押品化。当然，共同化意味着其他运营成本，比如资金成本。

因此，我们的目标是通过切换时间（和指标）代表的一组控制来确定最佳切换策略，该策略将[0，T]与CVA、抵押贷款和融资相关的总体运行成本以及我们需要建模的瞬时切换成本降至最低。如上所述，这类问题是高度非线性和递归的，因为在部分协同化的情况下，由于CSA结清现金流的存在，CVA过程变得复杂，而CSA结清现金流递归地依赖于控制（切换时间），这使得分析更加复杂。

因此，在接下来的几节中，我们撇开部分抵押，在双重决策案例中分析交易对手的问题：“从零抵押（fullCVA）切换到完全抵押（zero CVA）”（反之亦然）。另一个简化的假设是，CVA套期保值是在不借助资金的情况下实现的。我们在此回顾我们在以下章节分析问题时使用的主要工作假设：Hp 1）分析是在“对称假设”下进行的：交易各方有对称的目标和类似的违约强度，以减少问题维度（这是一个在数值部分特别有用的工作假设）。惠普2）双方都规避交易对手风险，但我们假设没有战略互动（问题将成为其他工作的目标）。Hp 3）分析的重点是完整/完美的抵押案例；Hp 4）CVA成本流程没有资金支持，CF und=0；Hp 5）考虑的所有流程都是预默认值流程（从lemma2.1.1开始）3随机切换控制问题：公式和解的存在性。3.1模型动力学和控制。从上一节的推理和定义可以清楚地看出，我们面临的是什么样的随机控制问题：我们（上下文A方）处于t=0，我们希望确定一种最佳策略，将抵押品从零变为全额所产生的预期成本降至最低，反之亦然，直至潜在违约债权到期。将该问题形式化为具有有限视界的多重切换控制问题（更一般的脉冲控制模型的特例），其主要成分如下：1。目标函数的设置，通常由目标函数、奖励函数和切换/脉冲成本函数组成；2.

描述所考虑系统状态的随机动力学设置；3.设置和建模用于搜索问题解决方案的控件集。从上面的列表中，最后一点与“系统”动态的模型密切相关，考虑到自然选择是考虑CVA动态，它进入交易对手A的目标函数（如上所述对称B），这一点更成问题。但可以看出，CVA动力学非常复杂，不是伊藤扩散，因此我们需要使用不同的解决方法（对于一般的c\'adl\'ag过程），我们将其留给进一步的研究。在这里，我们在利率与τ正交的假设下，即交易对手B的违约强度下，使用了后一部分中的双边CVA表达式集，但代价是进行了一个小的推广。