Dufffie型OTC市场的一些新结果

我们需要解AffineKolmogorov方程组（3）。通过归纳我们得到：dpt（0）dt=e-tdpt（n）dt=（m- 1） （n）- 1） +1）e-（n（m）-1） +1）ttZe（n（m）-1） +1）sps（n）- 1） 为了证明引理，必须注意#m（n）=#m（n-1） （（n）-1） （m）-1） +1）和e（n（m-1） +1）se-s（1）- E-（m）-1） s）n-1=e（m）-1） s（e（m）-1） s- 1） n-1是（m）的导数-1） n（e（m）-1） s- 1） 这表明，P的极限定律确实是我们（在[1]中）已经证明的，是相互作用系统的常微分方程的解。4其他OTC市场模型的显式公式在许多应用中，使用多个内核来描述系统的动力学更方便。例如，在B\'elanger Giroux Moisan[2]和B\'elanger Giroux Ndoun\'e[3]中的Du^arleanu-Pedersen[6]模型及其扩展中就是这样。在E={（l，n），（l，o），（h，n），（h，0）}上最简单的模型中，我们有我们在第3节开头描述的二元核，我们有投资者流动性的自主变化。让γu和γdresp。是流动性上升（或下降）的强度。我们将首先假设这些强度相等（我们将在本节末尾删除该假设），然后让γ=γu=γd，然后qp（t）=e-γt（γt）pp！是在时间t之前具有p个自主运动的概率。然后，1元核可以由q（（l，n）定义；C） =δ（h，n）（C）；Q（（l，o）；C） =δ（h，o）（C）；Q（（h，n）；C） =δ（l，n）（C）；Q（（h，o）；C） =δ（l，0）（C）；和νo（C） =ν（l，n）δ（h，n）（C）+ν（l，o）δ（h，o）（C）+ν（h，n）δ（l，n）（C）+ν（h，o）δ（l，0）（C）表示C E.可以将一元内核修改为二进制内核，并添加一个完全不受其他投资者流动性变化影响的“见证”投资者。

然后，我们对称化该核，并用两个核的凸组合替换两个二进制核，只剩下一个核，就像我们在前面章节中讨论的情况一样。因此，迄今为止发展起来的所有形式主义仍然有效。这种方法的缺点是，对称化操作使我们的动力学略有不同，更重要的是，我们失去了扩展野和的显式公式。本节的目的是展示我们如何留住他们。让Kpndenote在nbox中记录p个不可分辨对象的所有排列，其中一个box可以包含任意多个对象。然后| Kpn |=n+p-1n-1..和以前一样，让我们注意到所有随机树的集合-互动（投资者会议）。如果∈ 安森·安哈斯（男）- 1） n+1叶，内部产生mn+1分枝。设p表示1的个数-交互作用（即位置的自主变化次数）。对于σ∈ Kpmn+1，让Aσn根据安排σ将1元交互作用放置在树的每个分支上，从而得到树。LeteAn，pdenote具有n个m元交互作用和P个1元交互作用的树集。那么ρ：Kpmn+1×An→eAn，p：（σ，An）7→ σn定义了双射。请参见图2中的树的简单示例2,1。此外，如果我们称{σi}i=1图3的7个配置，那么o（A）o=Pi=1νoAσi.具有n个m元内部节点和p1元节点的seteAn，pof（m，1）-元有序树的基数等于#m（n）锰+中性粒细胞. 如果我们假设每一棵（m，1）-元树在一个，pis中的概率相等，即概率为#m（n）（mn+pmn），那么Nean，pconstitutesa是一组随机树。命题5概率测度νt=Xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈一∞Xp=0qp（t）锰+中性粒细胞Xσ∈Kpmn+1νo马σn是柯西问题的解：dνtdt=λ（νomt- νt）+γ（ν）oT- νt）；ν= ν.证据让ut加入上述溶液（1）。

自|νt |≤ |ut |和ut可统一求和，凸和νt可逐项微分以获得：dνtdt=-λνt+λe-mλtXn≥1(1-E-（m）-1） λt）n-1（m）- 1） n-1（n）- 1)!XAn∈一∞Xp=0qp（t）锰+中性粒细胞Xσ∈Kpmn+1νo马σn-γνt+Xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈一∞Xp=1e-γt（γt）p-1（p- 1)!锰+中性粒细胞Xσ∈Kpmn+1νo马σn现在利用B\'elangerGiroux[1]中定理1证明的组合结果，我们得到了omt等于表达式λe-mλtXn≥1(1-E-（m）-1） λt）n-1（m）- 1） n-1（n）- 1)!XAn∈一∞Xp=0qp（t）锰+中性粒细胞Xσ∈Kpmn+1νo马σn.否则，表达式xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈一∞Xp=1e-γt（γt）p-1（p- 1)!锰+中性粒细胞Xσ∈Kpmn+1νo马σn等于数量xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈一∞Xp=0e-γt（γt）pp！mn+p+1mnXσ∈Kp+1mn+1νo马σn.但是xσ∈Kp+1mn+1νomAσn=Xσ∈Kpmn+1（ν）omAσn）o. 然后呢≥0pn（t）#m（n）XAn∈一∞Xp=0e-γt（γt）pp！mn+p+1mnXσ∈Kpmn+1（ν）omAσn）o= νot、 因此，我们得到了所需的形式，命题的证明现在已经完成。我们注意到，如果p=0，也就是说，如果没有投资者改变其流动性头寸，上述解决方案确实成为解决方案（1）。备注6在DGP模型的特定背景下，我们有一个二进制核，简化了公式的第一部分。但是如果没有假设γu=γd，我们必须分别考虑上升运动和下降运动，这使得公式的第二部分更加复杂。设γ=γu+γd，溶液变为νt=Xn≥0e-t（1）- E-t） n！XAn∈一∞Xp=0e-γtp！主键mn+p+1mnpXk=0（γu）k（γd）p-kXσu∈Kkmn+1σd∈金伯利进程-kmn+1νo马σu∪σdn其中σu（respσd）表示树的树枝上的向上运动（resp.向下运动）和σu的排列∪σd是从上下运动的排列中得到的排列。备注7对于涉及m>2投资者的OTC模型，我们可以获得类似的显式公式。

例如，在Duffee-Malamud-Manso[7]的信息渗透模型中，状态空间e=N表示投资者通过与其他投资者会面获得的潜在信息水平。m-ary互动是信息的完美共享，这意味着会议中的每个投资者都会给出所有参与投资者的信息水平总和。一元核是一种回归力，它用从给定分布π中抽取的π（n）级投资者取代了n级投资者。确认：这项研究部分得到了来自Fonds de Recherche du Qu\'ebec–Nature et Technologies（FRQNT grantno.180362）的团队资助。5参考文献1。B’elanger，A.和Giroux，G.（2013），关于信息渗透的一些新结果，随机系统，第3卷，1-10.2。B’elanger，A.，Giroux，G.和Moisan Poisson，M.（2013），多资产场外交易模型，Arxiv 1308.2957v1。3.B\'elanger，A.，Giroux，G.和Ndoun\'e，N.（2014），具有多个资产的场外市场模型存在稳定状态，ARXIV112639。4.Carlen，E.，Carvalho，M.C.和Gabetta，E.（2005），关于Kac方程解的松弛率和野和收敛之间的关系，函数分析杂志，220，第2期，362-387.5。杜菲德（2012年）。黑市：场外交易市场中的资产定价和信息渗透。普林斯顿系列讲座。6.杜菲，D.，G^arleanu，N.和Pedersen，L.H.（2005），柜台市场，计量经济学731815-1847.7。杜菲，D.，马拉默德，S.和曼索，G.（2009），信息渗透与均衡搜索动力学，经济计量学771513-1574.8。马科航（1956年）。动力学理论的基础。《第三届伯克利数理统计与概率研讨会论文集》，1954-1955年，第三卷，第171-197页。

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