Dufffie型OTC市场的一些新结果

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英文标题：
《Some new results on Dufffie-type OTC markets》
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作者：
Alain B\\\'elanger, Gaston Giroux and Ndoun\\\'e Ndoun\\\'e
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The extended Wild sums considered in this article generalize the classi- cal Wild sums of statistical physics. We first show how to obtain explicit solutions for the evolution equation of a large system where the interactions are given by a single, but general, interacting kernel which involves m components, for a fixed m >= 2. We then show how to retain the explicit formulas for the case of OTC market models where the dynamics is more directly described by two (or more) kernels.
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中文摘要：
本文所考虑的广义野和推广了统计物理中的经典野和。我们首先展示了如何获得一个大系统的演化方程的显式解，其中，对于一个固定的m>=2，相互作用由一个包含m个分量的单一但通用的相互作用核给出。然后，我们将展示如何保留OTC市场模型的显式公式，其中动态更直接地由两个（或更多）内核描述。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-7 22:03:50 上传

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关键词：OTC市场 OTC Mathematical Quantitative interactions

ALAIN B’ELANGER关于Du ffee型OTC市场的一些新结果*, 加斯顿·吉鲁*还有恩冬恩冬*SherbrookeAbstract大学：本文考虑的扩展野和推广了统计物理的经典野和。我们首先展示了如何获得大型系统演化方程的显式解，其中相互作用由一个单一但通用的相互作用内核给出，该内核包含m个组件，对于固定的m个组件≥ 2.我们将展示如何保留OTC市场模型的显式公式，其中动态更直接地由两个（或更多）内核描述。1简介在M.Kac的著作（1956）[8]出版后，人们对E.Wild（1951）[15]的研究结果重新产生了兴趣。这种兴趣主要集中在形成稀释麦克斯韦气体的大量粒子的随机匹配上。在这里，我们开发了一种受本系列作品启发的方法。为了做到这一点，我们从一系列相互作用组件的动态集合开始，每个整数N对应一个。对于这些动态系统，我们可以证明，当N较大时，组件与任何其他组件直接或间接地相互作用超过一次的概率非常小，直到时间t。由于这一基本性质，我们可以使用连续时间马尔可夫链理论的结果将微观和宏观层面联系起来。Wild sum是一个系列结构，它给出了气体统计物理中给定解方程的解，首次出现在E.Wild[15]的著作中。请注意，野生和的经典表达式由二叉树描述。受这些想法的启发，S.Tanaka[12]和H.Tanaka[11]对Wild的求和进行了扩展，用于解测度空间的某些非线性微分方程，因此该求和的表达式用适当的树来描述。

然而，证明这些总和存在的问题在总体上仍然悬而未决。Trazzi、Pareschi和Wennberg[14]的递归时间松弛蒙特卡罗方法基于广义野和。然而，这些金额缺乏明确的公式，这对上述日期为2015年3月7日的计算效率构成了障碍。*: 加拿大谢尔布鲁克谢尔布鲁克大学财政部，J1K 2R1。电子邮件：阿兰。A.belanger@usherbrooke.ca,gasgiroux@hotmail.com，恩杜恩。ndoune@usherbrooke.caAMS分类：60G55、34A34、82C31。关键词：大相互作用集，普通微分方程，连续时间马尔可夫链。方法以及其他方法也基于扩展的野和（例如，参见[13]）。Carlen等人[4]获得了野和公式，这些公式对于Kac方程的求解非常明确。他们的二叉树是根据麦克安的精神，从李代数的交换子公式中获得的，这将它们引向相互作用树的分组。因此，即使在二元情况下，我们更一般的交互树也与它们不同。本文的目的是提出一个扩展野和的组合公式，它是某些发展方程的解，在涉及m个分量的相互作用中，m≥ 2.在B’elanger-Giroux[1]的第3节中，使用了Wild Sums的显式公式，以获得演化方程的解收敛到稳态。这是显式公式的可压缩性所允许的重要应用之一。这篇文章的结构如下。在第二节中，我们介绍了组合树的类型，这些组合树在用交互树表示演化方程的解时很有用。

在第3节和第4节中，我们考虑涉及m个组件的相互作用，例如≥ 我们认为这些动力学的强度有足够的依赖性。我们的技术使我们能够获得求解相关微分方程组的显式公式。在第4节中，我们展示了在由两个内核描述的OTC市场模型的情况下，如何保留解的显式表达式。2组合树我们假设读者熟悉树的基本定义。Arooted tree是一种具有指定节点（称为根）的树。根节点有一个子节点的根树是植树。m元树是一个rootedtree，其中每个节点要么是一片叶子（也就是说，它没有子节点），要么正好有m个子节点。这些叶子被称为外部节点，那些有mchildren的节点称为内部节点。请注意，我们不将树的根视为内部节点。有序树是一种根树，其中每个节点的子节点被指定为固定顺序。如果每个内部节点有一个子节点或正好有m个子节点，则有根树称为（m，1）元树。在本文中，我们将使用有序m-叉树和有序（m，1）-叉树。让我们注意具有n个内部节点的m元有序树的集合。安哈斯的每一棵树（米）- 1） n+1片叶子，每棵树都可以通过在一棵树的叶子上添加一个内部节点来获得-1（考虑订单）。因此，茴香树的数量#m（n）=n-1Yk=1（（m）- 1） k+1）。3动力学假设N是（大量）相互作用的组件。让m（m）≥ 2） 是每个交互中涉及的组件的固定数量。我们假设所有组件在一个可测量的空间（E，E）中取其值，（我们可以想到（Rd，B（Rd）或简单的有限集），它们的相互作用由产品空间（Em，E）上的对称概率核Q给出m） 。

也就是说，函数q（x，x，…xm；C×·Cm）：可以在（x，x，…xm）中测量；是以（C×·Cm）为单位的概率度量；满足度Q（x，x，…xm；C×·Cm）=Q（xσ（1），xσ（2）。。。xσ（m）；对于{1，2，…，m}的任何置换σ，Cσ（1）×Cσ（2）×Cσ（m））。在下面的例子中，我们简化了Duffee-G^arleanu Pedersen[6]的模型，只保留了它们的二进制交互内核。例1。该模型中的投资者有两种流动性状态，分别表示h为高，l为低。此外，对于拥有资产（用o表示）或不拥有资产（用n表示）的投资者来说，有一项共同利益的资产。SoE={（l，n），（l，o），（h，n），（h，0）}描述状态空间。除Q（（h，n），（l，o）外，核由Q（·，·；C×C）=0定义；C×C）=Q（（l，o），（h，n）；C×C）=δ（h，o）（C）δ（l，n）（C），其中δzi是狄拉克函数δz（z）=1 i ffz=zandδz（z）=0。当拥有资产的低流动性投资者遇到不持有资产的高流动性投资者时，二进制内核实现资产交易。相互作用发生在强度为λNm的泊松过程的每一跳。群体是不可区分的，所以每个群体都有纳米-1.参与给定的互动。核Q允许我们通过元件定律的演化来描述系统与非线性微分方程关联系统的宏观演化。这个概率定律，表示为ut，随着时间的推移而发展，实际上是柯西问题的解：dutdt=λ（ut）omt- ut）；u=u，其中uo微米（C），微米（dx）微米（dx）。。。u（dxm）Q（x，x，…xm；C×Em-1） 对于C∈ E.概率定律omis i.i.d.组件与定律u相互作用后的组件定律。我们可以将其视为只有一次交互作用的三叉树根的法则。我们将查看到时间t为止代表组件交互历史的所有树。

因此，对于一棵树，a，有不止一个交互，我们在最后一次交互时将树划分为m个子树，然后递归到时间0，以确定uo文科硕士（关于互动树的简单示例，请参见图1。）设An为具有n个交互作用（也称为节点）的所有树的集合，每个节点产生m个分支。如果∈ 那么安omAndenotes通过迭代获得的定律o当我们在一棵树的每一片叶子上放置法则时，通过树的连续七个节点。我们已经证明了B’elanger-Giroux[1]，柯西问题有一个唯一的解，可以通过调节到时间t的交互次数，然后通过组件的历史来表示。这样的条件给了我们ut=Xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈μo男（1）式中#m（n）=n-1Yk=1（（m）-1） k+1）是具有n个节点的树的数量，考虑到它们的分支顺序；pn（t）=#m（n）（m）-1） nn！E-λt（1）- E-（m）-1） λt）是在时间t之前有n个分支的概率。注2我们称之为定律ut=Xn≥0e-λt（1）- E-（m）-1） λt）n（m）-1） nn！XAn∈μomAnan显式扩展野和[15]，注意，我们在m=2的情况下得到的凸组合实际上是野和，ut=Xn≥0e-λt（1）-E-λt）nn！XAn∈μo自Kac（1956）[8]的工作以来，mAn在气体统计物理方面已广为人知。3.1使用相互作用树从微观到宏观。在我们所有的案例中，我们都有一个潜在的市场结构，即Kac与m代理商的互动。我们加上指数时间，得到了阿马克泊松过程，其标记是连接参与给定交互的代理的水平线。

这使得我们，在B’elanger-Giroux[1]中，在适当的条件下，将代理的极限定律描述为树上的一个可数凸组合，正如我们在那篇文章的第3节中所展示的，它是概率定律空间上相关微分方程的整体解。在这里，我们首先解释我们是如何得出这种凸组合的，因为它是研究其他模型的工具。例如，它是使我们能够陈述命题5的工具。它的证明遵循了B’elanger Giroux[1]中主要结果的证明。我们首先分析了当代理数量增加时，大量交互代理的内在结构的动力学。我们假设每一次交互都涉及m个代理≥ 2.更具体地说，我们考虑了一组N个代理，它们的交互作用发生在意外的时间，因此这些交互作用的发生遵循泊松过程。由于代理是可互换的，所以每个小组都有相同的概率满足纳米-1.如果我们假设会议的强度为Benm，则每个代理人的会议率λ在时间变化下可假设为等于1。我们将在第3节中假设λ=1。对于固定时间和从时间0开始的时间，我们为每个阶段分配一个垂直位置。向下移动代表时间的流逝，参见第4页的图1。每次一组代理交互时，我们在这些代理之间画一条水平线，在每个代理的位置上画一条垂直线，将0连接到刚才画的水平线，因此我们看到一个随机图正在形成。当我们在时间t停止该图时，我们将获得所有已发生交互的最终图。

此外，一个给定代理（称为itP）到时间t的历史由连接所有直接或间接与P交互的代理的随机图描述。会议的次数是随机的，但我们可以以此为条件。有限图定律是可逆的，因为[0，t]上的会面时间是一致的。我们想证明，随着代理数N的增加，一个代表P历史的随机图可以被一个随机树代替。如果我们看一下图2，我们会发现，在第二次会议中加入一位参与了第一次会议的投资者，将在我们的图表中形成一个循环。随着N的增长，与之前直接或间接遇到的投资者见面的机会趋于零。为了看到这一点，让我们考虑P的历史到时间t的图表。从时间t开始，我们追踪P历史中遇到的每一条垂直线，直到我们到达下一条水平线。如果在我们的图表中包含水平线不会产生一个循环（即，没有任何一对投资者直接或间接参与了之前的会议），我们会包含这条线，如果没有，我们会删除它。以这种方式进行到时间0，我们得到了一棵有n个内部节点的树，比如说，它的定律与通过纯出生过程得到的树的定律相同。通过P的交互历史样本得到的树是一棵m元树。这些树在时间上随机生长：每次出现一个新节点时，对应于当时投资者会议的发生。我们重新定义了具有n个内部节点的m元有序树集。然后，如果我们假设一元树中的每一棵m元树都具有相同的可能性，即概率#m（n），则构造一组随机树。在时间t从Ps垂直线开始的树，强度为1，在时间0具有强度（m- 1） n+1和相同数量的叶子。

在这一过程的两个分支之间，一个代表P的会议历史的图可以有一个多个额外的水平线，这些线遵循mostNm的泊松参数定律（m）- 1） n+1纳米-1.现在，我们将用一个主要变量来约束这些补充水平线的期望值，该变量随着N的增加趋于0。事实上，因为在时间t之前有n个分支时，冗余线的平均数量是在mostNm（m）- 1） n+1纳米-1.我们知道，冗余水平线的平均数在xn以上≥0Nm（m）- 1） n+1纳米-1.pN，n（t），其中pN，n（t）是在纯出生过程的时间t之前具有n个分支的概率，其连续分支等待时间遵循参数λn，n=Nm（（m）的指数规律- 1） n+1）N- （（m）- 1） n+1）m- 1.纳米-1英寸（（米）- 1） n+1）N- （（m）- 1） n+1）m- 1.纳米-1=（（m）- 1） n+1）N-（（m）-1） n+1）m-1.N-1米-1.(2)≤ （m）- 1） n+1然后pN，n（t）随机小于用强度λn=（m）得到的定律- 1） n+1，依次小于强度λn=m（n+1）。然后通过求解Kolmogorov方程组得到其转移核：dpt（0）dt=-mpt（0）dpt（n）dt=mnpt（n- 1) - m（n+1）pt（n）；N≥ 1.因此后一种强度给出了几何定律pt（n）=e-mt（1）- E-mt）n=e-m（n+1）t（emt）- 1） n.由于几何定律具有所有阶数的有限矩，冗余水平线的平均数以接近0的数量为界。关于纯生育过程的科尔莫戈罗夫方程组的更多细节，我们请读者参考Lefebvre[10]，例如。因此，在指定了初始代理的状态及其交互内核之后，我们可以使用从图中删除所有冗余水平线得到的树来近似Ps定律。

我们将在下一节中使用这个事实。3.2极限可数凸组合我们现在将证明，这些分枝强度依赖于N的随机树可以用分枝强度独立于N的树来近似。考虑到P的树历史是随机的，强度依赖于N，我们可以写出P定律，用u表示*,由于我们的市场有大量的投资者，因此我们更倾向于遵守这些法律的限制。我们从上面的（2）中注意到，foreach n，λn，n→ （（m）- 1） n+1）作为n中的递增序列。设pn（t）（，pt（n））为a ffine Kolmogorov方程组的解：dpt（0）dt=-pt（0）（3）dpt（n）dt=（（m）- 1） （n）- 1） +1）pt（n）- 1) - （（m）- 1） n+1）pt（n）；N≥ 1.回忆第一节中的ut=Xn≥0pn（t）#m（n）XAn∈μo成年男子命题3法律的顺序*,NTN收敛到utas N增加。证据根据Kurtz[9]，我们得到了pN，n（t）→ pn（t）随N的增加而增加。但是（pn（t））n≥0是一个概率定律，所以 > 0，存在n() 就这样≥n()pn（t）<. 现在让我们来看看() 使N>N() 意味着| pN，n（t）-pn（t）|<n()为了0≤ N≤ n().然后是C∈ E和N>N()|u*,新界（丙）- ut（C）|≤n()Xn=0 | pN，n（t）- pn（t）|+2 ≤ 3.自#m（n）XAn∈μo男子（C）≤ 1和（pN，n（t））n≥0是概率定律。我们的要求得到了证实。引理4 pt（n）=#m（n）（m）-1） nn！E-t（1）- E-（m）-1） t）nProof。