基于真实市场数据的股票期权价格盈利预测

的确，虽然我们不假设函数f*（s） 是线性函数*b（t），u*a（t）是二次函数，正如我们的函数f（s）、ub（t）、ua（t）一样，由于区间（sb，sa）和（0，2τ）很小，那么我们可以合理地假设函数f（s）是线性函数，而函数ub（t）、ua（t）是四次函数。定理3。假设条件（3.4）和（3.5）成立。让我们∈ （0，1）是一个数，函数σ（t）∈ C[0，a]存在常数σ，σ>0，σ<σ，使得σ（t）∈[σ，σ]对于t∈ [0，a]。选择正则化参数α=α（δ）=δ2β，其中β=常数。∈ (0 , 1) . 然后存在一个非常小的n数τ=τσ、 σ，kσkC[0，a]∈（0，a]仅取决于lis ted参数，如果τ∈ （0，τ），则以下收敛率成立suα（δ）- 苏*L（Qτ）+uα（δ）- U*L（Qτ）≤ B1+ku*kH（Q2τ）δγ, (3.6)uα（δ）（s，2τ）- U*（s，2τ）L（某人，sa）≤Bqlnδ-1.1+ku*kH（Q2τ）, （3.7）其中，数γ=（βln2）/ln4和常数B=B（a，Q2τ，σ）>0仅取决于一个列出的参数。从这个定理可以清楚地看出，精度估计（3.6）在较小的域qτ中 Q2τ为H型。另一方面，矩形Q2τ上侧的估计值（3.7）是对数型的。显然，（3.6）所保证的准确度优于（3.7）所保证的准确度。因此，与Q2τ中的计算结果相比，可以期望在Qτ中获得更精确的计算结果。这正是我们选择在更大的域Q2τ中解决问题（2.2）-（2.4）的原因。从定理3中也可以清楚地看出，为什么我们选择τ>0这个数字要小得多。4市场数据的结果在我们的计算中，我们始终使用τ=1/255，如第2节所述。换句话说，我们预测了未来两天的期权价格，即t∈ (0, 2τ).

为了确保至少对计算模拟数据获得准确的结果，我们首先解决了上述合成数据的最小化问题。为了计算模拟这些数据，我们在时间上用边界条件（2.4）和初始条件t=2τ求解了方程（2.2）downwar ds。这样我们就得到了函数u（s，0）=fsim（s）。接下来，我们用Boundar y条件（2.4）和初始条件fsim（s）通过上述方法求解方程（2.2）。接下来，我们将所得解与计算模拟解进行了比较。结果非常准确。在对计算模拟数据的研究中，我们发现tα=0.01是调节参数的最佳值，我们在所有后续计算中都使用了α=0.01。接下来，我们使用了彭博社发布的市场数据minalhttp://www.bloomberg.com.我们已经将我们的结果与真实的上一个pricesul（τ）和ul（2τ）进行了比较。让sm=（sb+sa）/2成为标的股票的买入价和卖出价之间的中间点。首先，我们通过上述极小化程序计算了极小化uα（s，t），其中（s，t）∈ Q2τ。在它存在的所有日子里，每一种选择都是如此。当uα（sm，τ）介于我们的投标价ub（τ）和SK ua（τ）的外推值之间时，即在买卖价差范围内，我们对这些情况不感兴趣，并且我们在这些天没有交易期权。然而，我们只对那些情况感兴趣，当我们的预测价格大于我们至少0.02美元的外推要价时，即uα（sm，τ）≥ ua（τ）+0.03。实际上，买入价和卖出价彼此接近，这使得ub（τ）≤ uα（sm，τ）≤ ua（τ）对交易不感兴趣。另一方面，由于我们的计算经验，选择了0.02美元的计算价值。

对于uα（sm，2τ）也是如此，参见下面的交易策略。在下面列出的所有交易策略中，我们都会在收盘前买入和卖出期权。交易策略：1。补充uα（sm，τ）≥ ua（τ）+0.03，以及uα（sm，2τ）≥ ua（2τ）+0.03美元。然后我们在t=0时购买两（2）项股票期权，即“今天”。接下来，我们以t=τ的价格出售一件商品，以t=2τ的价格出售第二件商品。这样做时，我们不会在t=τ时进行任何预测。接下来，我们在上述t=2τ日应用我们的预测程序，并重复使用我们的交易策略。2.支持uα（sm，τ）≥ ua（τ）+$0.03，但uα（sm，2τ）<ua（2τ）+$0.03。然后在t=0时购买该股票期权的一（1）项。接下来，我们以t=τ的价格出售该商品。接下来，我们在t=τ日应用上述预测程序，并重复使用我们的交易策略。3.支持uα（sm，τ）<ua（τ）+$0.03，但uα（sm，2τ）≥ ua（2τ）+0.03美元。然后我们以t=0的价格购买一（1）项股票期权。接下来，我们以t=2τ的价格出售该商品。接下来，我们在t=2τ日应用上述预测程序，并重复使用我们的交易策略。然而，我们在t=τ4日不应用我们的预测程序。支持uα（sm，τ）<ua（τ）+$0.03，以及uα（sm，2τ）<ua（2τ）+$0.03。那么我们今天既不买也不卖这个期权。请注意，这种情况的一个特殊情况是，当t=τ和t=2τ的预测价格都在买卖价差内时，即ub（τ）≤ uα（sm，τ）≤ ua（τ）和ub（2τ）≤uα（sm，2τ）≤ ua（2τ）。我们评估了二十（20）个流动期权，这些期权是从每天交易的期权中随机选择的（见引言）。表2给出了他们的短代码和我们的编号。表2。短选择码。“C”和“P”分别表示买入期权和卖出期权。

“天数”指我们的程序评估期权的总天数。期权编号期权短代码日期1国际贸易美国01/17/15 C25股权1812世界粮食理事会美国11/22/14 C50股权523 PFE美国11/22/14 C29股权684 YHOO美国01/17/15 C50股权2675 AIG美国11/22/14 C55股权1556 AAPL美国01/17/15 C80股权1307 SBUX美国12/20/14 C80股权308 AAL美国01/17/15 C40股权1959 QCOM美国12/20/14 C80股权3110 MSFT美国11/17/15 C45股权26711 QQ美国11/22/14 C106权益4512 MRK US 11/22/14 C60权益5813 DDD US 01/17/15 C45权益11914 WMB US 02/20/15 C48权益4315 MSFT US 03/20/15 C50权益4816 SPY US 02/20/15 P205权益14117 IWM US 03/20/15 P110权益11518 EEM US 02/20/15 P39权益10819 YHOO US 03/20/15 C55权益7620 HYG US 03/20/15 P86权益48表3显示了我们的价格预测和价格预测产生的每个期权的总收益/损失跟进我们交易策略的应用。损失是与‘-” 签名我们没有投资任何真正的钱。相反，对于每一个选项，我们假装第二天只购买一个项目，然后在交易策略建议的日期出售。为了得到该表的结果，我们将uα（sm，τ）与第二天的真实最后价格ul（τ）进行了比较。表3。评估期内表2中每个选项的总收益/损失。最后一行显示所有选项的总利润。期权编号1 2.692 0.513 0.514 2.935 1.796 4.727 0.138 2.659 0.6510 1.7411 0.00812 0.913-1.6614-0.6315 0.3716 0.9817 -下一个有趣的问题是：我们的预测有多准确？表4给出了我们对每个选项的预测的平均相对误差。对于每一个选项，我们都计算了按照上述策略出售该选项时的相对误差。相对误差为| uα（sm，τ）- ul（τ）|ul（τ）。

（4.1）接下来，我们取表2中每个选项的数字（4.1）的平均值。表4。我们预测的平均相对准确度。最后一行显示了所有选项的总平均相对精度。期权号相对误差1 0.1799357472 0.2823599053 0.3170387794 0.1970470785 0.2010127266 0.2176440867 0.2953140348 0.2438925699 0.27019321710 0.23729976711 0.24311047212 0.1727273513 0.17319317114 0.37100608615 0.13531676616 0.21461284917 0.2718824918 0.2581044519 0.2201107420 0.245694所有0.23734表的平均值显示相对误差相当大（平均值：23.7%. 我们观察到，我们经常高估期权价格。尽管如此，我们的交易策略使我们能够对表2.5总结和结论中的至少20个选项提供支持。我们已经为Black-Scholes方程提出了一个新的数学模型。我们不再传统地在时间上向后求解这个方程，这是一个适定问题，而是在时间上向前求解它，这是一个不适定问题。该理论先前在Klibanov（2014）中发展，当数据aδ和正则化参数α（δ）的噪声水平趋于零时，该理论保证了该问题正则化解的存在性和唯一性，即正则化解收敛到正确解（定理2,3）。验证数学模型的最佳方法是将其应用于真实的市场数据。这就是我们在这里所做的。我们有二十（20）种液体选择。接下来，我们为他们预测了未来两天的期权价格。我们还制定了一个简单的交易策略，即利用我们的预测买卖期权。我们假装买卖这些期权（真正的钱没有投资）。

可以得出的主要结论是，尽管我们的技术几乎总是对期权价格进行估价，但我们仍然在上述17个期权中获得了收益，在其中3个期权中我们获得了损失。此外，总的结果是t hat t t，总结这些收益和损失，我们仍然支持随机选择的20个选项。我们指出，我们没有考虑交易成本。我们推测，考虑到这一成本，上述削减价值将增加0.02美元，而有关利润的结论将保持不变。尽管我们的利润很小，但这并不令人沮丧。事实上，我们假装在第二天一次只购买一个期权的两个项目，然后再出售，这只针对二十（20）个期权。然而，大型金融机构每天买卖大量期权。因此，我们推测，如果使用本文的技术，如此大规模的交易可能确实是有利的。尽管如此，我们还是要提醒大家，应该对更多的选项进行进一步研究，以确定我们的猜测有多正确。然而，我们没有足够的资源进行这样的研究。我们相信有可能重新确定我们的结果，并可能增加潜在利润。我们自然担心重新确定预测价格准确性的方法，见表4。其中一种方法是与我们在这里使用的隐含容积相比，获得更准确的挥发系数值。接下来，我们应该用这个更精确的波动系数来解决问题（2.2）-（2.4）。最有可能的是，波动性取决于股票价格s和时间t，σ=σ（s，t）。然而，要计算波动率，需要解决BlackScholes方程的一个非常困难的系数反问题。

这个问题比我们在这里考虑的问题更具挑战性。实际上，方程（2.2）的解u=u（s，t，σ）与系数σ呈非线性关系。另一方面，上面解决的问题是线性的。解决非线性反问题的主要挑战在于，传统的最小二乘函数是非凸的，因此具有许多局部极小值和沟壑，参见Isakov（2014）等。Bouchouev和Isakov（1997）、Bouchouev和Isakov（1999）、Bouchouev、Isakov和Valdivia（2002）和Isakov（2014）提出了计算σ（s，t）更精确值的一些想法。然而，这些出版物没有使用我们的数学模型。我们认为，为了使用我们的模型，可以对系数反问题的当前已知全局收敛数值方法进行一些修改，这些方法见克里巴诺夫（1997）（两篇论文）、克里巴诺夫和泰安（2014）以及克里巴诺夫和坎伯格（2015）。致谢作者感谢Kirill Golubinichi先生在为本文创建pdf文件的一些技术性问题上的帮助。参考文献[1]Bouchouev，I.和Isakov，V.（1997）：期权定价的逆问题，逆问题，13，L11-L17。[2] Bouchouev，I.和Isakov，V.（1999）：金融市场中出现的反问题的唯一性、稳定性和数值方法，反问题，15，R 95-R116。[3] Bouchouev，I.，Isakov，V.和Valdivia，N.（2002）：通过线性化恢复波动系数，定量金融，2257-263。[4] 赫尔，J.C.（2000）：期权、期货和其他衍生品，普伦蒂斯大厅，纽约。[5] Isakov V.（2014）：通过线性化、演化方程和控制理论恢复时间相关波动系数，3,1-16。[6] 伊万诺夫，V.K.，瓦辛，V.V.和塔纳纳，V.P。

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