基于真实市场数据的股票期权价格盈利预测

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英文标题：
《Profitable forecast of prices of stock options on real market data via
  the solution of an ill-posed problem for the Black-Scholes equation》
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作者：
Michael V. Klibanov and Andrey V. Kuzhuget
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A new mathematical model for the Black-Scholes equation is proposed to forecast option prices. This model includes new interval for the price of the underlying stock as well as new initial and boundary conditions. Conventional notions of maturity time and strike prices are not used. The Black-Scholes equation is solved as a parabolic equation with the reversed time, which is an ill-posed problem. Thus, a regularization method is used to solve it. This idea is verified on real market data for twenty liquid options. A trading strategy is proposed. This strategy indicates that our method is profitable on at least those twenty options. We conjecture that our method might lead to significant profits of those financial institutions which trade large amounts of options. We caution, however, that detailed further studies are necessary to verify this conjecture.
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中文摘要：
提出了一种新的布莱克-斯科尔斯方程的数学模型来预测期权价格。该模型包括标的股票价格的新区间以及新的初始和边界条件。未使用到期时间和履约价格的传统概念。Black-Scholes方程作为一个反时间抛物方程求解，这是一个不适定问题。因此，使用正则化方法来解决该问题。这一观点在20种流动期权的真实市场数据上得到了验证。提出了一种交易策略。这一策略表明，我们的方法至少在这20个选项上是有利可图的。我们推测，我们的方法可能会为那些交易大量期权的金融机构带来可观的利润。然而，我们要提醒的是，有必要进行详细的进一步研究，以验证这一推测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：股票期权 盈利预测 Mathematical Quantitative Conventional

通过解Black-Schole方程的不适定问题，对真实市场数据上的股票期权价格进行可预测Michael V.Klibanov*还有Andrey V.Kuzhugeto*北卡罗来纳大学数学与统计系，北卡罗来纳州查洛特·埃查洛特，邮编：28223。o摩根士丹利，纽约州纽约市，邮编10036。Emai ls：mklibanv@uncc.edu和akuzhuget@gmail.comAbstractA提出了新的Black Scholes方程的数学模型来预测期权价格。该模型包括标的股票价格的新区间以及新的初始和边界条件。未使用到期时间和履约价格的传统概念。Black-Scholes方程是一个不适定问题，求解时变为一个反时限的抛物方程。因此，采用再正则化方法来解决这一问题。这一想法在20种流动期权的真实市场数据上得到了验证。提出了一种交易策略。该策略表明，我们的方法至少适用于这20个选项。我们推测，我们的方法可能会对那些交易大量期权的金融机构产生重大影响。然而，我们要提醒的是，有必要进行详细的进一步研究来验证这一推测。关键词：Black-Scholes方程，新的数学模型，新的初始和边界条件，对真实市场数据的检验，反时限抛物方程，不适定问题，正则化方法1简介Black-Scholes方程被及时向前求解以预测股票期权的价格。由于这是一个不适定问题，因此使用正则化方法。给出了该方法的唯一性、稳定性和收敛性定理。对于每个选项，我们使用其过去的历史作为输入数据。

对于Black-Scholes方程，我们提出了一个关于标的股票价格区间的新数学模型，以及该区间的初始和边界条件。未使用履约价格和到期时间的常规通知。我们的模型没有区分看跌期权和看涨期权。根据我们对市场数据的结果，我们推测，如果交易大量期权，我们的方法可能会产生重大收益，就像在一些大型对冲基金中一样。然而，我们要提醒的是，有必要对大量选项进行额外研究，以验证这一推测。为了验证模型的有效性，我们使用了20个流动期权的真实市场数据。我们相信这是最好的验证方法。我们在液体中随机选择选项。这些液体选项是在TTP://融资中选择的。雅虎。com/options/list/。我们所选期权的市场价格、隐含波动率和标的股票价格均来自彭博社minalhttp://www.bloomberg.com.我们在选择这些期权时施加的一个条件是，这些期权应该每天进行交易。基于我们的技术，我们提出了一个特定的交易策略。这一策略表明，在二十（20）个选项中，我们有十七（17）个选项。我们的数学模型可以预测从当前时间事件到下两个时间事件（即短时间内）的每日交易期权的期权价格。至于两个事件之间的时间距离，则取决于一个事件使用的时间单位。在我们的计算中，一个时间单位是一个交易日。因此，我们通过了解“前天”、“昨天”和“今天”的过去价格，预测“明天”和“后天”的价格。为方便起见，我们只使用每个特定日期的最后价格，即。

市场关闭前的价格。但一个单位可以是一分钟、一小时、一周等等，最后的价格也可以被其他时间的价格所取代。后者的优化是一个技术问题，可以在以后解决。在布莱克-斯科尔斯方程的传统方法中，我们在时间t中向后求解这个方程∈ （0，T），在到期时间T=T时具有初始条件。t=t时的初始条件包括履约价格K，见赫尔（2000）和威尔莫特、豪森和德温（1997）。然而，这种方法有一个主要缺点。事实上，T通常是几个月。但显然，要以合理的准确度预测如此长一段时间内的波动值是不可能的。另一方面，Black-Scholes方程的解在很大程度上取决于波动系数。上述情况使我们相信，使用布莱克-斯科尔斯方程来预测短期内的股票期权价格更为自然。然而，在这个方向上的第一个主要障碍是，在一段时间内求解布莱克-斯科尔斯方程的问题是不适定的。也就是说，它的解通常不存在，即使它存在，它对输入数据也是不稳定的。因此，应该使用正则化方法。第二个主要障碍是，求解该方程的一些关键输入参数是未知的。这些参数包括：标的股票价格区间、初始条件、两个边界条件和波动系数。我们在这里正面回答以下两个问题：问题1。是否有可能利用布莱克-斯科尔斯方程和市场数据预测短期内的期权价格？问题2。

如果这是可能的，那么可以使用这种预测和预测策略吗？回答第一个问题需要解决四个主要问题：1。标的股票的价格区间是多少？2.这个区间的边界条件和初始条件是什么？3.未来波动系数的值是多少？4、如何及时向前求解Black-Scholes方程？我们在新的数学模型中解决问题1-3。为了解决第四个问题，我们使用了克利巴诺夫（2014）提出的正则化算法。给出了该方法的稳定性和收敛性定理。inKlibanov（2014）证明了它们适用于一个二阶一般抛物方程。这些参考文献中的主要预测方法是Carleman估计法。我们现在简要地解释为什么时间正向上的Black-Scholes方程的解是一个不适定问题。设τ=常数>0和函数f∈L（0，π）。这是一个著名的例子，证明了反时间抛物方程问题的不适定性。考虑热方程的下列问题，时间倒数，ut+uxx=0，（x，t）∈ （0，π）×（0，τ），u（x，0）=f（x），u（0，t）=u（π，t）=0。众所周知，这一问题只有一种解决方案，参见Klibanov（2014）和Lavrentiev、Romanov和Shishatskii（1986）。这个问题的唯一解决方案是isu（x，t）=∞Xn=1fnsin（nx）ent，其中{fn}∞n=1是函数f（x）相对于sin（nx）的傅里叶系数。考虑函数u（x，t），ku（x，t）kL（0，π）的L（0，π）范数=∞Xn=1fne2nt。（1.1）因此，如果这个问题的解存在，那么傅里叶系数fn的平方必须相对于n进行经验衰减。因此，这个问题的解只存在于一个狭窄的函数集f。

此外，从（1.1）中可以清楚地看出，即使该序列被截断，Fn的微小波动也可能导致函数u的大变化。这表明了上述问题的不稳定性。此外，从（1.1）可以看出，τ越大，这个问题就越不稳定。因此，为了获得相当好的精度，任何正则化方法都应该只在很短的时间间隔内工作。因此，通过Black-Scholes方程对期权价格的准确预测可能只会在较短的时间内发生。后者正是我们在这里所做的。在第2节中，我们介绍了我们的数学模型。在第3节中，我们描述了我们的数值方法。在第4节中，我们展示了市场数据的结果。我们在第5.2节中总结了我们的结果。新的数学模型设s为股票价格，t为时间，σ（t）为期权的波动率。在我们的例子中，我们只使用了http://www.bloomberg.com.However，我们的模型中还可以使用更复杂的波动性模型。假设τ>0是我们想要预测期权价格的时间单位f。在我们的特殊情况下，τ是一个交易日，因为我们预测了“明天”的期权价格以及“今天”、“昨天”和“前天”的其他参数。由于每年有25个5天的运输日，那么在我们的情况下τ=1/255。然而，我们的模型可以适用于τ为任何时间单位的情况：一小时、一分钟等。在任何情况下，我们假设τ低于该值∈ (0, 1/4) . 让“今天”打赌=0，“明天”为t=τ，“明天”后一天为t=2τ，“昨天”为t=-τ和“前天”为t=-2τ.我们只提供期权的最后价格，即。

在该特定期权的交易日的第一个交易事件中，该期权的一项被买入或卖出的价格。让ub（t）和ua（t）分别为t时刻期权的出价和要价。让sb（t）和sa（t）分别为t时刻期权的出价和要价。众所周知，ub（t）<ua（t）和sb（t）<sa（t）。因此，表1列出了我们模型所需的市场数据。这些数据可在http://www.bloomberg.com.Table1.我们需要的数据预测未来两天t=τ和t=2τ的最后一个期权价格。ub（t）ua（t）σ（t）sb（t）sa（t）t=-2τ , -τ、 0吨=-2τ , -τ、 0吨=-2τ , -τ、 0 t=0 t=0首先，对于本表中列出的三个时间时刻，函数ub（t）、ua（t）、σ（t）的离散值，我们使用标准二次插值法在这三个点之间插值这些函数。因此，我们得到了t的这些函数的近似值∈ (-2τ，0）作为四次多项式。接下来，我们外推t的函数ub（t），ua（t）∈ （0，2τ）作为二次多项式。由于τ很小，因此假设t函数ub（t）、ua（t）、σ（t）在时间间隔t上相当接近是合理的∈ (-2τ, 2τ) . 因此，我们得到了t的函数sub（t），ua（t），σ（t）∈ (0, 2τ) .假设u=u（s，t）是一项股票期权的价格。表示sb=sb（0），sa=sa（0）。然后，她说。考虑一下ub=u（sb，0）和ua=u（sa，0）。Letf（s）=ub- uasb- sa·s+uasb- UBASB- sa（2.1）是区间s上Ub和Ua之间的线性插值∈ （某人，sa）。因此，f（sb）=ub，f（sa）=ua。Black-Scholes方程的最简单形式是u:=ut+σ（t）suss=0，（2.2），其中L是Black-Scholes方程的偏微分算子，见Hull（2000）和Wilmott、Howison和Dewyne（1997）。

我们在股票价格区间上解这个方程∈ （sb，sa）和∈ (0, 2τ) . 因此，我们在t=0时施加以下初始条件，在s=sb，sa时施加边界条件：u（s，0）=f（s），s∈ （sb，sa），（2.3）u（sb，t）=ub（t），u（sa，t）=ua（t），代表t∈ (0, 2τ) . （2.4）表示Q2τ={（s，t）：s∈ （某人，sa），t∈ (0, 2τ)}. 在本文中，我们通过计算解决了以下问题：问题。Fo r（s，t）∈ Q2τ找到满足初始条件（2.3）和边界条件（2.4）的方程（2.2）的解u（s，t）。这个问题以及上面的插值和外推形成了我们新的数学模型。定理1证明了这个问题解的唯一性。这个定理紧随K liba nov（2014）和L avrentiev，Roma nov和Shishatskii（1986）之后。在H2之下，1（Q2τ）和H（Q2τ）是重值f函数的标准Sobolev空间。定理1。问题（2.2）-（2.4）最多有一个解决方案∈ H2,1（Q2τ）。3问题（2.2）-（2.4）的数值方法正如导言中所指出的，问题（2.2）-（2.4）是不适定的，因为我们试图在时间上向前而不是向后求解Black-Scholes方程，。Theill适定性在这里意味着不保证解的存在。此外，对于初始和边界条件的小波动，解（即使存在）也是不稳定的，关于不适定问题的理论，请参见蒂霍诺夫、冈查尔斯基、斯捷潘诺夫和雅格·奥拉（1995）的著作。因此，我们使用Klibanov（2014）第5节的正则化方法。简单地说，我们找到了这个问题的近似解，它以最小二乘法的最佳方式满足条件（2.2）-（2.4）。考虑以下函数F（s，t）F（s，t）=ub（t）- ua（t）sb- sa·s+ua（t）sb- ub（t）sasb- 萨。（3.1）然后F∈ H（Q2τ）。

它由（2.1）、（2.3）、（2.4）和（3.1）t得出，tF（s，0）=f（s），f（sb，t）=ub（t），f（sa，t）=ua（t）。（3.2）在克利巴诺夫（2014）的第5节中，考虑以下类似蒂霍诺夫函数jα（u）=ZQ2τ（Lu）dxdt+αku- F kH（Q2τ），（3.3）式中α∈ （0，1）是正则化参数。注意，在线性不适定问题的常规情况下，Tikhonov泛函由有界线性算子生成，参见Ivanov、Vasin和Tanana（2002）。然而，在我们的例子中，L是一个无界微分算子L:H2,1（Q2τ）→ L（Q2τ），在这种情况下，H2,1（Q2τ）被认为是空间L（Q2τ）中的稠密线性集。我们考虑以下最小化问题：最小化问题。根据初始条件和基本条件（2.3）、（2.4），最小化（3.3）中的函数Jα（u）。为了通过计算解决这个最小化问题，我们在（3.3）中通过有限差分写出了偏导数。特别是，我们得到了覆盖矩形Q2τ的有限差分gr idg。接下来，我们使用共轭梯度法，使Jα（u）相对于网格点处函数u（s，t）的值最小化。这种方法的起点是u≡ 定理2保证了由边界条件（2.3）、（2.4）提供的泛函（3.3）的极小值的存在唯一性。该定理紧随克利巴诺夫（2014）的定理5.3，其中考虑了一般的二阶抛物方程。定理2。在（3.3）中，F是（3.2）中定义的函数。那么对于任何α∈ （0，1）存在唯一的极小值uα∈ 满足条件（2.3）、（2.4）的泛函Jα（u）的H（Q2τ）。

此外，存在一个常数C=C（Q2τ，σ）>0，仅取决于列出的参数，如thatkuαkH（Q2τ）≤C√αkF-kH（Q2τ）。为了给出极小值uα的收敛结果，我们需要假设存在病态问题的“理想”精确解，即理想无噪声数据的解。这种假设是蒂霍诺夫正则化理论最重要的组成部分之一，参见Tikhonov、g oncharsky、Stepanov和Yagola（1995）。因此，我们假设存在精确解u*（s，t）∈ 方程（2.2）的H（Q2τ）和精确初始条件f*（s）∈ （2.3）中的H（sb，sa）和精确边界条件u*b（t），u*a（t）∈ H（0，2τ）。我们还假设存在一个f函数f*∈H（Q2τ）使得f*（s，0）=f*（s） ，F*（sb，t）=u*b（t），F*（sa，t）=u*a（t），（3.4）与（3.2）相似。让δ∈ （0，1）是一个非常小的数字。我们假设- F*kH（Q2τ）≤ δ. （3.5）因此，从（3.2）、（3.4）和（3.5）可以看出，与精确数据f相比，数字δ表征了我们数据f（s）、ub（t）、ua（t）中的误差水平*（s） ，u*b（t），u*a（t）。在定理3中，我们估计了极小值uα对精确解u的收敛速度*, 假设→ 定理3紧随Klibanov（2014）的定理5.4，该定理被证明是二阶一般同位算子。正如正则化理论中经常做的那样，我们在定理3中根据数据中的误差水平选择正则化参数α=α（δ）。请注意，数据中的小扰动假设（3.5）似乎接近实际情况。