重尾损失因子随机分担风险的界

特别是ρ*indgA，α=dj=1Aejα=Sd-1+dj=1Aejαsjdρ*（s）=Sd-1+gA，α（s）∑dj=1As1/α-jejαAs1/ααdρ*（s）≥ ρ*gA，α前导toCSν=ν○A.-1({十、> 1})≤ νind○A.-1({十、> 1} ）=在（3.10）中表示的CSindas。（b） 我们可以进行类似于（a）部分的步骤，简单地在等式中反转。为了建立（3.12），我们注意到不等式（3.19）对β的作用是相反的≤ 1.因此，不等式（3.20）和（3.21）也以相反的方式类似地成立。对于（3.11），注意在α的情况下≥ 1和0<r<1（3.22）中的两个不等式显然以相反的方式成立。（c） 关于（3.13）和（3.14）的例子，我们选择ν作为图像度量∶=νind○B-1标准指数测量值νindon R+通常由νind（[0，x]c）给出=∑j=1x-αjand a matrixB=1 1 01 0 1.此外，我们定义了函数T∶ R+→ R+asT（x）=（ν（{y∈ R+∶ Y> 1} x）1/α，（ν（{y∈ R+∶ Y> 1} ）x）1/α）.度量ν*= ν○然后T是规范的；i、 e.它是ord er的同质-1和ν*（{y∈ R+∶易> 1} ）=1表示i=1，2。为了得到正则谱测度，我们通过设置τ（x）=(十、,十、∥十、∥). 用ρ表示*光谱测量和通过dπ（x）=x定义测量π-2dx，关系式ν*= π  ρ*持有。现在我们可以计算ρ*如下。我们首先注意到，通过构造*在X轴和对角线{t1上只有正质量∶ t>0}。因此，在球面Sd+上的正则谱测度仅在点（1,0）处获得质量, (0, 1), 1.1.. 我们首先观察到○B-1（{x∶ xi> 1} ）=2表示i=1，2。这就得到ρ*({(1, 0)}) = ν○T（{tet>1}）=νind○B-1（{21/αtejt>1}）=νind（x∈ R+Bx∈ {21/αte∈ R+t>1}）=νind（se∈ R+sBe∈ {21/αte∈ R+t>1}）=νind（se∈ R+s∈ [21/α, ∞)) == ρ*({(0, 1)})对称性。

对于第三原子，我们计算ρ*({11.}) = ν○T（{t11. t>1}）=νind○B-1（{21/αt11.1/αt>1}）=νind（x∈ R+Bx∈ {21/αt11.1/α∈ R+t>1}）=νind（se∈ R+sBe∈ {(21.)1/αt1∈ R+t>1}）=νind（se∈ R+s∈ [(21.)1/α, ∞))=1..因此，我们得到ρ*=δ(1,0) +δ(0,1) +1.δ1/∥1.∥.此外，渐近独立和完全依赖情况下的正则谱测度是ρ*ind=δ（1,0） +δ(0,1) 和ρ*dep=1.δ1/∥1.∥为了构造反例，我们选择d=q=2和函数gA，α，其中A=i为单位矩阵。那么ρ*gA，α=S+As1/ααdρ*= I（1,0）αρ*({(1, 0)})+I（0,1）αρ*({(0, 1)})+I（1）1.)1/ααρ*({11.})= 2.-1+2-1+1.-1.(1, 1)α1.= 1+2αr-1，而ρ*indgA，α=2。这导致了ρ的等价性*gA，α<ρindgA，α<=> 2>1+2αr-1.<=> 1>2αr-1.<=> r>α。（3.23）特别地，我们有f或1<α<r，CSν（A）<CSind（A）。接下来，我们选择A=1 11 1然后计算ρ*indgA，α=1.α+1.α=2αr+1as以及ρ*gA，α=1.α+1.α+1.1 11 11.1/αα.因此，ρ*indgA，α<ρ*gA，α<=> 因此，对于α>1，CSind（A）<CSν（A）。不等式（3.15）和（3.16）分别来自（3.23）和（3.24）。定理3.3。让三维向量Vind，V和vdepv具有相等的裕度V，VDP[Vj>t]~ Kjt-α、 但不同的指数衡量的是νind，ν，νdep。

表示聚合向量F对于r>1的一些r-范数或0<r<1的一些r-拟范数，代表市场中的风险。（a） 如果r≥ 1.对于系统设置错误的常数CSref，以下不等式成立：CSν≤ α的CSDEP≥ r（3.25）CSν≥ 0<α的CSDEP≤ 1（3.26）（b）如果0<r<1，对于系统设置的常数CSref，以下等式保持不变：CSν≤ α的CSDEP≥ 1（3.27）CSν≥ 0<α的CSDEP≤ r（3.28）（c）然而，有矩阵A，A和指数度量ν，使得CSν（A）>Cstep（A）表示1<A<r，（3.29）Cstep（A）>CSν（A）表示1<A<r，（3.30）CSν（A）<Cstep（A）表示r<A<1，（3.31）Cstep（A）<CSν（A）表示r<A<1。（3.32）证据。我们需要以下不等式，这些不等式被称为[12]中定理2021的推广，在这里，关于勒贝格测度的积分证明了这样的不等式。下面的一般版本是使用Fubini定理和σ-有限测度的H¨older不等式的自然扩展。假设（S，u），（S，u）是两个σ-有限度量S和F∶ S×S→R是产品可测量映射。然后是p≥ 1.不平等sSF（x，y）du（x）pdu（y）≤ssF（x，y）pdu（x）pdup（3.33）和0<p≤ 1.不平等sSF（x，y）du（x）pdu（y）≥ssF（x，y）pdu（x）pdup（3.34）正确。（a） 在1<r<a的情况下，我们想要显示（3.25）；更确切地说，Sd-1+As1/ααdρ*（s）≤Sd-1+As1/ααdρ*副署长（s）=A1α. （3.35）为此，我们将申请（3.33）两次。第一步，取S=Sd-1+带u=ρ，S={1，…，q}带u计数度量，以及F（i，S）=∑dj=1Aijs1/αjrand p=αr.然后Sd-1+As1/ααdρ*（s）=sSF（x，y）du（x）pdu（y）≤ ssF（x，y）pdu（x）pdup=Qi=1Sd-1+Dj=1Aijs1/αjrαrdρ*（s）rααr（3.36）在第二步中，取S=Sd-1+，u=ρ*S={1，…，d}与加权计数度量ui=∑dj=1Aijδji=1，q、 进一步，设F（j，s）=s1/αjand p=α。

然后Sd-1+Dj=1Aijs1/αjαdρ*（s）≤ Dj=1AijSd-1+（s1/αj）αdρ*（s）1/αα=（d）j=1Aij）α，i=1，q、 我们继续（3.36）并发现Qi=1Sd-1+Dj=1Aijs1/αjrαrdρ*（s）rααr≤ Qi=1（d）j=1Aij）αrααr=A1α.关系式（3.26）类似地用（3.34）表示。（b） 不等式（3.27）和（3.28）可以通过分别使用不同的不等式来表示，类似于（a）部分。（c） 最后，我们可以使用ρ*以显示（3.29）和（3.30）。再取A=I，我们得到ρ*gA，α=1+2αr-1和ρ*depgA，α=2α，因此ρ*gA，α>ρ*德普加，α<=> 1+2αr-1> 2αr<=> 2>2αr<=>α<r.（3.37）因此，对于1<α<r，我们有CSν（A）>CSdep（A）。接下来，我们选择A∶= 1 11 1然后计算ρ*gA，α=2αr+2-1α（1+r）和ρ*depgA，α=2α（1+r）。实际上，ρ*depgA，α>ρ*gA，α<=> 2α> 2 <=>α > 1; （3.38）也就是说，对于1<α<r，我们有CSν（A）<Cstep1。关系式（3.31）和（3.32）分别来自（3.37）和（3.38）。推论3.4。分别给出定理3.2和3.3的假设，在特殊的字母α=r=1中，等式Csind=Cstep=CSν成立；i、 例如，风险值渐近性不受风险因素之间的依赖结构的影响。备注3.5。考虑VaR1的渐近界-γ与CoTE1-由于γ通常被认为很小，因此本文中的γ可能具有实际意义。[3]中还研究了非渐近环境下尾部风险度量的界。从这些界限中，我们可以导出交感离子。例如，考虑上界，同时设置q=d和A=Id（单位矩阵，尤其是确定性矩阵）以及α∈ (1, ∞) 和·就像诺姆一样。定理3.3对于任意风险向量VVaR1-γ(五、) VaR1-γ(Vdep) （3.39）（其中f g定义为lim supγ→0f（1）-γ） g（1）-γ)≤ 1 ).

如果五、有一个巢穴，然后是条件尾部期望CoTE1-γ(五、) 定义2.1与引入的风险尾值TVaR1-γ一致(五、)在[3]中。如果五、具有与α相对应的有限方差∈ （1，2），我们从[3]中的定理2.1中得到-γ(五、)≤ CoTE1-γ(五、), 这显然意味着alsoVaR1-γ(五、) CoTE1-γ(Vdep).如果我们把它和Karamata渐近式结合起来-γ(Vdep)~αα -1VaR1-γ(Vdep),这给了我们一个答案-γ(五、)αα -1VaR1-γ(Vdep),这是根据（3.39）得出的，不是αα的最优界-1> α>1时为1。如果五、具有有限方差，对应于α>2，[3]中的定理3.2给出了不等式var1-γ(五、)≤ 闵u+s(1 -γ)γ、 CoTE1-γ(Vdep)μ=E五、s=Var五、. 自从γ-1/α(1 -γ)γasγ→ 0，与（3.39）相比，这也不是最优界。感谢Ludger R¨uschendorf或让我们了解论文[16]中的结果。参考文献[1]B.Basrak、R.A.Davis和T.Mikosch。GARCH过程的规则变化。随机过程及其应用，99（1）：95–115，20 02。[2] J.贝尔兰特、Y.戈格贝尔、J.塞格斯和J.泰格尔。极端统计：理论与应用。威利概率统计系列。威利，奇切斯特，2006年。[3] C.Bernard、L.R–uschendorf和S.Vandu Affeel。方差约束下的风险价值界。即将发表在《风险与保险杂志》上。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=23420682016年[4]K.B¨ocker和C.Kl¨uppelberg。操作风险的多变量模型。数量金融，10（8）：855–8692010。[5] 布莱曼。在某些极限上，与弧正弦定律相似。Probab理论。应用程序。，10:323–331,1965.[6] C.Burgert和L.R–uschendorf。C投资组合向量的一致风险度量。《保险：数学与经济学》，38（2）：289-2972006。[7] F.卡乔利、M.什莱斯塔、C.摩尔和J.D.法默。

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