重尾损失因子随机分担风险的界

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英文标题：
《Bounds for randomly shared risk of heavy-tailed loss factors》
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作者：
Oliver Kley and Claudia Kluppelberg
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  For a risk vector $V$, whose components are shared among agents by some random mechanism, we obtain asymptotic lower and upper bounds for the individual agents\' exposure risk and the aggregated risk in the market. Risk is measured by Value-at-Risk or Conditional Tail Expectation. We assume Pareto tails for the components of $V$ and arbitrary dependence structure in a multivariate regular variation setting. Upper and lower bounds are given by asymptotically independent and fully dependent components of $V$ with respect to the tail index $\\alpha$ being smaller or larger than 1. Counterexamples, where for non-linear aggregation functions no bounds are available, complete the picture.
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中文摘要：
对于一个风险向量$V$，其组成部分通过某种随机机制在代理之间共享，我们得到了单个代理的暴露风险和市场中总风险的渐近上下界。风险由风险价值或条件尾部预期来衡量。我们假设$V$的成分为帕累托尾，并且在多元规则变化环境中具有任意依赖结构。上界和下界由$V$的渐近独立和完全依赖分量给出，尾指数$\\alpha$小于或大于1。反例，对于非线性聚合函数，没有可用的边界，请完成图片。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Bounds_for_randomly_shared_risk_of_heavy-tailed_loss_factors.pdf (190.1 KB)

2022-5-7 22:11:36 上传

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关键词：担风险 Quantitative Multivariate Applications Application

重尾损失因子随机分担风险的界Oliver Kley*克劳迪娅·克鲁佩尔伯格*,2021年9月29日摘要对于一个风险向量V，其组成部分通过某种随机机制在代理之间共享，我们获得了单个代理的暴露风险和市场中的总风险的渐近上下界。风险由风险价值或条件预期来衡量。我们假设在多元规则变化环境中，V和任意依赖结构的分量具有帕累托尾。上界和下界由V的渐近独立和完全依赖分量给出，关于尾指数α小于或大于1。反例，对于非线性聚合函数，没有界限可用，请完成图片。AMS 2010 Su对象分类：主要：90B15，91B30次要：60E05，60G70关键词：多元规则变化，个体和系统风险，帕累托尾，风险度量，聚合风险的界限，随机风险分担1简介vjj=1，d是具有帕累托尾的风险变量，因此，对于可能不同的Kj>0和尾指数α>0，P（Vj>t）~ Kjt-α、 t→ ∞. （1.1）（对于两个函数f和g，我们写f（t）~ g（t）as t→ ∞ 如果限制→∞f（t）g（t）=1。）我们总结了向量V=（V，…，Vd）中的所有风险变量. 假设尾指数α对于allj=1，…，是相同的，d因为，当用不同的尾部指数汇总风险因素时，总是最小的α获胜，这是[5]个州的著名结果。这就是说，假设相同的α实际上意味着从一组风险因素中选择α最小的子集，从而降低维度。V中的d风险通过某种r an dom机制在q代理之间共享。让我们注意试剂i的暴露和F=（F，…，Fq）曝光向量。

风险分担由随机q×d矩阵A=（Aij）q，di，j=1（独立于V）控制，其方式如下：=∑dj=1AijVjfori=1，q或者，等价地，用矩阵表示F=AV。（1.2）A是确定性的还是随机的可能取决于可用信息的质量。具有丰富知识的内部分析师或监管机构可能会认为A是确定性的，而*德国玻尔兹曼大街3号加兴85748号蒙城理工大学数学科学中心，电子邮件：奥利弗。kley@tum.de , cklu@tum.dean外部分析师（例如为机构投资者工作）可能会因为缺乏洞察力而认为这是随机的。本说明的动机是[13]和[14]，其中风险变量Vjmodellarge保险索赔和代理代表再保险公司。例如，这些权利主张可以与二部图结构给出的机制随机共享，结果是inAij=1（i~ j） 度（j），（1.3），其中1（i~ j） 指示代理人i是否承担风险j的（比例）份额，deg（j）表示选择为风险j投保的代理人总数。进一步的例子包括运营风险、建模事件类型（风险变量）和业务线（代理人），其中帕累托损失是自然的（参见[4]），以及[7]中描述的重叠投资组合（共同资产持有）。在所有这些应用中，不仅要量化单个代理的风险，还要量化市场风险，因为我们指的是与监管机构高度相关的市场总风险。按照[8]中的观点，我们通过r-范数（r）上的风险度量来评估市场风险≥ 1） 还是r-拟形式（0<r<1）F ∶= Fr=∑qi=1Fri1/rof曝光矢量。这些聚合函数满足[8]中的大多数公理，分别是连续的、凸的或凹的。

我们的市场风险度量不一定满足那里要求的正常化条件：假设总单位损失在代理之间分成相等的部分，我们有(1Q1.q）r=q1/r-如果r>1，则1<1，且(1Q1.q）r=q1/r-1> 1表示0<r<1，因此，只有当r=1时，才满足[8]的归一化条件。在第一种情况下，我们看到-范数通过凸性低估了加性风险。特别是，如果药剂的数量增加，r-正常值降低。因此，r>1的规范不适用于系统风险评估，因为它们暗示了监管套利的可能性。然而，我们认为，这种低估在某些应用中可能是现实的，因为一个更大的市场可能风险更小，因为风险平衡是众所周知的保险投资组合。此外，这类规范在投资组合分析中也很有用，见[6]。在第二种情况下，0<r<1-quasinorm会高估附加风险。当放大机制发挥作用时，这种情况反过来可能是现实的，因为它发生在系统性风险中。此外，[11]雇佣-投资组合构造的准标准。我们的框架允许在聚合函数的选择上有很大的差异：凸函数、线性函数或凹函数。采用哪种聚合函数的决策最终是由应用程序驱动的，而且基本上是基于经济推理的决策。我们基于风险价值（VaR）和条件尾部期望（CoTE）来研究风险，我们通过渐近逼近来评估。假设Vind、V、VDEPE为上述风险向量，风险变量之间具有不同的依赖结构。

文[14]在多元正则变分的框架下，Vindcorresponse与渐近自变量和d Vdepto渐近完全因变量相关。在copula世界（见[3,10]）中，可以评估两种极端的依赖结构；i、 如果或在何种条件下，这些极端依赖性会导致任意依赖性结构的风险上限和下限，那么理解它们是高度相关的。值得注意的是，[10]表明，共单调copula不会导致上界，并且提供了一个程序来寻找最佳可能的VaR上界。[3]中增加了方差信息。这是一组可行的copu las。然后上界可以比共形变量低。在[9]中研究了亚加性和超加性的相关问题。我们显著扩展了[9]中的设置和范围：首先，通过允许（1.1）中所述的轨道多样性，其次，通过纳入（1.2）中所述的随机市场结构，允许以更广泛的方式进行风险评估。此外，文献[9]中的结果也是一般聚集函数的公式，但没有考虑非线性的影响，因此一般边界可能会被破坏。从这个意义上说，我们的结果为现有文献增添了新的重要方面。本说明的组织结构如下。在第2节中，我们将V表示为一个具有不同依赖结构的规则变化向量。在此，我们还定义了任意随机变量的风险度量VaR和Cotefo，并在我们的框架中总结了它们的渐近行为。第三章基于渐近相依和完全相依的随机变量，推导了单主体和市场风险的界。我们也给出了反例来说明边界的限制。2.准备工作2。1.多元规则变量我们从[17]中回忆起。

正随机向量V的第6位∈ 如果存在氡测量值eν，则Rd+是多变量规则变化的≡ Borelσ-代数B=B（Rd）上的0+ {0}），其中0表示Rd中的零向量，例如NPN-1/αV∈ ·五、→ ν(·), N→ ∞. （2.1）符号→ 代表模糊的趋同。此外，测度ν是某阶齐次的-α大于0，称为V的指数测度。我们定义了一个标准· 关于Rdin su ch，对于所有标准单位向量ej = 1，j=1，d、 在我们写作时，这实际上会导致符号的轻微滥用· 对于Rq上代理风险敞口向量F的聚集函数。用Sd表示-1+={x∈ 研发部+∶ 十、 = 1} 在Rd中，指数测度ν的存在等价于测度ρ上的rad的存在≡ Borelσ-代数B（Sd）上的0-1+）以这样的方式，对于所有u>0P五、 > ut，V五、-1.∈ ·P[五、> t]v→ U-αρ(·), T→ ∞, （2.2）保持。测量ρ称为V的光谱测量。在[17]第6章中可以找到ν和ρ之间的精确关系。最后，我们注意到（2.1）中的收敛也意味着T-1V∈ ·P[五、> t] 五→ν(·)ν（{x）∶ 十、> 1} ）t→ ∞. （2.3）尾指数α>0也被称为V的规则变化指数，我们写V∈ R(-α).我们将经常使用所谓的正则指数度量*对于V，它被定义为图像度量*= ν ○变换映射下的T∶ 研发部+→ Rd+，给定byT（x）=（ν（{x>1}）1/αx1/α，ν（{xd>1}）1/αx1/αd）.然后呢*具有标准化的利润率和尾部ind ex1，对应于P（Vj>x）~ 十、-1asx→ ∞.相应的光谱测量eρ*被称为规范谱测度，其特征是Sd-1+sjρ*（ds）=1，j=1，d、 （2.4）见[2]，第页。

259.对于矩阵A和给定范数· , 这就产生了一个操作员规范A.op=SUP∥十、∥=1.斧头,我们要求完成以下内容：o满足力矩条件EA.α+δop<∞ 对于某些δ>0和α，如（1.1）；o向量V依赖于随机矩阵A，而V，VD可能并不相互独立。如果这两个条件都成立，那么向量F=AV也会随着指数被测量而有规律地变化○ A.-1（参见[1]，命题A.1）。2.2风险度量我们还回顾了以下风险度量。定义2.1。1级置信水平下随机变量X的风险价值（VaR）- γ定义为VAR1-γ（X）∶= inf{t≥ 0∶ P[X>t]≤ γ}, γ ∈ （0,1），以及信心水平1的条件尾部预期（CoTE）-γ、 基于相应的VaR，asCoTE1-γ（X）∶= E[XX>VaR1-γ（X）]，γ∈ (0, 1).在整个过程中，以下常数将与Ciind=d相关j=1KjEAαij，i=1，q、 CSind=dj=1KjEAejα、 （2.5）Cidep=E（AK1/α1）αi，i=1，q、 CSdep=EAK1/α1α、 （2.6）我们总结了j=1的常数kjj，对角矩阵xk1/α中（1.1）的d∶= diag（K1/α，…，K1/αd）。（2.7）引理2.2（[14]，推论3.7和3.8）。设F=AV=（F，…，Fq）.（a） 个体风险测量：α>0时，代理人i的个体风险值∈ {1，…，q}satis fiesvar1-γ（Fi）~ C1/αγ-1/α, γ → 0.（2.8）对于α>1，个体条件尾部期望为代理i∈ {1，…，n}satisfiescote1-γ（Fi）~αα -1VaR1-γ（Fi）~αα -1C1/αγ-1/α, γ → 0.单个常数为C=Ciindor C=CidePv，分别为渐近独立或渐近完全依赖。（b） 市场风险度量：聚合向量的市场价值-风险F 满足感1-γ(F)~ C1/αγ-1/α, γ → 0

（2.9）如果α>1，则聚合向量的市场条件尾部预期F 满足感1-γ(F)~αα -1VaR1-γ(F)~αα -1C1/αγ-1/α, γ → 0.参考系统设置的市场常数为C=CSindor C=CSdepforV，分别为渐近独立或渐近完全依赖。3一般依赖结构的界限从[14]的（3.12）和（3.14）中回忆起，常数（2.5）可以用指数度量viaCiind=Eνind表示○A.-1（{x∶ xi>1}），i=1，q、 CSind=Eνind○A.-1（{x∶ 十、> 1} ）（3.1）Cidep=Eνdep○A.-1（{x∶ xi>1}），i=1，q、 CSdep=Eνdep○A.-1（{x∶ 十、> 1.}) （3.2）带有（参见[14]中的引理2.2]）νind（[0，x]c）=dj=1Kjx-αjandνdep（[0，x]c）=maxj=1，。。。，d{Kjx-αj}。（3.3）在向量V的任意极值依赖结构的情况下，常数Ciind、Cidepas以及Csinda和Cdepin的类似物，由一些指数度量ν和νind表示≠ ν ≠ νdep，那么ciν=Eν○A.-1（{x∶ xi>t}）和CSν=Eν○A.-1（{x∶ 十、> t}）。（3.4）根据引理2.2，必须确定常数Ciν和CSν的界s，以获得VaR或CoTE在各自情况下的渐近界s。对于（2.7）中的K1/α，对于具有任何依赖结构的向量V的指数m测量，我们得到csν=Eν○K1/α○（AK1/α）-1({十、> 1} ）和Ciν=Eν○K1/α○（AK1/α）-1（{xi>1}）。注意，度量值是○K1/α具有平衡的尾部；i、 e.，ν○K1/α（{xj>1}）=1，j=1，d、 因为所有边际随机变量都如（1.1）所示，无论向量的依赖结构如何，对于所有定理的证明，我们可以并且确实假设边际是标准化的；e、 g.对于j=1，…，Kj=1，d、 此外，为了分别建立Ciind、Cidepand Ciν或CSind、CSdepand CSν之间的不等式，有必要证明rand om矩阵A的所有实现的相应不等式。

我们获得了定义单个风险度量的常数的以下界限。定理3.1。让三维向量Vind，V和vdepv与等式ul-marginsV，VDP[Vj>t]~ Kjt-α、 但是不同的指数度量了νind，ν，νdep。那么对于变量Ciref到agent i，以下不等式成立：Ciind≤ Ciν≤ Cidepforα≥ 1，（3.5）Cidep≤ Ciν≤ Ciindforα<1。（3.6）证据。让ai∶= 艾岛·是矩阵A和Vind、V、VDE的第i行，位于具有不同依赖结构的风险向量之上。[16]中的推论3.8提供了α≥ 1.不平等→∞P[aiVind>t]P[aiV]≤ 1和lim supt→∞P[aiV>t]PaiVdep>t≤ 1（3.7）和0<α<1的不等式→∞PaiVdep>tP[aiV>t]≤ 1和lim supt→∞P[aiV>t]P[aiVind>t]≤ 1.关于（3.7）中的左不等式，我们有→∞P[aiVind>t]P[aiV>t]=lim supt→∞P[aiVind>t]P[维德> t] P[维德> t] P维德，我不知道P[aiV>t]P[五、> t] P[五、> t] P[Vi]>t=νind○A.-1（{xi>t}）ν（{xi>1}）ν○A.-1（{xi>t}）νind（{xi>1}）=νind○A.-1（{xi>1}）ν○A.-1（{xi>1}）≤ 1、（3.8）由于w.l.o.g，所有的边缘都是相同的。（3.5）和（3.6）中的其他不等式被类似地处理。对于市场风险度量的界限，我们引用了[16]中的观点。如果我们想强调常数依赖于一个特定的矩阵A，下面我们有时写下Ciν（A）和CSν（A），而不是Ciν和CSν。定理3.2。让三维向量Vind，V和vdepv具有相等的裕度V，VDP[Vj>t]~ Kjt-α、 但不同的指数度量值νind，ν，νdep表示聚合向量F 对于r的r-范数≥ 0<r<1时为1或r-拟形式，代表市场风险。（a） 如果r≥ 1.对于系统设置风险的常数CSref，以下不等式成立：CSν≥ CSindforα≥ r、 （3.9）CSν≤ Csind0<α≤ 1.

（3.10）（b）如果0<r<1，对于系统设置的常数CSref，以下等式保持不变：CSν≥ CSindforα≥ 1，（3.11）CSν≤ Csind0<α≤ r、 （3.12）（c）然而，有矩阵A，A和指数度量ν，使得CSind（A）>CSν（A）表示1<A<r，（3.13）CSν（A）>CSind（A）表示1<A<r，（3.14）CSind（A）<CSind（A）表示r<A<1，（3.15）CSind（A）<CSind（A）表示r<A<1，（3.16）证明。（a） 与[16]类似，我们定义了s1/α∶= （s1/α，…，s1/αd）gA，α（s）∶= As1/αα和ρ*gA，α∶=Sd-1+gA，α（s）ρ*（ds）对于某些正则谱测度ρ*. 与（3.8）相似，我们注意到○A.-1({十、> 1})ν ○A.-1({十、> 1} ）=limt→∞P[阿文德> t] P[成人影片> t] 。（3.17）此外，我们从[16]中的命题3.2和3.3中得到→∞P[阿文德> t] P[成人影片> t] =ρ*indgA，αρ*gA，α（3.18）成立。因此，为了证明（3.9）和（3.10），有必要证明ρ*ind（gA，α）≤ ρ*（gA，α）和ρ*ind（gA，α）≥ ρ*（gA，α）。我们第一次展示（3.9）。注意，对于非负实数a，anandβ≥ 1.不平等aβ+··· +aβn≤ （a）+··· + a）β（3.19）是有效的。自ρ*因加，α=∑dj=1Aejα、 利用（2.4），我们写了[16]ρ的定理3.7的证明*因加，α=Sd-1+dj=1Aejαsjρ*（ds）=Sd-1+∑dj=1As1/α-jejα∑dj=1As1/αjejαAs1/ααρ*（ds）。为了建立ρ*因加，α≤ ρ*gA，α将右手积分下的fr作用约束为1是有效的。为此，我们回忆起A中的所有条目都是非负的，并且αr≥ 1.我们j=1As1/α-jejα=dj=1Qi=1（aijs1/αj）rαr≤ Dj=1qi=1（aijs1/αj）rαr（3.20）≤ Qi=1Dj=1aijs1/αjRαr（3.21）=Dj=1As1/αjejα，我们两次应用不等式（3.19）。对于界（3.10），我们使用cr-不平等，参见例如[15]，第157页，导致Ni=1xiα≤ Ni=1xiα≤Ni=1xiα（3.22）对于x，xn∈ 路。