金融网络的敏感性和计算复杂性

分散性衡量风险在网络中的传播方式。随着机构增加交叉持股的数量，多元化增加。整合和多元化都不会对网络稳定性产生严格的积极或消极影响，而是会产生稍微复杂一些的非单调影响。Arora等人在金融产品的背景下对计算复杂性的概念进行了研究。他们表明，ban k s可以准确地创建难以计算的变量[ABBG10，ABBG11]。Arora等人的结果在很大程度上取决于机构——卖方（创造衍生品的人）和买方——之间的信息不对称，后者只看到衍生品的构成。Braverman和Pasricha[BP14]表明，即使在fu-Lin信息设置中，复合期权的定价也是PSPACE完整的。4模型我们使用[EGJ14]提出的模型。在这个模型中，有n个金融机构，它们可以被视为国家、银行或私营企业，还有m个基础资产，可以被视为具有内在价值的任何对象或项目。金融机构拥有基础资产的股份，这些资产为系统带来价值。这些机构本身的价值通过网络（建模为加权有向图）相互关联。机构之间的相互依赖（交叉持股）被建模为简单的线性依赖。这些线性交叉持股可以对简单股权（一家机构持有另一家机构的股份）进行建模，也可以将其视为机构之间更复杂的ebt合同的近似值（有关该模型的有效性和通用性的更深入讨论，请参见[EGJ14，第2.5节]）。尽管机构之间相互投资，但系统中的所有价值都源自基础资产。

资产k的价格由pk决定，我们使用Dik≥ 0表示机构i拥有的资产k的百分比。所有权的n×m矩阵由D=（Dik）表示。我们将C=（Cij）定义为表示机构交叉持股的n×n矩阵。Thusinstitution i拥有机构j的Cij部分。将交叉持股网络视为一个有向图，其中n个节点代表金融机构，当Cij>0时，机构j到i的边的权重为Cij，这将非常有用。在[EGJ14]之后，我们为所有i设置了Cii=0。现在，Picij是由j外部机构拥有的机构j的一部分。剩余部分，即自我流动的金额，用^cjdef=1表示-皮奇。矩阵^C将是一个对角线矩阵，其中^Ciion是对角线。正如[BBC89]所指出的，这种类型的模型引入了两种类型的估值，股票估值（~V）和市场估值（~V）。机构i的股权估值用vi=XkDikpk |{z}表示，由i持有的资产价值+XjCijVj |{z}用矩阵表示法表示，由i（1）持有的机构价值变成~V=D~p+C~V，这意味着~V=（i）- C）-1D~p.母体- C是可逆的，因为我们假设^Cjj>0，所以C的列和严格小于1（见引理2）。事实上，矩阵I- C、 是一个M矩阵[PB74]，所以- C）-1是一个逆M矩阵，关于它的许多性质是已知的[Wil77，Joh82]。这种股权估值明显高估了这些机构的价值。特别是，我们可以看到≥ k~pk，因此系统中机构的总价值（通常）将远大于基础资产的总价值。这是因为每项资产都计入拥有该资产的机构的权益价值，也计入在资产所有者中拥有权益的机构的权益价值。

该网络的股权价值波动是众所周知的，并在理论和经验上得到验证[FP91，FHT94]。为了确定一家机构的市场价值，我们必须根据该机构自身拥有的股份百分比来衡量该机构的股权价值，因此机构i的市场价值为vi=^CiiVi，因此市场价值是系统~v=^C~v=^C（i）的解- C）-1D~p（2）矩阵C是列次随机的，因为列i和为1-^Cii。该系统也可以被视为一种流动，根据网络的链接结构（见附录a），在每个时间点，资金在b和k之间流动。5敏感性您的第一个结果关注估值对网络结构微小变化的敏感性。假设一家机构少量转移其持有量，那么这一微小的变化会对网络中的市场估值产生多大影响？这个问题的动机是关于网络稳定性的问题，以及隐私保护监督的可能性。如果网络持有量的微小变化会导致机构的市场价值发生重大变化，这表明金融网络存在根本性的不稳定。此外，如果银行间持股的微小变化可能导致市场价值的巨大变化，那么任何金融监管的尝试都必须高度准确地了解所有银行间持股，以便预测市场价值。高灵敏度也对私人计算网络统计有影响。Floody等人[FKOS13]建议使用Differential privacy[Dwo06，DMNS06]中的工具来提供计算全球网络特征的方法，同时保护每个机构持有的隐私。

在计算网络统计数据时，高灵敏度意味着隐私和准确性之间的权衡更差。我们从一个简单的观察开始敏感性分析：如果基础资产的总价值为k~pk，那么持有量的变化可以很容易地通过k~pk改变市场估值（见图1）。我们证明，如果网络是非循环的，那么这是可能的最大变化，但是如果网络中有循环，灵敏度可能会大得多。在本节中，我们使用r（代表“储备”）来衡量系统外投资者提供服务的每个机构的比例。我们定义r=mini^Cii。使用[EGJ14]的术语，r只是网络集成的一个具体指标，集成度随着r的增加而增加→ 0.准备金的另一种解释是股权估值（~V）和市场估值（~V）之间的差异。储备，或自我持股，可以被视为一个机构的金额，该机构未被出售，或由私人股东持有，他们保留自己的全部所有权。这些私人股东购买网络中机构的股份，但网络中没有实体拥有私人股东的股份。BB1- 图1：变化导致市场价值的k~pk变化。银行是蓝色的，外部股东是绿色的，资产是红色的。在这个例子中，D~p=, C=0。因此~v=. 将C更改为C=0 0 0导致估值为~v=1.- , 因此，通过k~pk对Bchan ges进行市场估值。既然~v=^C~v，我们就有了r=minivvi。5.1非循环网络的敏感性我们首先注意到，在非循环情况下，每个机构的股权估值都有一个很强的界限，即股权估值不能比市场估值大太多。引理1。

如果银行网络没有周期，那么每个机构的股权估值都是atmost k~pk，其中~p是资产价值的向量。证据将金融网络组织成多个层次，这样每个机构只拥有较低层次机构的股份。因此，在一级机构中，它们没有任何交叉持股，只持有基础资产。这意味着，级别1的传入边的总权重为k~pk。通过增加转移其所有收入的机构，我们还可以确保每个机构只拥有上一级实体的股份，即一级机构只拥有一级机构（或机构）的股份- 1.现在，每个机构的权益价值是所有传入边上的价值之和。由于支出的价值占权益价值的百分比，因此每个机构的未来边缘上的价值之和最多是其未来边缘上的价值之和。（对于真正的机构来说，由于准备金率r>0，因此其总产出将严格减少，但对于真正的机构来说，它可以完全相等。）现在，进入第1层的值之和基本上是资产之和，k~pk。因此，从1级到2级的输出边的总重量最多为k~pk。通过这些级别，我们可以看到级别i的传入边上的值之和为mostk~pk。因此，一级所有机构的股权价值最多为k~pk，尤其是任何给定机构的股权价值最多为k~pk。推论1。如果银行网络是非循环的，其中一个边缘最多变化，那么任何机构的市值变化都不会超过k~pk。证据

由于每家机构的股权价值最多为k~pk，因此任何边缘的变化对应的绝对变化最多为k~pk。5.2一般网络中的敏感性在本节中，我们将探讨当一家银行在网络图中存在周期的情况下少量改变其持有量时，市场估值会发生多大变化。我们首先展示了市场估值变化的上限，这取决于机构的最低自主权（^Cii）。对于上限，我们不要求一家银行的持股发生变化。相反，我们允许网络结构中的任何信道，只要(l) 变化受的约束。正式地说，这意味着我们有两个网络矩阵C和C，这样kC-~Ck≤ ，我们想确定在这两种情况下，市场估值可以改变多少。因为我们给出了一个上界，允许更一般的扰动只会加强定理1的结果。如果kC-~Ck<，然后k~v-其中r=mini（^Cii，^Cii）是金融机构的最低存款准备金或“自有资产”。此外，k~v-~vk≤2 kD~pk，thusk~v-~vkkD~pk≤ 闵r，2证据设C=C+E，^C=C+E。假设kEk+k^Ek<。

然后我们有^C（I）-~C）-1.-^C（I）- C）-1=h（^C+^E）-^C（I）- C）-1（I）-~C）i（i）-~C）-1=h（^C+^E）-^C（I）- C）-1（I）- C- E）我-~C）-1=h（^C+^E）-^C（I）- （一）- C）-1E）我-~C）-1=h^E+C（I）- C）-1Ei（I）-~C）-1现在，我们注意到（一）-~C）-1.=∞Xk=0Ck≤∞Xk=0~Ck≤∞Xk=0（1- r） k=r因为钱从来不会被创造或毁灭，所以我们有^C（I）- C）-1~v= k~vkThus我们有^C（I）-~C）-1.-^C（I）- C）-1.=h^E+C（I）- C）-1Ei（I）-~C）-1.≤^E·（一）-~C）-1.+^C（I）- C）-1.· 桶·（一）-~C）-1.因此，我们立即得到了约束^C（I）-~C）-1.-^C（I）- C）-1.≤rsence^C（I）- C）-1.≤ 1.我们还有一个小问题^C（I）-~C）-1.-^C（I）- C）-1.≤ 2BBbv1- r1- R- 图2：初始配置，银行为蓝色，外部股东为绿色，资产为红色。定理1中的/r的乘法界比循环情形（推论1）中的的乘法界弱得多，当最小自持有量接近0时，这种差异趋于一致。这种差异不是我们证据的局限性，而是由于持有周期对网络中机构的股权（和市场）估值可能产生的影响而产生的。在定理2中，我们证明了当通过改变单个机构的持有量导致2r+1的变化时，存在网络-rkD~pk表示机构的一个市场价值，其中r是网络中的最小自我持有量。定理2。存在kC-~Ck≤ 和k~v-~vk≥2r+1-rkD~pk，其中~v=^C（I）- C）-1D~pand r=mini（^Cii，^Cii）是金融机构的最小“自我持有量”。证据

我们在图2中展示了一个初始网络，在图3中展示了它的扰动。在图2中，银行的股权价值满足b=（1- R- ）BB=v+（1）- r） BB=BB=0BBV1- r1- R- r r1图3：扰动配置，其中一个权重链已从Bt移动到B。SoB=v+（1）- r） B=v+（1）- r） （1）- R- ）B=v+（1）- R-  - r+r+r）BRearranging givesB=v+（1）- R-  - r+r+r）Bv=（2r+）- R- r）BB=v2r+- R- r=vr（2- r） +（1）- r）≥vr+1-r！因此，Bisb的市场估值至少为vr+1-r.如果链接来自B→ B搬到B→ B（如图3所示）然后B的值下降到零，B的值增加到Bl两次评估之间的市场估值标准至少为vr+1-r用矩阵表示法写这篇文章，我们有C=0 1 - R-  0 01 - r 0 000 0 0 0~C=0 1 - R-  0 01 - r 0 0 0 0 0 00^C=^^C=r 0 0 00 r 0 0 0 1 00 0 1请注意，增加一个链接，减少另一个链接实际上是KC中2的变化-^Ck。让′=，我们在kC中有一个的变化-^Ck最多产生2r+1的变化-r。请注意→ 0，这是方法2，即，根据l机构市场价值的规范。定理2中下限所需的权益放大类型不能发生在非循环网络中（见推论1）。现在，我们比较灵敏度的上界和下界。我们有max（2，r）的上界和2r+1的下界-r。下限意味着：对于任何，δ>0，存在一个0<r<1的r和一个最小r保持率r的网络，使得的ed ge权重变化可导致市场估值至少（1）的变化- δ)2.

因此，上限不能降低到2以下对于任何r，δ，0<r<1和0<δ，存在一个0<r<1的和一个具有最小储备r的网络，使得的边缘权重变化可以导致市场估值至少（1）的变化- δ） 2r，因此上限不能降低到2r以下。总之，这表明上限不能降低到max（2，2r）以下，因此我们的max（2，r）上限基本上是紧的。对下边界d的另一种解释是，对于任意n>0，存在一个，r>0和一个网络，使得一个边权重的变化可以导致机构市场价值的n的多重变化。6银行倒闭6。1失败造成的损失[EGJ14]的模型包括“失败”的概念，即市场价值低于某个临界阈值的机构会进一步（不连续）损失市场价值。这些不连续的处罚反映了这样一种观念，即如果一家机构无法支付其运营成本，其收入可能会进一步下降。同样，如果该机构的信心受到动摇，其债务评级被下调，它可能会看到资本成本飙升，从而看到价值进一步下降。这些不连续的惩罚通过阈值“vi”来实施，因此，如果机构的市场价值vi降至“vi”以下，则会产生故障成本，其市场价值d rops增加βi（~p）。将Ivi定义为指标变量，如果vi小于等于1，否则为0，而bi（~v，~p）=βi（~p）Ivi小于等于vi，则机构的市场价值满足方程~v=^C（i- C）-1（D~p）-~b（~v））（3）将等式3与等式2给出的线性系统进行比较。在模型中引入非线性形式会增加系统动力学的显著复杂性，并可能导致故障级联。

[EGJ14]的主要目标之一是描述网络特性对故障级联的可能性和严重性的影响。6.2我们的复杂性结果概述假设监管机构拥有有关金融网络的完整信息，包括所有交叉持股和所有基础资产的价格。此外，假设在平衡状态下，这个网络没有故障。如果监管机构认为明天，资产价格可能会下降一定数量的d（即，资产价格的总和可能下降d，但每个资产价格的确切下降是未知的），那么d rop可能导致的最大失败次数是多少？换句话说，明天，当根据新的、更低的资产价格计算新的均衡时，可能失败的银行的最大数量是多少？我们的主要结果是，引入不连续故障成本增加了计算基本网络动力学的计算复杂性。如果已知完整的网络以及所有基础资产的价格，则可以有效地计算故障数[EGJ14，第3.2.3节]。另一方面，如果标的资产的价格（或未来价格）存在一些不确定性，那么计算网络中可能发生的最大故障数在计算上是很困难的。因此，我们要解决以下问题：在一个稳定的网络（没有银行倒闭）下，如果资产的总价格下降了一小部分，那么均衡时发生的最大失败次数是多少？一个潜在的复杂性是，在具有不连续故障惩罚的网络中，可能不存在唯一的平衡，因此故障的数量可能不是唯一定义的。为了解决这个问题，对于任何固定的资产价格，我们使用标准实践，只考虑“最佳情况”均衡（失败最少的均衡）。