市场日波动的可观测性

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英文标题：
《Observability of Market Daily Volatility》
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作者：
Filippo Petroni and Maurizio Serva
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the price dynamics of 65 stocks from the Dow Jones Composite Average from 1973 until 2014. We show that it is possible to define a Daily Market Volatility $\\sigma(t)$ which is directly observable from data. This quantity is usually indirectly defined by $r(t)=\\sigma(t) \\omega(t)$ where the $r(t)$ are the daily returns of the market index and the $\\omega(t)$ are i.i.d. random variables with vanishing average and unitary variance. The relation $r(t)=\\sigma(t) \\omega(t)$ alone is unable to give an operative definition of the index volatility, which remains unobservable. On the contrary, we show that using the whole information available in the market, the index volatility can be operatively defined and detected.
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中文摘要：
我们研究了1973年至2014年道琼斯综合指数中65只股票的价格动态。我们证明，可以定义每日市场波动率$\\sigma（t）$，这是直接从数据中观察到的。该数量通常由$r（t）=\\sigma（t）\\omega（t）$间接定义，其中$r（t）$是市场指数的每日收益，$\\omega（t）$是具有消失平均值和单一方差的i.i.d.随机变量。单是$r（t）=\\sigma（t）\\omega（t）$的关系无法给出指数波动性的有效定义，这仍然是不可观察的。相反，我们表明，利用市场上可用的全部信息，可以对指数波动性进行操作性定义和检测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Observability_of_Market_Daily_Volatility.pdf (297.49 KB)

2022-5-7 23:49:53 上传

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关键词：Quantitative Econophysics Unobservable Applications Statistical

市场日波动的可观测性菲律宾石油公司，*, Maurizio Servababadipartmento di Scienze Economiche ed Aziendali，Universit\'a di Caglaria，Italybdipartmento di Ingegneria e Scienze dell\'Informazione e Matematica，Universit\'adell\'Aquila，Italy摘要我们研究了1973年至2014年间道琼斯综合平均指数中65只股票的价格动态。我们表明，可以定义从数据中直接观察到的每日市场波动率σ（t）。该数量通常由r（t）=σ（t）ω（t）直接定义，其中r（t）是市场指数的每日收益率，ω（t）是平均值为零且方差为一元的i.i.d.随机变量。仅关系r（t）=σ（t）ω（t）无法给出指数波动率的操作定义，这仍然是不可观察的。相反，我们表明，利用市场上可用的全部信息，可以有效地定义和检测指数波动性。关键词：市场波动；绝对回报；长程自相关；交叉相关性。*通讯作者。电子邮件地址：fpetroni@unica.it（菲利波·彼得罗尼）2018年9月20日提交给爱思唯尔的预印本众所周知，股市回报与大于一天的滞后不相关。这是市场效率低下不可避免的后果。相反，绝对回报具有很长时间的记忆，这种现象被称为波动性聚集。

这些现象在文献中有很好的记载，被称为程式化事实[1,2,3,4]。此外，有大量经验证据表明，波动率自相关性呈双曲线衰减[5,6,7,8,9]，还有越来越多的证据表明，波动率信号具有多重分形性质[10,11,12,13,14,15]。日历史波动率是一个不可观察的变量，通常通过日收益率的绝对值来衡量，而日收益率是可观察的。该定义仅给出实际波动率σ（t）的近似值，其可由r（t）=σ（t）ω（t）直接定义，其中r（t）是市场指数的每日收益率，ω（t）是平均值为零且方差为一元的i.i.d.随机变量。仅关系r（t）=σ（t）ω（t）无法给出指数波动率的操作定义，这仍然是不可观察的。我们将证明，利用市场上可用的全部信息，可以操作性地定义和检测指数波动性，也就是说，我们将定义市场指数的可观察性，该指数展示了该变量预期的所有统计特征。单只股票的日收益率（比如α）由rα（t）=ln[Sα（t）/Sα（t）给出-1） ]其中Sα（t）是股票α在第t天的收盘价。那么，如果想要从数据中提取波动性，可以考虑rα（t）=σα（t）ωα（t），其中ω（t）具有消失的平均值和单位方差。考虑到高频（日内）连续交易，波动率σα（t）最终可以被提取出来，但由于收益率rα（t）的隔夜贡献率不存在连续交易，这个问题仍然没有得到很好的解决。因此，衡量（历史）日波动率的最佳方法仍然是绝对收益率| rα（t）|。如果目标是衡量一个市场的全球波动性，我们将证明情况可能有所不同。

考虑到适当的代表性指数的波动性，我们可以解决这个问题。然而，如果考虑价格权重指数（如日经225指数），主要贡献将由价格更高的股票提供。如果考虑资本化加权指数（如恒生指数）或同等加权指数（asS&P500 EWI），这个问题就可以避免。最后一个指数的日收益率r（t）只是其组成部分收益率的平均值。i、 e.r（t）=NNXα=1rα（t）（1），其中N是篮子中的股票数量，rα（t）=ln（Sα（t）/Sα（t-1） ）和Sα（t）是股票α在第t天的每日收盘价。对于其他两种指数，差异在于平均值通过价格或资本化进行加权。同样，基础指数日波动率σ（t）不是从日收益率中直接观察到的，而是由r（t）=σ（t）ω（t）间接定义的。由于市场效率，可以假设ω（t）是独立的同分布随机变量，平均值为零，方差为一元。有人可能会说σ（t）的确可以从高频数据中观察到，但是，正如前面提到的，隔夜对DailReturns的贡献问题仍然存在。因此，由于每日市场波动率不是由指数收益客观给出的（只有产品σ（t）ω（t）是可观察的），其分布取决于为ω（t）选择的模型。高斯性通常被假设为ARCH GARCHmodeling（在这种情况下，收益分布的细轨道性完全取决于波动性）。然而，我们可以对ω（t）的分布做其他选择，例如，均匀分布（在-√3和√3，以使方差为单位）。在本文中，我们考虑了1973年至2014年道琼斯指数的N=65个标题，因此为1≤ T≤ 一万元。

道琼斯指数的权重并不相等，但我们可以构建一个新的道琼斯指数，其每日收益率r（t）只是定义（1）中各组成部分收益率的简单平均值。绝对收益由| r（t）|=σ（t）|ω（t）|=N给出NXα=1rα（t）（2） 这是相关同等加权指数的绝对回报（对于价格加权和资本化加权指数，唯一的区别是必须引入一些权重）。本文的核心是将波动率定义为σ（t）=√3NNXα=1 | rα（t）|（3），因此ω（t）=r（t）σ（t）（4），其中r（t）和σ（t）在等式（1）和等式（3）中定义。大多数模型假设σ（t）和|ω（t+τ）|与滞后τ的任何值（负、正或消失）不相关，或者它们假设（作为ARCHGARCH）短期相关（仅对|τ|的小值相关）此外| r（t）|和|ω（t+τ））|对于任何非消失τ以及|ω（t）|和|ω（t+τ）|都应该是不相关的。因此，第一步是根据我们对波动性的定义，证明所有这些属性都成立。在计算了相关系数Cω，σ=C（ω（t），σ（t+τ）），Cσ，ω=C（σ（t），ω（t+τ）），以及Cω，ω，Cω，|r |和C |r |，ω之后，我们在图1中绘制了它们。可以很好地理解，上述四种相互关联和自关联基本上消失了。如果与波动率自相关系数Cσ相比，这是更好的理解，σ也被绘制出来，相反，它表现出强烈的滞后依赖性，对于长达250个工作日的滞后，它是显著正的。50 100 150 200 250-0.200.20.40.60.8滞后Cσ，σCω，ωCω，σCσ，ωCω，|r | C | r |，ω图1：σ的自相关，|ω|以及σ，ω和|r |之间的所有互相关。

可以注意到，除了σ的自相关之外，所有的都消失了。一旦证明变量ω（t）彼此独立，与绝对收益（2）和波动率（3）独立，我们需要证明它们具有消失的期望值（hω（t）i=0）和酉方差（hω（t）i=1）。实际上，我们得到了一个更好的结果，ω（t）的分布在这个范围内是均匀的[-√3.√3] （这意味着期望值和单位方差消失，但也意味着h |ω（t）|i=√3/2). 这个结果是我们的第二步，可以在图2中看到，图中绘制了（4）定义的经验分布或|ω|。我们还有第三步，完成我们的论证。假设ω（t）与波动率完全独立，我们就有了自相关C | r |，|r |只与正乘法常数0<k<1在任何时间滞后τ的自相关Cσ，σ不同≥ 1.事实上，绝对收益的自动相关性是|r |，|r |（τ）=h |r（t+τ）| r（t）|i- h | r（t）| ihr（t）i- h | r（t）| i（5）然后考虑到|r（t）|=σ（t）|ω（t）|，并且假设σ（t）和ω（t）之间相互独立，对于任何τ≥ 1:C | r |，|r |（τ）=KCσ，σ（τ）（6）0.20.40.6 0.8 1.21.21.4 1.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91 |ω|的经验分布图2 |ω|的均匀（几乎）概率密度。

一个是hωi=0.924\'1）和h |ωi=0.823\'√3/2 = 0.866.其中，Cσ，σ（τ）是波动率自相关Cσ，σ（τ）=hσ（t+τ）σ（t）i- hσ（t）ihσ（t）i- hσ（t）i（7），k是常数k=hσ（t）i- hσ（t）i3hσ（t）i/4- hσ（t）i（8），其中我们使用了均匀分布值h |ω（t）|i/hω（t）i=3/4。我们根据样本hσ（t）i=0.00008583和hσ（t）i=0.008388进行计算，因此k=1/2.85。此外，按照同样的步骤，我们可以很容易地计算出Cσ，|r |，σ（τ）=Cσ，|r |（τ）=√kCσ，σ（τ）（9），其中k是之前计算的相同值（8）（k’1/2.85），因此（6）和（9）是非常严格的要求。事实证明，这两个关系式（6）和（9）实际上都保持了这四个相关性，并用k（或√k） ，绘制在图3中，可以看出，它们对于Lagτ的所有值几乎相同。请注意，系数k不是一个合适的参数，但它取决于市场数据。在重新调整四个相关性之后，这一事实最终证实了写r（t）=σ（t）ω（t）是正确的，其中ω（t）和σ（t）是我们定义的相互独立的变量。50 100 150 200 250-0.200.20.40.60.811.2Lag Cσ，σC | r |，σr | C | r |，σCσ，| r |图3：σ和|r |的自相关及其互相关。很明显，四个相关性在重新缩放后（几乎）是相同的。总之，我们定义了波动率σ（t），因此定义了变量ω（t），使它们（a）相互独立，（b）ω（t）也独立于绝对收益，（c）ω（t）均匀分布，期望值为零，方差为一元，（d）波动率的自相关性表现出强烈的滞后依赖性，并且在长达250个工作日的滞后时间内显著正相关，（e）交叉相关性和涉及r（t）=σ（t）ω（t）和σ（t）的自相关性的正确标度成立。

因此，我们对可观察到的每日市场波动性进行了定义，并保留了该变量预期的所有统计特征。我们可以这样总结，虽然对于一只股票来说，不可能使用r（t）=σ（t）ω（t）从收益中提取波动性，但我们已经找到了一种简单的方法，可以使用指数中所有单只股票的绝对收益来提取指数的波动性。参考文献[1]纪尧姆，D.M.，达科罗尼亚，M.M.，戴夫，R.R.，穆勒，J.A.，奥尔森，R.B.，皮克特，O.V.，1997年。《从鸟眼到显微镜：每日外汇市场新的程式化事实调查》，金融与随机，1995年。[2] D\'Amico，G.，彼得罗尼，F.，2012年。用于财务回报建模的加权指数半马尔可夫模型。统计力学杂志：理论与实验，P07015。[3] D\'Amico，G.，彼得罗尼，F.，2012年。价格回报的半马尔可夫模型。Physica A统计力学及其应用，第3914867-4876卷。[4] D\'Amico，G.，彼得罗尼，F.，2011年。具有价格变化记忆的半马尔可夫模型。统计力学杂志：理论与实验2009。[5] 泰勒，S.，1986年。金融时间序列建模。约翰·威利父子公司，纽约。[6] 丁志强，格兰杰，C.W.J.，恩格尔，R.F.，1993年。股票市场收益的长记忆特性和一个新模型。经验金融杂志183106。[7] 贝尔里，R.T.，博勒斯列夫，T.，1994年。远期溢价的长期记忆。《国际货币与金融杂志》13565572。[8] 北克拉托，利马，P.，1994年。股票收益率条件变化的长期依赖性。《经济学快报》45281-285。[9] 帕根，A.，1996年。金融市场的计量经济学。《经验金融杂志》第3期，第15-102页。[10] 帕斯奎尼，M.，塞尔瓦，M.，1999年。金融市场波动率自相关的多尺度行为。《经济学快报》65275-279。[11] 帕斯奎尼，M.，塞尔瓦，M.，2000年。

波动性集群是一种多尺度现象。欧洲物理杂志B16195-201。[12] 帕斯奎尼，M.，塞尔瓦，M.，1999年。波动性的多尺度和聚类。Physica A 269140-147。[13] 巴维拉，R.，帕斯奎尼，M.，塞尔瓦，M.，维格尼，D.，弗尔皮亚尼，A.，2001年。高频金融数据集中的相关性和多样性。Physica A300551-557。[14] 王菲，K.山崎，南哈夫林，斯坦利H.E.，2008年。股票市场波动收益区间的多重标度指标。物理复习E 77016109。[15] 密歇根州，2013年。股票的交叉相关性和股票的波动性集群之间的经验关系。统计力学杂志，P05015。[16] 里洛，F.，北卡罗来纳州曼特尼亚，2000年。金融市场的多样性和波动性。体检E 626126-6134。