抛物型欧式期权方程组的IMEX格式

J- 1.具有边界和初始近似（22）-（24）。通过泰勒展开，我们得到Euj+1i-Vj+1i=e-VjieUji（1+Vji）- Uji）+e-VjieUji（Uj+1i）- Vj+1i）+O（（Uj+1i）- Uji））+O（（Vj+1i）- Vji），eVj+1i-Uj+1i=e-乌杰夫吉（1）- Vji+Uji+e-UjieVji（Vj+1i）- Uj+1i）+O（（Uj+1i）- Uji））+O（（Vj+1i）- Vji）。我们删除O项，并在（36）和（37）中插入结果，以获得：-^AiUj+1i-1+^CiUj+1i-^BiUj+1i+1+^DiVj+1i=^Fi，（38）^EiUj+1i+^KiVj+1i=Gi，（39）式中^Ai=Bi=σSi(△S） ，^Ci=△τ+Ai+Bi+aeUji-Vji，^Di=-aτeUji-Vji，^Fi=△τUji- aτeUji-Vji（1+Vji）- Uji）+b△ τ、 ^Ei=-C△τeVji-Uji，^Ki=△τ+ceVji-乌吉，Gi=△τVji- cτeVji-乌吉（1）- Vji+Uji）+c.自aeUji以来-Vji>0时，对角控制可以显著增加与IMEX线性方案的比较，参见系统（20）、（21）。定理3让定理1的假设成立。然后假设存在经典解（u，v）∈ C2。问题（10）的4（QT）。那么对于su-fiftlysmall△S和△τ以下误差估计成立：ku- UkC（wSτ）+kv- V kC（wSτ）≤ C(△τ + (△S） ），其中常数C不依赖于△S和△τ.证据将Vj+1从（37）替换为（36）我们得到的第一个-^AiUj+1i-1+^Ci-^Di^Ei^Ki！Uj+1i-^BiUj+1i+1=^Fi-^Di^kifi，Vj+1i=Gi^Ki-^Ei^KiUj+1i，i=1，我- 1有了Ui，i=0，1，I和Uj，UjI，j=0，1，J由（22）、（23）和（24）给出。对于误差，我们有线性代数方程组-Aiεj+1i-1+词-迪耶基εj+1i- Biεj+1i+1=bFi+1=εji△τ+αji，εj+1=0，εj+1I=0uj+1I=-EiKiεj+1i+uji△τ+βji，i=1，我- 1.进一步，我们遵循定理1来完成证明。

该格式（36）、（37）与定理2.5数值实验中描述的线性化格式（linearIMEX）具有相似的比较性质。在这一节中，我们进行了数值实验，以说明本文开发的隐式显式线性化格式（20）-（24）（Scheme1）和隐式显式线性化格式（38）、（39）（Scheme2）的准确性、有效性和收敛性。我们提供了均匀和非均匀网格的实验。此外，我们还介绍了使用理查森外推的数值实验结果。表格（给出的结果）显示了最大离散范数k·k的精度和最终时间T的收敛速度，使用了两个连续的网格，公式为Ratio=log（EwI/2/EI），EwI=kwex- W k∞,其中Wex和W分别为精确解和相应的数值解。在我们的例子中，wexis Ror R.在表1，2中，我们给出了IMEX linearScheme 1的计算结果。表1:at货币（S=2，K=2，Smin=0，Smax=5）和△τ = △3.246669 0.246669 0.23516560 0.247760 0.24787.17）0.236349 0.236349 1.17（1.17）0.236349 9 9 9 9 9 9.4 4 4 0.4 4 7.4 4 4 7.0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 4 4 4 4 4 4 4 4.7）0 0 0 0.236349 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.3.3.3.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4.3.3.3.3.3.3.4 4 4 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9（1（1（1.10）0（1（1（1.20）0）0）4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1.3.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9）1.3.3（1（1（1（1）0）1）0.236439 2.90e-05 2.10（1.07）表2基于非均匀网格，也表明该方案在时间上是一阶的。这里我们使用Tavella Randal[8]网格：Si=K+αciI+c1.-二、,c=sinh-1.体积百分数- Kα, c=sinh-1.Smax- Kα.在这种情况下，我们选择将网格点集中在执行价格K附近，因为我们预计误差最大。

在表3中，我们列出了使用方案2进行计算的结果，即对于这种非均匀网格，结果在时间上仍然是均匀情况下的一阶精度。表2:at货币（S=2，K=2，Smin=0，Smax=5）和△τ = △4.1.1.38）2.38（1.38）240 0.248238 0.248238 1.14（1.38）240 0.248238 0.248238 1.14e-4 2.29（1.20）0.14（1.20）0.14（1.20）0.236657 7 1.0 0 0 0 0.14（1.20）0 0 0.20）0 0.20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.20（1.20）0.236657 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1.5 5 5 5 5 1.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 22 3.10e-05 1.71（0.77）0.236735 2.90e-05 1.69（0.76）表3:at货币（S=2、K=2、Smin=0和Smax=5）和△τ = △英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语四0 0.24744 4 7.59 e-04 0.235812 8.60e-04120 0 0.247812 0 0 0 0 0 0 0.12 12 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.258 8 8 8 8 8 8 8 8.60e-04120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.247 7.247 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.236433.60e-05 2.06（1.04），我们将Richards应用于e-xtrapola[4]，以提高时间收敛性。为此，我们使用公式YN=pWn- Znp- 1其中p是数值解的阶数（在我们的例子中为1），Wn是使用时间步长得到的解△τ/2和zn是使用时间步长获得的解△τ. 所得解的精度为p+1[4]。表5显示了将该技术应用于方案1的结果。时间的准确度现在是2。类似地，该技术也适用于方案2，见表6。因此，与基于显式的方案1相比，由于线性化的误差，收敛速度要慢得多，但更平滑。

表中显示了时间顺序。表4:at货币（S=2，K=2，Smin=0，Smax=5）和△τ = △Si/2，并根据方案2RRI值差异比值差异比30 0.248722 0.2370050.249432 7.10 e-04 0.237812 8.07e-04120 0.249715 2.83e-04 2.51（1.33）0.238139 3.27e-04 2.47（1.30）240 0.249839 1.24e-04 2.28（1.19）0.238283 1.44e-04 2.27（1.18）0.249897 5.80 e-05 2.14（1.10）0.238351 6.80 e-05 2.12（1.08）960 0.249928 3.10e-05 1.87（0.90）0.238387 3.60e-05 1.89（0.92）表5:at货币（S=2、K=2、Smin=0和Smax=5）和△τ = △S/2基于方案1，使用Richardson推断，（顺序）10 0 0.2450 0 0.2451080 0.24650570.248007540 0.24782811 0.2480045 3.02e-680 0.247 640 0.247 0 0.24780 0 0 0.2480051 5.79e-7 7 5.7 7 5.5 5 5 5.7（2.38）5.7（2）5（5）5.5（5（5）5）7（5）7（5）7（5）7（5.5）5）7（5）7（5）5）7（2（5）5）5）7（2（2（2（2（5）5）5）5）5）5）7（2（2（2（2（2）5）5）5）5）5）5）7（2（2（2（2（2（2（2）5）5）5）5）5）5）5）5）5）7（2（2（2）5）4.13（2.05）在图1中，我们比较了选项值p和q在流动和非流动状态下发行和到期，使用参数u=0.06、σ=0.3、ν=1、ν=12、K=2、T=1、Smax=5和γ=1，使用方案1。图2使用相同的参数对线性化方案进行了说明。图1,2展示了使用两种方案的解（p，q）的正性。6结论在这项工作中，我们考虑了具有流动性冲击的欧式期权的一维问题。我们构造并分析了两个IMEX有限差分模式，它们保持了差分溶液的正性。第二种方案（theIMEX线性化方案）分别具有较好的对角控制性和单调性。考虑将IMEX计划扩展到具有流动性冲击的美国期权是很有意思的。

在这种情况下，我们必须解决一个自由边界问题。它可以写成一个线性互补问题，可以用这里给出的格式离散。扩展超出了本文的范围，我们把它留给她以后的工作。感谢作者感谢M.Koleva教授在数值实验方面的帮助。这项研究得到了欧盟第304 617号赠款协议（FP7玛丽·居里行动项目计算金融中的多ITN Strike NovelMethods）和保加利亚国家科学基金项目DFNI I02/20-2014的支持。表6:at货币（S=2，K=2，Smin=0，Smax=5）和△τ = △S/2基于使用理查森外推的方案2。我知道，（顺序）10 0 0 0.2451710 0 0.246528280.247 2928 0.24780.24780.247 2928 0.2480023 7.64e-680 0.64e-680 0.247 6486 0.248000 0 0.24780 0.24780 0.680 0.646 0.24780.646 0.646 0.646 0 0 0.24780-680 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.24780 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.646 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.646 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.646 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.647 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 3.81（1.93）5120 0.2479998 0.2480053 8.95e-10 3.87（1.95）10240 0.2480026 0.2480053 2.2 9e-10 3.91（1.97）0 1 2 3 4 500.511.522.533.5股票，期权价值，t=0t=t（a）p在t=0和t=T0 1 2 3 4 500.511.522.533.5股票，期权价值，q t=0t=t（b）q在t=0和t=t图1：比较IMEX线性模式参考[1]U.M.Asher，S.Wuton，b，含时偏微分方程的隐式显式方法，SIAM J.Numer。肛门。，32（3）797823，（1995）[2]M.Briani，R.Natalini，G.Russo，跳跃扩散过程的隐式ex-plic it数值格式，CALCOLO，44，33-57，（2007）[3]I.Fa rago，F.Izzak，T.Szabo，A。

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