抛物型欧式期权方程组的IMEX格式

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英文标题：
《IMEX schemes for a Parabolic-ODE system of European Options with
  Liquidity Shocks》
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作者：
W. Mudzimbabwe, Lubin G. Vulkov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The coupled system, where one is a degenerate parabolic equation and the other has not a diffusion term arises in the modeling of European options with liquidity shocks. Two implicit-explicit (IMEX) schemes that preserve the positivity of the differential problem solution are constructed and analyzed. Numerical experiments confirm the theoretical results and illustrate the high accuracy and efficiency of the schemes in combination with Richardson extrapolation
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中文摘要：
在流动性冲击下的欧式期权模型中，出现了一个退化抛物方程，另一个没有扩散项的耦合系统。构造并分析了两种保持微分问题解正性的隐-显（IMEX）格式。数值实验证实了理论结果，并结合Richardson外推证明了格式的高精度和高效性
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> IMEX_schemes_for_a_Parabolic-ODE_system_of_European_Options_with_Liquidity_Shocks.pdf (189.72 KB)

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关键词：欧式期权 IME 方程组 Differential Quantitative

具有流动性冲击的欧洲期权抛物线ODE系统的IMEX方案。穆德津巴布韦，鲁宾·G·伍尔科夫，鲁斯大学应用数学系，学生科学院。87017 RuseAbstract耦合系统，其中一个是退化抛物线方程，另一个没有扩散项，出现在流动性冲击的欧洲期权建模中。构造并分析了两种保持微分问题解正性的隐-显（IMEX）格式。数值实验证实了理论结果，并结合Richardson外推证明了方案的高精度和高效性关键词抛物线普通系统，欧式期权，有限差分模式，比较原理，实证1导言我们对一个抛物线方程系统进行了数值研究，该系统模拟了期权定价流动性冲击。流动性冲击的存在是非流动性风险的一个来源，使这个市场不完整。Ludkowsky和Shen[5]研究了一种基于效用最大化的非线性定价机制。他们认为投资者的效用由指数效用函数u（x）描述-E-γx，（1）其中γ>0是风险规避系数。投资者寻求在horisont T<∞, 选择与市场模型中所有证券的到期日一致。指数效用函数（1）的性质意味着值函数可以表示为bui（t，X，S）=-E-γXe-γRi（t，S），i=0，1，（2），其中X=XT是财富过程，函数Ri（t，S）与两种状态下的期权价格有关，见下文（7）。然后，对{Ri（t，S），i=0，1}是耦合半线性系统的唯一粘性解Rt+σSRSS-νγe-γ（R）-R） +（d+ν）γ=0，Rt-νγe-γ（R）-R） +νγ=0。（3） 终端条件为：Ri（T，S）=h（S），i=0，1。

（4） 这里σ是底层的波动性，ν、ν分别是从状态（0）到状态（1）的转换强度，反之亦然，u是底层的漂移，d=u/2σ，更多细节见[5]。使用Builand BVI，买方的差异价格p（初始状态0）和q（初始状态1）由viabU（t，X）确定- p、 S）=bV（t，X），bU（t，X）- q、 S）=bV（t，X），（5）其中bu，bV分别是有期权和无期权终端财富的最优解。值函数bvi，i=0，1由bvi=e给出-γXFi（t）和bvi（t，X，S）=e-γRi（t，S），i=1，2（6）和函数F（t），F（t）by，F（t）=ceλt+ceλt，F（t）=ν{c（d+ν）- λ） eλt+c（d+ν）- λ） eλt，其中λ1,2=d+ν+ν±p（d+ν+ν）- 4dν，c=λ- dλ- λe-λTand c=λ- dλ- λe-λT。然后，我们从（2）、（5）、（6）p=R+γ中得到-1ln F（t），q=R+γ-1ln F（t）（7）和来自（3），（4）p和qpt+σSpSS的抛物线一般系统-vγFFe-γ（q）-p） +（d+v）γ-γF′F=0，qt-vγFFe-γ（q）-p） +vγ-γF′F=0（8），终端条件sp（T，S）=q（T，S）=h（S）。（9） 系统（8）的数值解是本文的主要研究对象。对于σ和γ的小值，边界层效应的数值处理，抛物方程在S=0时的简并性，以及指数非线性，都会导致具有挑战性的问题[10]。指数非线性项的引入是一个基于模型系统财务性质的可用假设（8）。求解非线性抛物型和双曲型方程有很多数值格式。然而，很少有人涉及指数非线性项。文献[10]讨论了双曲问题的非线性指数变量的特殊性质。建立（8）、（9）有效数值解的一种可能方法是实现IMEX方法[1,9]。

在这个过程中，扩散项在时间上被隐式地离散，而反应项则被显式地离散。文献[3]发展了一种IMEX方法，用于数值求解带有纯Neumann边界条件的反应扩散方程。在[2]中，通过应用积分项和对流项的显式近似以及第二个微分项的隐式近似，对积分微分方程发展了IMEX格式。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们讨论了（3）的柯西问题的适定性的一些结果，以及[4]中得到的一个比较原理。此外，还建立了关于离散极大原理[6,7]的两个引理。第三节介绍了隐式-显式线性格式。比较了离散原理，证明了格式的收敛性。对于第4节中的IMEX线性化方案，也得到了类似的结果。第5节中的计算实验证实了我们的方案和理论结果的适用性。最后，第6节总结了我们的结论。符号LetOhm 是R+=（0）中的有界区间，∞) 让C(Ohm)表示连续函数的空间Ohm 以任何w的标准∈ C(Ohm)由kwk定义Ohm= 好的∈Ohm|w（x）|。对于每个整数k≥ 1.让我来(Ohm) 表示上k次可微函数的空间Ohm, 连续导数高达并包括k阶导数，其范数为任意w∈ Ck(Ohm) 由KW kk定义，Ohm= max0≤L≤kkw（x）（l）kOhm. 不结盟公约| w | 0，Ohm= kwk0，Ohm=千瓦kOhm= kwk被采用。明确引用Ohm 只要有明显的领域问题，就会删除。对于任意网格上的任何网格函数OhmN={xi}N-1.OhmN={xi}离散最大范数由kwkC定义(Ohm)N=max0≤我≤N | wi |。两个变量的光滑函数的最大范数和半范数也是以类似的方式引入的。设QT=（0，T）×Ohm.

那么k wkQT=sup（x，τ）∈QT | w（x，τ）|如果C（QT）是具有连续导数的QT上所有函数的s步，那么ck（QT）=w:i+jwxiτj∈ 对于i，j=0，1，2。与0≤ i+2j≤ K.2初步在本文中，我们将使用[4]中获得的结果来描述系统（8）解的一些性质。此外，在[6,7]的基础上，给出了关于离散极大值原理（DM）的两个引理。我们将考虑（8）满足| p |，|q |，|h |的解≤ 前警察αlnS= 作为αlns，（10）对于一些正常数A和α。在[4]中，建立了相应的柯西问题（8）、（9）在加权Sobolevspace中的适定性和比较原理。由于初始数据具有足够的光滑性，弱解是经典解。本文利用比较原理对问题（8）、（9）的经典解p（S，t）、q（S，t）进行了比较∈ C（（0+∞)×（o，T]）∩C2,1（（0+∞)×（0，T）），q∈C（（0+∞) ×（0，T]），qt∈ ((0, +∞) ×（0，T））。命题1（[4]）设（p，q）和（p，q）分别是问题（8）、（9）的两个经典解，分别对应于终端数据h=h（S）和h=h（S）。如果存在一些正常数A和α，使得pi（S，t）和hi（S），i=0，1满足条件（10），那么inf（h- h）≤ p（S，t）- p（S，t）≤ 高级（h）- h） ，inf（h）- h）≤ q（S，t）- q（S，t）≤ 高级（h）- h） ，（11）特别地，设h（S）从下（或从上）以康斯坦斯（S）为界≥ H（分别为h（S）≤ H对p（S，t），q（S，t）是t项最终问题（8）、（9）的经典解。然后（S，t）≥ H和q（S，t）≥ H（分别为p（S，t）≤ H和q（S，t）≤ H).对于任何人来说∈ (0, +∞) 还有什么t∈ （0，T）。通过替换τ=T- t、 u=γ，v=γR，系统（3）变成SLP（u，v）≡ uτ-σSuSS+aeue-五、- b=0，L（u，v）≡ vτ+ceve-U- c=0，（12），其中a=ν，b=d+ν，c=ν。

根据（9）我们取初始条件为：u（0，S）=u（S）=γh（S），v（0，S）=v（S）=γh（S）。（13） 对于看涨期权，h（S）=max（S- K、 0）。（14） 我们假设形式（10）的u，v的地面条件。在下一节中，对问题（12）-（14）的差分近似值的分析将使用（p，q）的下列比较原则：命题2 Let（u，v），（u，v）∈ C（[0，T）×（0+∞)) ∩ C2,1（（0，T）×0+∞))是（12）-（14）的两对经典解，分别对应于初始数据h=h和h=h，并且（10）型条件成立。如果下列不等式也成立：Lp（u，v）≥ Lp（u，v），L（u，v）≥ L（u，v）和h≥ h、 （15）thenu≥ u、 五≥ v、 在下文中，我们将使用以下标准形式编写一个三点差异模式-1.- 次一+比一+1=-Fi，i=1，2，N- 1y=u，yN=u。（16） 问题（16）的离散比较原理在[6,7]中得到了证明，其公式如下。引理2.1。让条件sai>0，Bi>0，Di=Ci- 艾岛- 毕≥ 0，i=1，2，N- 1（17）填写完整。然后，差异方案（15）的解满足了不平等性≥ 0，i=0，N、 如果Fi≥ 0，i=1，N- 1, u≥ 0, u≥ 0;易≤ 0，i=0，N、 如果Fi≤ 0，i=1，N- 1, u≤ 0, u≤ 引理2.2。让条件| Ai |≥ 0，| Bi |≥ 0，Di=|Ci |- |唉- |Bi |>0，i=1，N- 我们见过面。然后，对于问题（16）的解决方案，估计值为kc(OhmN）≤ 最大值（|u|，|u|，FDC(OhmN） 3隐式-显式线性模式在本节中，我们发展了一个线性IMEX模式来解决耦合的半线性抛物型普通系统问题（11）-（12）。对于看涨期权，一对可能的边界条件是，参见例如[10,11]u（τ，0）=~nl（τ）=0，u（τ，S）=~nr（τ）≈ Smax对于大S.（18）u isuτ（τ，0）的左自然边界条件=-ae-（v（τ，0）-u（τ，0））+b。

（19） 在QT=Ohm 我们引入了均匀网格wSτ=wS×wτ：wS={Si=i△s△S>0，i=0，1，我我△S=Smax}，wS=wS∪{S，SI}；wτ={τj=j△τ, △τ>0，j=0，1，JJ△ τ=T}。，wτ=wτ∪ {τ，τJ}在离散域wSτ上，我们用差分模式p（U，V）=Uj+1i来近似问题（12）-（14）- 乌吉△τ-σSiUj+1i-1.- 2Uj+1i+Uj+1i+1(△S） +ae-VjieUji- b=0，（20）i=1，2，我- 1.L（U，V）=Vj+1i- Vji△τ+ce-乌杰夫吉- c=0，i=0，1，一、 （21）j=0，1，J- 1.Ui=U（Si），i=0，1，我（22）Uj=1（τj），UjI=r（τj），j=0，1，J（23）Vi=V（Si），i=1，I.（24）自然边界条件可近似为fo llowsUj+1=Uj- △ τ（aeue）-VjeUj- b） 。在（j+1）次，j=0，1，J- 1时间层方案（20）-（23）具有以下形式-AiUj+1i-1+CiUj+1i- BiUj+1i+1=Fi，Vj+1i=Vji- △ τce-Uji+Vji+c，（25）式中i=Bi=σSi(△S） ，Ci=△τ+Ai+Bi，Fi=△τUji- ae-VjieUji+b，i=1，我- 1.对于（20）对应的截断误差，我们确定r1=△τUτ（τj+1）- θ△τ、 Si）+△τUτ（τj+1）- ρ-△τ、 是的-1) +Uτ（τj+1）- ρ△τ、 Si）+Uτ（τj+1）- ρ+△τ、 Si+1）+(△（S）US（τj+1，Si+θ）+△（S）+US（τj+1，Si）- θ-△（S）+△τ五、τ（τj+1）- eρ△τ、 Si）eu（τj+1，Si）=Uτ（τj+1）-≈ρ△τ、 Si）e-v（τj+1，Si）=O(△τ ) + (△S） 。对于对应于（21）的截断误差，我们得到r2=△τUτ（τj+1）- θ△τ、 Si）+△τUτ（τj+1）- eη△τ、 Si）ev（τj+1，Si）-五、τ（τj+1）-≈η△τ、 Si）e-u（τj+1，Si）=O(△τ).0 < ρ, ρ-, ρ+，eρ，≈ρ< 1, 0 < θ, θ-, θ+< 1.根据符号，我们定义了网格wsws和wSτ上的stro ng范数，分别为kzkC（wS）=max0≤我≤I | zi |，kzkC（wSτ）=max0≤我≤I0≤我≤J|zji |。表示cu=sup（τ，S）∈QT | u（τ，S）|，Cv=sup（τ，S）∈QT | v（τ，S）|。定理1假设存在经典解（u，v）∈ C2。问题（10）-（14）的4（QT）。

那么对于足够小的△S和△τ以下误差估计成立：ku- UkC（wSτ）+kv- V kC（wSτ）≤ C(△τ + (△S） ），（26）其中常数C不取决于△S和△τ.证明错误εji，ujibyεji=Uji- u（τj，Si），uji=Vji- v（τj，Si），i=1，I.然后{εji}，{uji}满足线性代数方程组：Aiεj+1i-1.- Ciεj+1i+Biεj+1i+1=Fi，i=1，我- 1，εj+1=0，εj+1I=0，其中fji=△τεji+αj和uj+1i=uji+△ τβji。这里αj和βj分别对应于微分方程（20）和（21）的局部截断误差。

估计如下。让我们推导对应于非线性（右）部分的截断误差：对于我们得到的第一个方程的非线性右侧-vjieuji=e-微吉-v（τj，Si）eεji+u（τj，Si）=（1）- uji+O（（uji））（1+εji+O（（εji））e-v（Si，τj）eu（Si，τj）=（1+εji- μji）e-v（τj，Si）eu（τj，Si）- O（εjiuji）+O（（εji））+O（（uji）），另一个形成-VjieUji=e-v（τj，Si）eu（τj，Si）+O（εji）+O（uji）。现在，考虑到Tr1，我们有αji=O(△τ)+(△S） +（εji）-μji）e-v（τj，Si）eu（τj，Si）+O（εjiuji）+O（（εji））+O（（uji））。同样，我们发现βji=O(△τ） +（μji）- εji）e-u（τj，Si）ev（τj，Si）+O（εjiuji）+O（（εji））+O（（uji））。应用引理2.1，我们得到kεj+1ikC≤ △τkbF k，其中k·kc是上述定义的强范数C（wS）。我们估计kFj+1k:kFj+1k≤ (△τ+eCuCv）kεjk+eCuCvkujk+O(△τ） +O((△S） ）+O（kεjk）+O（kujk））。接下来是kuj+1k≤ kujk+△τ（eCuCvkεjk+O(△τ） +O（kεjk）+O（kujk））。因此，kεj+1k+kuj+1k≤ (1 + 2△τeCueCv）kεjk+（1+△τCuCv）kujk+△τ（O）(△τ) + (△S） +O（kεjk）+O（kujk））。对于j=0，我们有εi=0，ui=0，然后是αi=O(△τ) + (△S） ，βi=O(△τ).由于kεk=kuk=0，我们得到kεk=C△τ(△τ + (△S） ），kεk=C△τ(△τ + (△S） ）。因此，通过归纳，我们得到了kεj+1k+kuj+1k≤ (1 + 2△τCuCv）（kεjk+kujk）+△τC(△τ + (△S） ）。这意味着kεj+1k+kuj+1k≤ CjXk=0（1+2△τCuCv）k△τ(△τ + (△S） ）C(△τ + (△S） ）1+2△ τCuCv）J（1+2）△τCuCv）-1.≤ C(△τ + (△S） )以下（U，V）的离散比较原则上对基于方案（20）-（24）的不基准价格p和q的圆盘网近似的正性至关重要。定理2让定理1的假设也成立，让（U，V）、（U，V）begrid函数定义在wsτ上，不等式成立：Lp（U，V）≥ Lp（U，V），L（U，V）≥ L（U，V），（17）Ui≥ Ui，Vi≥ Vi，i=0，一、 （28）Vj≥ Vi，UjM≥ UjM，j=1，J.（29）那么对于足够小的△S和△τwe haveUji≥ 乌吉，维吉≥ Vji，i=0，1，一、 j=0，1，J

（30）证据。让我们来介绍一下yji=Uji- Uji，zji=Vji- Vji，i=0，1，一、 j=0，1，然后，从（26）我们得到了J+1i- yji△τ-σSiyj+1i-1.- 2yj+1i+yj+1i+1(△S） +a（e）-VjieUji- E-VjieUji）≥ 0，（31）zj+1i- zji△τ+c（e）-乌杰夫吉-E-乌杰夫吉）≥ 0，i=1，我-1，j=1，J-1，（32）利用中值定理我们得到-VjieUji- E-VjieUji=e-埃夫杰尤吉（yji）- zji），eUji=Uji+eθ（Uji- Uji），eVji=Vji+eθ（Vji- Vji），0<eθ<1，e-乌杰夫吉- E-UjieVji=e-布吉布吉（zji）- yji），bUji=Uji+bθ（Uji- Uji），bVji=Vji+bθ（Vji- Vji），0<bθ<1。我们在正式的J+1i中重写（30）-1.- Ciyj+1iBiyj+1i+1≥ -Fi，Ai=σSi△τ△S、 Bi=σSi△τ△S、 词=△τ+Ai+Bi，Fi=△τyji- ae-埃夫杰尤吉（yji）- zji）。接下来，我们在表单ZJ+1i中重写（31）△τ≥△τ- 总工程师-布吉布吉zji+ce-布吉布吉吉。（33）我们应用关于j的数学归纳法来证明j≥ 0，zji≥ 0，i=0，1，一、 j=0，1，J.（34）从（16）、（17）开始，我们有≥ 0，佐伊≥ 0，i=0，1，一、 假设当j=k时（32）ho lds- 1，我们将证明，对于j=k，上述不等式是正确的。在定理1的基础上，我们可以充分证明这一点△τ, △存在常数Cu，Cv，比如max（kUk，kU）≤ 2Cu，最大值（千伏，千伏）≤ 2Cv。然后，如果有必要，我们选择△τ以较小的形式表示△τ<min（a，c）e2Cue2Cv（35）通过诱导，yk-1i≥ 0，zk-1i≥ 0，使用引理2.1，我们排除了thatFi≥ 0，i=0，1，我- 1.引理2.1意味着yki≥ 0，i=0，1，I.从（32）和（34）中可以看出，zki≥ 0，i=1，我- 1.4隐式-显式线性化模式让我们首先考虑隐式模式：Uj+1i- 乌吉△τ-σSiUj+1i-1.- 2Uj+1i+Uj+1i+1(△S） +ae-Vj+1ieUj+1i- b=0，（36）Vj+1i- Vji△τ+ce-Uj+1ieVj+1i- c=0，（37）i=1，2，我- 1.j=0，1。