波尔兹曼学会的美国股市互动网络

为此，我们比较了平均二值化收益与标准化收益分布前四个时刻的历史演变。结果显示为inFig。2表明二元收益与原始收益和标准化收益表现相似，保留了前两个时刻的动态，而第三个时刻的动态则更少，而所有t的峰度信息都丢失了[图2（b）]。关于成对相关性，图3显示，二值化收益的协方差矩阵与RAW收益的相关矩阵相似。事实上，它们的反对角线元素遵循相似的分布，在人与人之间具有非常高的相关性。对于高阶矩，相关性随T而减小[图3（b）]。探索二值化过程影响的另一种方法是研究原始和转换时间序列的相关矩阵的特征值分布，因为已知它不同于arandom相关矩阵的分布[41]。为此，我们比较了四个最大特征值的历史动态，它们与维格纳定律不符。如图4所示，所有四个值都得到了很好的保留，与“市场模式”相对应的最大值在独立于移动窗口大小进行二值化后具有显著的一致性。在验证了二元回报确实捕获了与标准化回报类似的市场历史行为之后，我们继续进行玻尔兹曼模型的推断和参数的演化。B.近似和精确学习方法的比较在T=250个交易日（大约一个交易年）的SMA方法之后，我们研究外部领域的历史演变，以及为二值化时间序列的每个区块推断的耦合。

我们采用了前一节中描述的四种近似（nMF、TAP、IP和SM）学习方法，并将其与精确学习进行了比较，后者使用MC采样。图5显示了四个不同历史日期推断参数的比较。在不使用对角线权重技巧的情况下，当考虑远离市场崩溃的日期时（最左边两列中的第一行，对应于1997年12月22日和2002年1月9日），MF案例中的外部场推断效果更好。与精确学习算法（第二行）相比，轻敲校正略微提高了推理精度，但会产生高估值。对于接近市场崩溃的数据（最右边的两列中的两行，分别对应于2008年10月9日和2012年3月13日），两种HMF近似的表现都更差，而对角权重技巧允许在这两种情况下（前两行中的红色三角形）实现几乎完美的精度，证明需要进行高阶修正。IP算法（第三行）在除2002年1月9日之外的所有日期都显示出更差的性能。尽管高阶SM校正（第三排）显著提高了IP外场的准确性，但仍低于MF情况。使用两种MF近似推断出的耦合显示出相同的趋势，在远离/接近碰撞（第四排）的情况下更准确/更不准确。尽管MF联结器的体积与精确联结器的一致性非常好，即使在接近崩溃时，正异常值也被高估了。使用IPalgorithm估计的耦合与所考虑的所有日期（底行）的精确耦合非常不一致，而使用SM校正会产生相当大的改善（底行）。此外，它能够正确捕获最大的异常值，优于MF算法。近似方法推理质量的历史动态如图所示。

6，其中normalizedroot均方误差nRMSE（x，y）=VuT（xi- (易)(易)- y） （16）以及使用不同方法推断的模型参数之间的相关性。它证实了对角权重技巧极大地提高了MF外部场的推断质量，而耦合被系统地高估。在小相关性近似中，IP算法在所有历史数据中都表现不好，而SM耦合的质量与MF情况相当（但总体上仍然较低），在观察到高度相关性的时期，IP算法会降低。因此，观察到的行为表明，TAP是真实耦合和外部电场的可靠近似值（如果使用了对角线技巧），这在之前的研究中已被广泛使用[15,21–23]。然而，应该特别注意高估的正异常值，SMalgorithm可能会有所帮助。为了验证精确学习算法得到的结果，我们使用MC抽样对模型中的股票收益进行抽样。单一和成对的经验moFIG。4.使用250天的SMA窗口（a）计算的原始收益相关矩阵（绿色）和二元收益协方差矩阵（红色）的四个最大特征值的历史动态。每个面板中的数字对应于时间序列之间的总体历史相关性。这些整体相关性对移动窗口大小的依赖性如（b）所示。二值化保留了相关矩阵的最大特征值。从精确模型中很好地恢复了方差（图中未显示），而三阶协方差h（si- （sj）- 韩国- hski）i，几乎没有被模型捕捉到（图7）。

虽然无法获取三阶相关性可能是由于用于估计真实三阶协方差的lackof数据造成的，但这种情况不太可能发生，因为伊辛模型的三阶协方差与数据之间的不匹配程度是相同的，即使在某种程度上使用了大量数据进行估计。尽管如此，尽管单个三阶协方差没有很好地捕捉到，但它们的平均值的历史动态可以从模型中恢复（图8）。C.推断参数的分布图9显示了三个不同窗口大小（T=250、1000和5000交易日）使用精确学习算法推断的外部场和耦合的直方图。外部场的分布接近高斯分布，不具有独立于T的异常值。大部分联轴器也正常分布，但存在一个沉重的正尾。对于较大的窗口大小，推断出的耦合的高斯体分量变得不那么突出，而尾巴开始占主导地位。尽管参考文献[22]中已经报道了这种行为，但尾巴的作用仍不清楚。我们将在下一节讨论这个问题。事实上，如图10所示，Jijscale分布的所有矩与T。相反，hi没有明显的依赖性，hi的行为接近于随机选取的时间序列推断的外部场（其中每个元素在移动窗口块中使用均匀分布与其他随机选取的元素交换）。

随机推导出的时间序列的h值越高，可以用以下事实来解释：它补偿了由推导出的耦合的正项对平均收益的正（铁磁）贡献：在推导出的情况下，Jbecomes为零，而所有斯比尼保持不受影响，因此这种影响应该由外部场来补偿。图11所示分布矩的历史动态表明，平均外部场与平均回报率（0.90）密切相关，而较高的矩在所考虑的历史期间几乎稳定，似乎没有传达任何有关市场行为的特定信息。如果不使用对角权重技巧，HNMF与hExact完全不一致[图11（a）]。虽然Htapi的行为更类似于hExacti，但它们被严重高估了。使用IP和SMA算法推断的外部油田显示出与hnMFiand HTAPI类似的动态，但被高估的程度更大（图中未显示）。同时，对角线重量技巧允许在两种MF情况下实现几乎完美的准确性[图11（b）]。耦合分布与铁磁相互作用相对应，具有稳定的小正平均值，但几乎一半的耦合为负，即系统可能会出现受挫配置。除了平均值JSM外，SM算法总体上比TAP算法在耦合估计方面表现更好，这与市场高度相关的历史时期的JEXACT一致[Fig。

11（c），顶部面板]。还值得注意的是，标准偏差101HNMFCORR=0.87NRMSE=0.63Corr=1.00NRMSE=0.0223 Dec 1997nMF+diag101hTAPCorr=0.96NRMSE=0.63Corr=1.00NRMSE=0.02TAP+diag1 0 1hExact101hIP，SMCorr=0.43NRMSE=5.31Corr=0.93NRMSE=0.42IPSM101JNMF，TAPCorr=0.09NRMSE=1.00NRFT1=0 1JIXA2P，1.0 0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.750.0 0 0.0 0 0.1.1.1.1.0 0.4.1.1.1.1.1.1.1.1.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7.5 5 5.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06Corr=1.00NRMSE=0.0509十月2008nMF+diagCorr=0.81NRMSE=1.71Corr=1.00NRMSE=0.04TAP+diag1 0 1hExactCorr=0.27NRMSE=6.40Corr=0.77NRMSE=0.72IPSMCorr=0.99NRMSE=0.21Corr=0.99NRMSE=0.20nMFTAP1 2JExactCorr=0.42NRMSE=1.61Corr=0.23IPSMCorr=0.78MSE=0.88Corr=0.08MSE=0.0713NRMSE=0.07MSE=0+DIAGXACTCORR=0.06MSE=0Hexactcorr=0.35NRMSE=8.02Corr=0.80NRMSE=0.81IPSMCorr=0.99NRMSE=0.24Corr=0.99NRMSE=0.24nMFTAP1 0 1 jexactcorr=0.44NRMSE=1.77Corr=0.96NRMSE=0.37IPSMFIG。5.使用精确和近似（nMF、TAP、IP和SM）学习算法，对四个不同历史日期和250个交易日的SMA窗口推断出的外部磁场（顶部三行）和耦合（底部两行）进行比较。对角线权重技巧对于在平均场（nMF和TAP）情况下正确推断外部场至关重要。两种平均场近似都高估了绝对值较大的耦合。对于外场（第三排）和联轴器（最底层），IP算法的精度都非常低。SM校正显著改善了IP结果，并优于耦合分布中正异常值的TAP近似。图6。

使用不同方法推断的外部电场和耦合的比较（标准化均方根误差和相关系数）：（a）nMF与精确（蓝色）、抽头与精确（绿色）以及nMF与抽头（红色）；（b） IP对精确（蓝色），SM对精确（绿色），IP对SM（红色）。如果不使用对角权重技巧，外部字段的近似质量非常低，并且在金融崩溃期间显著下降[（a），两个顶部面板]，而使用该技巧可以显著提高其质量[（a），两个中间面板]。SM算法大大提高了IP外场的质量，但仍然低于采用对角技巧的MF[（b），两个顶部面板]。使用两种MF方法进行的耦合几乎相同，在金融危机期间的近似质量较低[（a），两个底部面板]。同样的行为也适用于SM联轴器[（b），两个底部面板]。在从1996年的0.14增加到2013年的0.2（图11（c）中的第二个面板）的整个期间内，远离碰撞的联轴器几乎呈线性增加。当我们注意到1996年耦合的标准偏差近似等于-0上推断出的耦合的标准偏差时，这一观察结果更有意义。4 - 0 .2 0 . 0 0 . 2 0 . 4- 0 . 4- 0 . 20 . 00 . 20 . 4CIs i n gijkN R M S E=1。0 1CO r=0。1 7 Cd a taijk2 7 J a n 2 0 1 0，T=2 5 0-0。1 0 . 0 0 .1- 0 . 10 . 00 . 这是一个很好的例子，T=50，R=1。1 6C o r=0。0.5图。7.三阶协方差的比较使用真实数据和来自两个不同移动窗口大小的精确模型的50000 MC样本计算。Isingmodel无法独立于移动窗口大小恢复观察到的单个thirdorder协方差。-0 .0 40 . 0 00 . 0 40 . 0 00 . 0 5- 0 .30 . 00 .

31 9 9 6 2 0 0 0 2 0 0 4 2 0 0 8 2 0 1 20 . 00 . 40 . 8 m e a nCb in，o f-d i a g3（i s in g，e x a c t）Cb in，o f-d i a g3（d a ta）s td d e v s k e w e s k u r t s是图。8.三阶协方差分布的前四个矩的历史演变，该三阶协方差使用来自精确伊辛模型（红色）数据的真实（蓝色）、随机（灰色）和5000 MC样本（每个历史日期）计算。精确的伊辛模型只能捕捉经验三阶协方差平均值的历史动态。然而，真实数据的所有高阶矩都与在随机时间序列上计算的高阶矩相似。随机的shu-free ed返回，而它的值几乎是2013年shu-free ed时间序列的两倍。此外，在最大的市场崩盘期间，联轴器的标准偏差出现了跳跃，因为金融动荡期间的羊群行为导致市场上的互连变得更加紧密：在系统无法适应新的经济现实之前，价格往往会以整体市场表现为基准集体变动[42]。沉重的正尾可以用高阶矩来表征，在某些历史时期会增加。目前尚不清楚原因。100101T=250100101T=10000.4 0.0 0.4hExacti100101T=50001001011021001011021 0 1JEXACTIJ10010110210010110210-1100LogJEXACTIJ100101102图。9.使用2010年1月27日三种不同移动窗口大小的精确学习算法推断的外部场和耦合的直方图。红色曲线表示高斯函数。对于较小的移动窗口大小，大部分耦合是正态分布的，而对于较大的移动窗口大小，则主要是一个沉重的正尾。D

与行业相关的聚类结构众所周知，股票市场具有分层聚类结构，可以通过股票价格[26,43]或交易量[23]之间的相关性或耦合来检测。用于查找相关结构的最常用技术之一是基于最小生成树（MST）算法。例如，Prim的算法——一种基本的MST构造算法——由以下三个步骤组成：1。用一个股票初始化一棵树，从所有股票中任意选择。2.找到尚未在树中与树中的某个股票具有最强耦合（Cijor Jij的最大值）的股票，并将其包含到树中。3.重复步骤2，直到所有股票都在树上。图12显示了使用二元股票收益的协方差和耦合矩阵构造的MST示例，这与参考文献中之前报告的类似。[15] 和[23]。这些结构的显著特征是建立了产业部门集群。在这里，我们将产业部门集群定义为树的一个连通子集，其中所有股票都属于同一个产业部门，即每个集群成员仅通过来自同一部门的股票与其他成员互动。此外，我们将团簇大小表示为Nm，k，其中m=1，M是一个部门指数（M=9是表I中列出的部门总数），k=1，Km是集群的指数（Km是m部门的多个此类集群）。如上所述，每个行业都可以有许多集群。为了估计市场的整体行业聚集度，让我们引入一个简单的指标，该指标基于最大规模qmst=NMXm=1maxkNm，k.（17）直观地说，qmst的一个小值对应于股票不根据其所属行业彼此分组的情况。

其最小值M/N由每个行业的最大集群只有一只股票的情况确定，即Km等于该行业的股票总数。Qmstis 1的最大值，对应于每个产业部门只有一个集群（Km=1）时的完美产业集群结构。这一聚类测度显示了对移动窗口大小的有趣依赖性（图13），表明伊辛模型推断，在更大的时间窗口中，股票市场的部门关联度在增加。此外，连通度随高斯分布偏离度和峰度而增加。为了进一步研究J的网络结构和聚类程度，我们基于两种不同的过滤程序进行聚类分析，即只考虑（i）耦合Jijand（ii）对应于不同特征值λi的J特征模的子集。为此，我们选择阈值JT和λ，而不是仅使用值Jij构造MST jtλiλ分别为。图14（a）显示，仅当最强联轴器中的一小部分被排除/包括在ST结构中时，Qmstoccurs的最大下降/增加。以类似的方式，它对划分最大特征值也很敏感[图14（b）]。因此，人们可能会得出这样的结论：耦合的分布确实可以被视为高斯体尾和重正尾的混合，其中包含了关于市场聚集结构的所有信息。从这个角度来看，使用稀疏正则化方法进行耦合推理，例如，“-正则化在参考文献中讨论。