波尔兹曼学会的美国股市互动网络

[44]将具有实际意义。最后，还值得注意的是，联结器的日内内部结构既不稳定（淬火），也不完全随机（退火），以某种方式保留了一个集群结构，直径较小，但接近市场崩溃（图未显示，例如参考文献[43]）。耦合矩阵的这些非平凡特征将在未来的工作中进行更详细的研究。E.推断参数的标度为了研究系统的广泛性质，我们研究了参数分布随股票数量的标度性质，通常用标度指数Nα来表征。对于随机选择的不同规模股票子集，我们估计其在标度指数上的每个分布矩的平均值。0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0- 0 .0 20 . 0 00 . 0 20 . 0 40 . 0 60 . 0 8 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0 s h u F e a n[hi]T0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 00 . 0 50 . 1 00 . 1 5s t d d e v[hi]t 0 5 F e b 2 0 0 7 J a n 2 0 0 1 0 s h u F fle d0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-2024k u r到s是[hi]t 0 5 F e b 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 J a 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 00 . 0 10 . 0 20 . 0 30 . 0 40 . 0 5 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0 s h u F e a n[Jij]T0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 00 . 0 50 . 1 00 . 1 50 . 2 00 .

2 5s t d d e v[Jij]t 0 5 F e b 2 0 0 7 a n 2 0 1 0 s h u F fle d0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1012345s k e w n e s[Jij]t 0 5 F e b 2 0 0 7 2 0 0 1 0 s h u F fle d0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-5051 52 0 2 0 2 5 k u r到s是[Jij]t 5 F e b 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。10.在两个不同的历史日期和2010年1月27日的随机时间序列中，通过移动窗口大小T，缩放精确外场（顶行）和耦合（底行）分布的前四个矩。根据随机舒拉时间序列推断的外部电场平均值的较高值补偿了耦合平均值的正（铁磁）贡献，而舒拉时间序列的平均值为零。图11。在没有（a）和（b）使用nMF（蓝色）、TAP（绿色）和精确（红色）推理算法的对角权重技巧的情况下，推断出的外场分布前四个矩的历史动态；o offf-使用SM（蓝色）、TAP（绿色）和exact（红色）推理算法推断的对角线耦合（c）。用灰色虚线表示使用TAP算法对随机收益推断的耦合和外部场分布的矩。这两种平均场近似法在没有使用对角权重技巧的情况下错误地估计了外部场，并且往往高估了耦合。SM近似法允许正确推断最大耦合，但其平均值被错误地捕捉到，用于具有高相关性的历史时期。在危机期间，观察到耦合强度增加。如图15（顶行）所示，外部磁场的分布不具有任何特定的标度律，但平均值除外，其α接近-0.75.

其他矩的尺度与根据随机时间序列推断的外部场的相应矩相似。耦合分布的标度特性取决于移动窗口的大小（图15，底行）。当T很小时，经验耦合显示出与随机shuf-fled回报推断的耦合相似的标度特征。然而，随着T的增长，均值和标准差的标度变得更接近正态分布的性质。这种依赖性可能与有限规模效应的存在有关，当使用少量历史值不足以估计市场上的真实相关性时。这些结果与参考文献[22]中获得的标度特性相似，但它们的SMA窗口依赖性已首次被证明。有两种极端的方式，当观察到的系统增大时，耦合分布会发生变化。其一是，通过增加新闻股，之前股票之间的结构完全改变。或者，耦合只能改变它们的绝对大小，而它们保持它们相对于彼此的大小。为了更好地了解我们的金融市场在该光谱中的位置，我们进行了类似于参考文献[19]的分析：我们选择了20只股票的

在这两种情况下都观察到了相似的行业相关聚类结构。考虑的行业包括医疗保健（红色）、消费品（蓝色）、基础材料（绿色）、金融（青色）、工业品（紫色）、服务（黄色）、技术（橙色）、企业集团（品红）和公用事业（深蓝色）。图形是使用NetworkX Python包[45]可视化的。0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00.20.40.60.81.0 JE x a c t JT a P CQm s tT024681 0 s k e w n s[Jij]01 02 03 04 0 0 0 0 k u r to s is[Jij]s k w n s s s e n s s s s s n s s s s n n n n s s s s n n n n n n s n s s s n s n n s n s n n n。13.最小生成树Qmst的质量（行业聚集度），取决于精确耦合和抽头耦合的移动窗口大小，以及协方差矩阵（2010年1月27日）。灰色虚线和虚线表示平均值和99。基于随机时间序列的MST质量的置信区间分别为7%。MST-Forcoupling的质量随着其分布偏离高斯分布而增加，其特征是偏态和峰度。ure 16显示，Jijremain的最大值/最小值与N的增长相同，并且对于更大的时间窗口，其标度变得更接近正态分布。这种行为还表明，随着股票数量的增加，市场连通性的重要特征得以保留。F.外部和内部影响考虑到系统哈密顿量[Eq.（2）]中的两个术语，也可以定义市场中的内部和外部影响。为此，外部场可以解释为外部因素的影响，即hext≡ h、 虽然耦合定义了内部偏差，但hint=hs | iJ（在MF意义上）[22]。在这种情况下，外部贡献对应于来自市场外部的个别股票偏差，而内部贡献则与之相对应。14

对两个SMA窗口T=1000和T=5000交易日（2010年1月27日）的耦合矩阵（a）及其特征值（b）进行切割分析。最小生成树Qmst（左栏和右栏）的耦合直方图和相应的特征值（左栏）以及质量（行业部门聚类度），取决于正（黑色虚线）和负（蓝色实线）截面积jt和λth，其中截面积上下的所有值分别被丢弃用于MST构造。红色曲线表示高斯函数。丢弃最大耦合和特征值会显著影响MST的质量，而负耦合和小特征值不会影响市场聚类结构。一个是完全根据内部市场互动来定义的。同样，我们也可以定义两个能量项asH=Eext+Eint，其中Eext，int=-hext，内景|希。图17显示，在所考虑的历史时期，这两种能量的量级几乎相同，而在重大碰撞附近，Eext比Eint大10倍以上。平均偏差之间的比率也提供了有趣的历史动态。原则上与平均回报率（0.9为0.0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0-0.4-0.20.00.20.4 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0 s h u F fledαs td d e v[hi]T0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-3-2 0 0 0 5 F e b 2 0 0 7 J a n 2 0 0 1 0αs k w n s[hi]T01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-4 0 0 5 F e b 2 0 0 0 0 7 J a n 2 0 0 0 1 0αk u r o s是[hi]T01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。00 . 20 .

4 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0 s h u F fle dαs td d e v[Jij]T0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20。00 . 20 . 40 . 6 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0αs k e w n e s[Jij]T0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1.0-0.50。00 . 51 . 0 0 5 F e b 2 0 0 7 2 7 J a n 2 0 1 0αk u r to s是[Jij]TFIG。15.对于两个不同历史日期和2010年1月27日随机统计的时间序列，准确的外部场（顶行）和耦合（底行）分布的平均标度指数与股票数量α，取决于移动窗口大小T。外部油田平均值的标度指数接近-T的大值为0.75，而更高的动量与根据随机时间序列推断的外部场相似。对于较小的窗口大小，经验耦合的尺度与随机时间序列上的耦合相似，而对于较大的T.2 0 4 0 6 0-0.20值，它们的尺度特性变得更接近高斯分布的特性。00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0 JijN2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 00.0 10.1α=-0。1.6Me a n[Jij]s td。d e v。[Jij]Nα=-0。8 60 2 0 0 4 0 0- 0 .20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0 s o r te d Jijin d e x N=2 0 N=7 0 2 0 4 0 6 0-0.20。00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0 JijN2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 00.0 10.1α=-0。3.9 m e a n[Jij]s td。d e v。[Jij]Nα=-0。8 90 2 0 0 4 0 0- 0 .20 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0 s o r te d Jijin d e x N=2 0 N=7 0图。16

根据2010年1月27日用于推断（包括原始20个）且T=1000（顶行）和T=5000（底行）的库存总数，在随机选择的20个库存子集之间缩放380个耦合：10个最大/最小耦合（第一列）、耦合的平均值和标准偏差（第二列）及其可视化（第三列）。耦合的相对大小随着数量或存量的增加而减小，而底层网络结构保持不变。hextand 0.99表示提示）它们之间的差异可能被用作财务不稳定的主要指标。在远离危机时期的情况下，它们的比率几乎稳定，而在美国市场崩盘之前，可以观察到不同的行为（图17中的两个底部面板）。从财务角度对观察到的行为进行可能的解释仍然是一个悬而未决的问题。四、 结论我们研究了成对互动模型在金融时间序列中应用的各个方面。该模型由外部场和耦合参数化，用于近似股票收益的联合均衡分布。自从con0以来。111 01 0 01 E-30。0 10 . 111 01 9 9 6 2 0 0 2 0 0 4 2 0 8 2 0 1 2-101s ig n（hin t/he x t）Ee x t/Ein t | he x t/hin t |图17。比较精确伊辛模型的外部和内部偏差。上下：对哈密顿量有贡献的外部能量和内部能量之比，平均外部和内部偏差之比及其符号的绝对值。重大市场崩盘之前，外部能源的增长和偏见之间的差异。考虑到学习算法需要使用二进制变量，对数返回使用Sign函数进行二值化。

二元化的效果表明，二元收益的分布在很大程度上反映了原始和标准化收益的分布，保留了有关市场相关性结构、经济周期和市场崩溃以及行业相关市场集群结构的信息。使用近似和精确的学习算法推断模型参数。平均场近似很好地恢复了除异常值以外的大部分耦合，这些异常值可以通过较小的相关性展开正确推断。如果使用对角权重技巧，外部场与精确算法几乎完全一致。所得结果还表明，在金融危机期间，由于观察到的相关性增加，近似推理方法的质量下降。就所考虑的历史时期而言，外部场的分布接近高斯分布，不存在任何与移动窗口大小无关的异常值。相反，耦合的分布有一个很重的正尾，对于较大的运动窗口大小，它开始主导高斯体。外部场的平均值随着库存数量的增加而减少，而它们的标准差几乎保持不变，这与在随机排列的时间序列上推断的外部场的标准差相对应。耦合分布的标度特性取决于移动窗口的大小，随着窗口的增长，它与高斯分布的特性越来越接近。尽管可能存在有限尺寸效应，但在六次耦合和近似耦合中都观察到了与行业相关的聚类结构。执行的cuto-off分析表明，最大的正耦合以及具有最大特征值的本征模包含了有关该结构的所有信息。

股票的小随机子集之间耦合的标度性质表明，基础网络结构也随股票数量而保持。最后，成对互动模型还允许定义外部和内部偏差，分别对应于外部场和耦合的贡献。它们之间的差异可能被用作即将到来的金融不稳定的前兆，应该从金融角度加以解释。这些非平凡的市场属性及其历史演变将在未来的工作中进行研究，其中纳入动力学的自然延伸之一是考虑动力学Isingmodel[46]。V.感谢本研究得到了Nordita、VR VCB 621-20122983、美国能源部、玛丽·居里培训网络NETADIS（FP7，拨款290038）、卡夫利基金会和挪威研究理事会卓越化学中心的支持。我们也感谢匿名推荐人的宝贵建议。[1] N.F.Johnson，P.Je fferies和P.M.Hui，《金融市场复杂性》（牛津大学出版社，牛津，2003年）。[2] D.Sornette，《为什么股市崩溃：复杂金融系统中的关键事件》（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2009年）。[3] R.Albert和A.-L.Barab\'asi，Rev。摩登派青年菲斯。74, 47(2002).[4] K.Kacperski和J.A.Ho lyst，Phys。莱特。A 254,53（1999年）。[5] K.Kiyono，Z.R.Struzik和Y.Yamamoto，Phys。牧师。莱特。96, 068701 (2006).[6] A-L.Barab\'asi和R.Albert，《科学》286509（1999）。[7] S.N.Dorogovtsev和J.F.F.Mendes，《网络的演变：从生物网络到互联网和WWW（物理学）》（牛津大学出版社，纽约，纽约，2003年）。[8] S.Bornholdt和H.G.Schuster主编，《图形和网络手册：从基因组到互联网》（John Wiley&Sons，纽约，纽约，2003年）。[9] P.盖和S.卡帕迪亚，菲洛斯。跨。R.Soc。隆德。

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