动态投资组合选择问题的显式解法

要从数量上看这一点，只需评估关于X。表2报告了短视和对冲需求对夏普比率初始值敏感的证据。最优分配的这两个组成部分分别随着夏普比无条件分布的百分位数的增加而增加。因此，总需求表现出相同的行为。这个=5=15T X（10）X（30）X（50）X（70）X（90）X（10）X（30）X（50）X（70）X（90）10MD-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-10.9 3.5 13.5 23.6 38.0 -4.6 1.5 5.7 9.9 15.920 MD-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-15.9 10.8 29.2 47.7 74.3 -7.2 4.9 13.3 21.6 33.730马里兰州-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-16.0 19.8 44.7 69.5 105.3 -7.7 9.8 21.9 34.1 51.640马里兰州-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-13.2 29.1 58.3 87.6 129.8 -6.5 15.5 30.7 46.0 68.0对于每种风险规避，第一行报告短视需求（MD），第二行报告没有卖空约束的享乐需求（HD）。我们给出了夏普比X的5个不同初始值的结果。每个值对应于X的无条件分布的第p个百分位数，由等式（49）定义，用X（p）表示，其中p取值10、30、50、70和90（然后X（50）=）。表2:T季度投资期限的短视和套期保值需求（%）与Campbell等人（2004）等一致。事实上，高夏普比率或相对波动性相当高的风险溢价意味着更好的投资机会。因此，分配到股票中的最优细分应该从均值回复参数的知识中增加，均值回复参数用于量化ex-pe c-ted Sharpe比率。短视需求独立于时间范围，而对冲需求随时间范围非线性增加。

然而，表2的定量数据表明，这种关系几乎是线性的，但地平线的微小变化会导致大量对冲需求。地平线效应很重要，但对于给定的s状态变量无条件分布百分位数，它是静态单调的。固定风险规避和状态变量总需求的所有变化都是由于地平线的变化造成的，对于小风险规避来说，变化很大。套期保值需求的水平效应在最优配置中很重要，因为它在更长的水平上广泛占主导地位。事实上，当视界大于20个季度时，当夏普比率初始值在30%到70%之间时，对冲需求通常会大于近视需求。我们最终使用了无借贷和卖空约束的共同假设。因此，在表3中，我们将所有投资组合权重限制在0到1之间。我们可以注意到，我们通常获得的价值非常接近Garlappi和Skoulakis（2009）的价值，而框架则不同。Garlappiand Skoulakis（2009）在离散时间内工作，并为季度股息价格比的无条件分布绘制了其状态变量的初始值。他们使用复杂的数字优化技术。我们在连续时间（无数值优化）中工作，我们的初始值是使用连续夏普比率的条件分布计算的，我们将观察点离散化，并使用相同的季度股息价格比率恢复。然而，对表3图表的仔细观察表明，与Garlappi和Skou lakis（200 9）获得的灵敏度相比，股票的最优配置对状态变量和时间范围更为敏感。我们在离散时间框架内进行了一些数值模拟，以评估我们的结果，从而找出两个框架之间差异的原因。

我们无法定性和定量地使我们的结果无效。为了测试我们的结果，我们在离散时间内进行了一些正向纯模拟。例如，更准确地说，我们探讨了夏普比率的初始值为第30百分位（X=X（30））的情况，相对风险规避等于5（=5），计划期限等于10（T=10个季度）。在这种情况下，当我们获得0.065的初始最优股票配置时，Garlappiand Skoulakis（2009）获得了两倍的数量（0.133，见表3）。太大了。

因此我们首先构建a0 5 10 15 20 25 30 35 40四分之一水平线（T参数）Xt=X（10）Xt=X（30）Xt=X（50）Xt=X（70）Xt=X（90）0 5 10 15 20 25 35 40四分之一水平线（T参数）Xt=X（10）Xt=X（30）Xt=X（50）Xt=X（90）图2：对于夏普比率X的5个不同初始值，作为水平线的函数对股票的最优配置（如表2或表3所示）0 1 2 3 4 6 7 8 9 10四分之一0。050.100.150.200.25图3：通过显式求解（实线）以及模拟和试验{0.05,0.10,0.15,0.20,0.25}网格（虚线）=5=15TX（10）X30（30）X50（70）X90（10）X30（50）X70（70）X90）10LT 0.6.42.1 77.7 100.0.0.0.0.2.5 15.2 15.13.0.3.0.0.4-6.8-1.1 4.6 0.0 0.0 -1.8-0.2 0.9 1.620 LT 0.0 13.7 57.8 100.0 100.0 0 5.9 22.8 39.7 64.1GS 0.0 24.4 57.2 89.7 100.0 0 0 10.7 25.1 40.4 63.20.0-10.7 0.6 10.3 0.0 0.0 -4.8-2.3-0.7 0.930 LT 0.0 22.8 73.2 100.0 100.0 10.8 31.5 52.1 81.9GS 0.0 32.8 68.4 100.0 100.0 0 0.0 17.5 35.2 54.0 80.70.0-10.0 4.8 0.0 0.0 0.0 -6.7-3.7-1.9 1.240 LT 0.0 32.0 86.9 100.0 100.0 16.5 40.2 64.0 98.3GS 0.0 38.8 77.6 100.0 100.0 0 0.0 24.1 44.5 65.7 94.60.0-6.8 9.3 0.0 0.0 0.0 -7.6-4.3-1.7 3.7对于每一种风险规避，第一行报告我们的结果（LT–A,在连续时间内对股票的最优配置），第二行报告Garlappi和Skoulakis（2009）的结果（GS–A,在不确定时间内对股票的最优配置），第三行报告我们的结果与Garlappi和Skoulakis（2009）的结果之间的差异。我们给出了夏普比率X的5个不同初始值的结果，这些初始值使用与GS中相同的股息价格比率估计值进行校准。

每个值对应于X的无条件分布的第p个百分位数，由等式（49）定义，用X（p）表示，其中p取10、30、50、70和90。表3:T季度投资期限内的股票最优配置（%）样本规模为10万，适用于zt+1、zt+2、Ae和zt+10，以及ln Pt+1、ln Pt+2、Ae和ln Pt+10，使用严格的VAR（1）Eqs（7）-（8）。我们选择网格G={0.05,0.10,0.15,0.20,0.25}对股票进行试验分配，以覆盖我们和Garlappi以及Skoulakis（2009）的解决方案。然后，对于样本中的每条路径，根据所有可能策略的笛卡尔积G×G××G计算终端财富的值。当我们评估5=9765625策略时，计算负担非常高。图3显示，离散时间内的正向路径（无数值优化）接近我们显式解的路径，尤其是在临界起点，即小风险规避（=5）状态变量的第30个百分位。结论当股票收益是可预测的时，我们研究了“连续时间迂回”来解决长期投资者问题。我们在连续时间世界中获得了一个显式的最优解，在从离散时间世界估计中恢复连续时间参数后，我们重新使用该解来评估最优分配对状态变量初始值、风险规避和时间范围的敏感性。我们发现比文献中报道的敏感度更高。我们还发现，总需求对状态变量的敏感性与状态变量的无条件分布不一致。以前的数值逼近技术处理我们所考虑的问题时会受到一些数值误差的影响。因此，它们并不总是提供准确的结果。

我们发现，在较长的时间范围内，配置的套期保值需求部分占主导地位，它对状态变量非常敏感，尤其是当风险规避降低和/或时间范围增加时。这一发现解释了离散数值方法的低精度，尤其是在状态变量无条件分布的尾部。参考巴伯里斯，N.（2000）。当回报是可预测的时，进行长期投资。《金融杂志》，55（1）：225-264。伯格斯特罗姆，A.R.（1984年）。连续时间随机模型和随时间聚集的问题。Z.InGriliches和医学博士Intriligator主编，《计量经济学手册》，第2卷，第20章，第145-1212页。爱思唯尔，1版。勃兰特，M.W.，戈亚尔，A.，安塔克拉拉，P.，和斯特劳德，J.R.（2005）。动态投资组合选择的模拟方法，用于学习收益可预测性。金融研究回顾，18（3）：831-873。Campbell，J.Y.、Chacko，G.、Rodriguez，J.和Viceira，L.M.（2004）。连续时间VAR模型中的战略资产配置。《经济动力与控制杂志》，28（11）：2195-2214。坎贝尔，J.Y.和希勒，R.J.（1988）。股票价格、收益和预期股息。《金融杂志》，43（3）：661-676。坎贝尔，J.Y.和维切拉，L.M.（2002）。战略资产配置：长期投资者的投资组合选择。福特大学出版社。Garlappi，L.和Skoulakis，G.（2009）。动态投资组合问题的数值解：泰勒近似值函数迭代的例子。计算经济学，33（2）：193-207。Garlappi，L.和Skoulakis，G.（2011）。泰勒级数逼近期望效用和最优投资组合选择。数学与金融经济学，5（2）：121-156。汉密尔顿，J.D.（1994）。时间序列分析。普林斯顿大学出版社。本田T.和镰村S.（2011）。

关于具有随机风险市场价格的动态投资组合消费问题的验证定理。亚太金融市场，18（2）：151-166。Kim，T.和Omberg，E.（1996年）。有活力的非近视投资组合。金融研究回顾，9（1）：141-161。刘杰（2007）。随机环境下的投资组合选择。金融研究回顾，20（1）：1-39。R.C.默顿（1971）。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。经济理论杂志，3:373-413。van Binsbergen，J.H.和Brandt，M.W.（2007）。通过递归优化投资组合权重或基于价值函数求解动态投资组合选择问题？计算经济学，29（3-4）：355-367。附录A。1用离散VAR恢复连续VAR的证明矩阵（10）可以重写为LN Pt+t- rf=ar+brzt+rt+t（34）zt+t=az+bzzt+zt+t（35）方程（34）和（35）描述了一个经济计量模型的联合过程，其中z表示分割价格比。矩阵（11）中连续时间模型的相应离散化版本可以重写为log P- RT=(-/2+t-(1 --t） +（1）--t） Xtn+Up（36）X=（1）--（t）+-tXtn+Ux（37）比较（34）和（36）的期望值，我们得到zt=-arbr+(-/2+）待定-(1 --t） br+（1）--t） brXtn（38）向前迭代（38），提前t个周期，使用（35），我们得到-arbr+(-/2+）待定-(1 --t） br+（1）--t） brX=az+bz-(-/2+）tbr+（1）--t） br-(1 --t） brXtn+zt+t（39）经过一些代数运算，我们发现=-azbr+（1）-（bz）-ar+(-/2+t-1.--t+bzXtn-br1--tzt+t（40）注意→01.--T= t、 最后，将等式（40）与等式（37）进行比较，等式（13）-（15）直接如下。

为了计算相关的第二个矩，可以计算（12）中U向量的方差。变量UpUx=Zt=0F′F（41）其中=1 (1 --（t）-Tp1-（42）使用涉及方程式（34）-（41）的匹配程序，我们可以直接重置方程式（16）-（18）。此外，每t的总公式a变为Var（X）=（1--2t）（43）Cov（X，对数Pt+t）=ρ1.--T+1.--T-1.--2t（44）Varln（Pt+t）=+ 2ρ+T- 2ρ1.--（t）-2.1.--（t）+1.--2（t）（45）式（17）给出了表示X的瞬时标准偏差。再次注意，对于小的，即当→ 0，术语（1）--（t）→ t、 所以当t=1时，所有的秒动量都可以用它们的瞬时对应物来近似。否则，当t6=1时，这类近似不再有效。坎贝尔等人（2004年，第2208页）讨论了本案的陷阱。例如，考虑到这一点，只需设置t=t和t=0，就可以计算终端条件方差。本文中使用的X的无条件动量是从方程（38）中导出的，当t归一化为1时。Xtn=+ar+brzt（46）E（Xtn）=+ar+brE（zt）=+ar+braz/（1）-bz）（47）那么，X的无条件平均值等于azbrr（1）-bz）+ar+r/2r（48）事实上，我们使用了结果=rin方程（16）和z遵循ar（1）过程的事实（Brandt等人（2005年），随后是G arlappi和Skoulakis（2009年）等）。因此它的无条件时刻是已知的，Ezt= az/（1）- bz）和Varzt=z/（1）- 汉密尔顿（1994年，第53页）。因此，在等式（38）下，我们可以将所有无条件的百分位数z（p）与其无条件的计算部分X（p）（p表示第p百分位数）匹配，并得出这些值的最佳策略。

由于套期保值需求对状态变量非常敏感，为了避免计算误差，我们直接从连续时间状态变量X的点观测Xtno的非条件分布中提取X（p）。因此，X（50）=和以下无条件分布成立。Z~ Naz1- bz，z1- bz==> 十、~ N、 br1.- bzzr！（49）A.2参数的证明和确认（31），C的解可以从以下方程中导出：Ct+A C+b C+C=0（50）。该方程可以直接改写为Ztta C+b C+cC=-（T）- t） （51）由于参数a、b和c是常数，给定c（t）=0，积分表提供了c的解。将其代入以下等式CT+c+b+a+CC=0（52），我们从方程（31）推导得出。再次使用终端条件C（T）=0和恒常变量方法，可以得到Cas的解：C（T）=ZTt-RTt+s（b/2+aC（u））u-丙(s)s=ZTte-b（T）-T-s） /2-aRTt+sC（u）u-丙(s)s=ZTte-（T）-T-(s)/2(b)(s)-1） +2（+b）（（T）-（t）-1) + 2-丙(s)s=2c（T-t） /2（+b）（（t）-（t）-1） +2ZTts/2--s/2s=4c/-（+b）（1）-（T）-t） ）+2（T）-t） /2-1.=2c2- （+b）（（T）-（t）-1)1.-（T）-t） /2=1.-（T）-t） /21.-（T）-t） C（t）Noname手稿号（将由编辑插入）插入你的标题Hered你有副标题吗？如果是这样，请写在这里第一作者·第二作者或接收：日期/接受：日期摘要在这里插入你的摘要。根据需要包括关键词、PACS和数学科目类别编号。关键词第一个关键词·第二个关键词·更多1介绍您的文本来到这里。用两个章节标题分隔文本章节，并附上引文[2]和[1]。需要2.1小节标题。别忘了给每个章节和小节贴上一个独特的标签（见第2节）。段落标题根据需要使用段落。a+b=c（1）F.作者第一地址电话：+123-45-678910传真：+123-45-678910电子邮件：fauthor@example.comS.

作者第二地址第一作者第二作者图。1请在这里写下你的图表说明。2请在此处填写表格标题插入标题3表1请在此处填写表格标题第一秒第三个数字编号编号编号编号编号编号参考编号1。作者，文章标题，期刊，卷，页码（年份）2。作者，书名，页码。出版商、地点（年）