动态投资组合选择问题的显式解法

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英文标题：
《Explicit solution to dynamic portfolio choice problem : The
  continuous-time detour》
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作者：
Fran\\c{c}ois Legendre (ERUDITE), Djibril Togola (ERUDITE)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper solves the dynamic portfolio choice problem. Using an explicit solution with a power utility, we construct a bridge between a continuous and discrete VAR model to assess portfolio sensitivities. We find, from a well analyzed example that the optimal allocation to stocks is particularly sensitive to Sharpe ratio. Our quantitative analysis highlights that this sensitivity increases when the risk aversion decreases and/or when the time horizon increases. This finding explains the low accuracy of discrete numerical methods especially along the tails of the unconditional distribution of the state variable.
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中文摘要：
本文解决了动态投资组合选择问题。利用电力公司的显式解决方案，我们在连续和离散VAR模型之间建立了一座桥梁，以评估投资组合的敏感性。通过一个分析充分的例子，我们发现股票的最优配置对夏普比率特别敏感。我们的定量分析强调，当风险规避减少和/或时间范围增加时，这种敏感性增加。这一发现解释了离散数值方法的低精度，尤其是在状态变量无条件分布的尾部。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Explicit_solution_to_dynamic_portfolio_choice_problem_:_The_continuous-time_detour.pdf (172.13 KB)

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关键词：投资组合选择 选择问题 投资组合 Quantitative Applications

动态投资组合选择问题的显式解法：连续时间迂回法*Djibril Togola+2015年2月16日摘要本文解决了动态投资组合问题。通过使用一个带有powerutility的显式解决方案，我们在连续和离散VAR模型之间建立了一座桥梁，以评估投资组合的敏感性。我们从一个经过充分分析的例子中发现，股票的最优配置对夏普比率特别敏感。我们的定量分析强调，当风险规避降低和/或时间范围增加时，这种敏感性增加。这一发现解释了离散数值方法的低精度，尤其是在状态变量无条件分布的尾部。关键词：动态投资组合选择；长期投资；时间聚集；显式解；数值解。JEL分类：G11；G12。引言至少从Merton（1971）开始，关于投资组合优化问题的许多结果都是在连续时间框架内得到的。当资产回报具有一定程度的可预测性时，即当投资机会随时间变化时，仍然很难解决最优投资组合问题。大量文献提出用VAR模型来预测收益率，并研究其对长期投资组合选择问题的影响。因此，学术文献遵循两个主要方向。第一种方法依赖于数学工具，并建立了一些明确的解决方案（见Kim and O mberg（1996）、Liu（2007）和其中的参考文献）。第二条研究路线是实施一些具有挑战性的数值方法。事实上，Barberis（200 0）开发了一种作为基准的离散化状态空间方法。布兰特等人。

vanBinsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）等使用了一些复杂的反向诱导技术，并通过将其与离散状态空间基准进行比较来评估其结果的准确性。然而，所有离散数值程序都直接或间接地逼近一个高度非线性的值函数，并且不能明确地将所谓的享乐需求与所谓的近视需求分开。G arlappi和Skoul akis（2011）对离散时间内的近似精度进行了一般性讨论。*鲁迪特大学，巴黎东部大学，特普大学，F。Legendre@u-佩克。法国+鲁迪特，巴黎大学东部，吉卜里尔。Togola@u-佩克。本文在连续时间下工作，使用投资组合选择问题的显式解，然后在连续和离散VAR模型之间建立一座桥梁，如Campbell等人（2004）所述。事实上，这些理论提供了证据，表明离散时间模型和连续时间模型下的结果应该存在微小差异。因此，我们从continuoustime得出的数值结果与Garlappi和Skoulakis（2009）的结果具有间接可比性。我们发现，对于较大程度的风险规避和/或小范围，当状态变量接近其无条件均值时，两个数值结果非常相似。否则，当风险规避降低和/或时间范围增加时，我们在连续时间的显式解下的结果与Garlappi和Skoulakis（2009）显示出一些差异。我们认为这是由于总需求对状态变量（夏普比率）的敏感性较大。论文的结构如下。第一节阐述了我们映射连续时间投资机会集和离散时间投资机会集的方法。第2节为具有CRRA偏好的长期投资者提供了一些关于明确解决方案的见解。

第3节给出了一些基于Brandt e t al.（2005）例子的数值结果。1投资机会设置我们首先在连续时间框架和离散时间框架中展示模型，以研究股票回报中可预测成分的影响。接下来，我们将展示如何恢复与离散时间VAR估计一致的连续时间参数。1.1持续时间内的机会我们首先假设投资者有两项资产（Campbell等人（2004年）和Kim andOmberg（1996年）等人）。一方面，无风险资产偿还固定利率rPftPft=rt（1），其中pft表示该资产在时间t的价格。另一方面，有一种风险资产的定价满足以下扩散过程ptpt=tt+Bpt（2），其中Bpt表示具有零漂移和单位方差率的标量布朗运动。漂移速率也遵循扩散过程。它应该是时变和状态变量相关的。假设风险资产的波动率为常数t。对于长期投资者来说，这不是一个强有力的假设（见Campbell and Viceira（2002））。让Xt表示夏普比率，即买卖一单位风险资产的风险/报酬的市场价格TXT=t- r（3）然后假设夏普比遵循通常的“Ornstein-Uhenbeck”扩散过程xt=（- t+Bxt，，>0（4），其中Bxt表示另一个具有零漂移和单位方差率的标量布朗运动。参数和分别表示Sharperatio Xt的无条件平均值和平均值恢复参数。事实上，参数反映了夏普比率上的冲击消散，然后恢复到其长期平均值的速率。最后，参数表示Sharperatio的瞬时波动性。

它控制过程的扩散速率。上述方程式表明，股票瞬时收益率Pt/Pt遵循一个扩散过程，其漂移为均值回复，其创新与风险本身的市场价格相关，相关系数为。因此，以下方程式成立。Pt/Pt=（Xt+r）t+Bpt（5）Xt=（-Xt）t+Bxt（6），其中BptBxt=t。方程（5）和（6）定义了连续时间内的联合随机过程。1.2离散时间内的机会集离散时间内的标准模型是一个受限的VAR（1）过程，它捕获股票收益的可预测性（例如，见Barberis（2000））。我们关注的是Brandt等人（2005年）分析的例子，该例子在van Binsbergen和Brandt（2007年）以及G arlappi和Skou lakis（2009年）中重复使用。风险资产的对数超额收益ln Pt+1-根据对数分割价格比zt（Rf表示无风险利率，在年化基础上等于6%）假设Rf是可预测的。这两个变量的联合动力学规定为Ln Pt+1- rf=ar+brzt+rt+1（7）zt+1=az+bzzt+zt+1（8）带rt+1zt+1~ N,rrzrzz（9） 事实上，坎贝尔和希勒（Campbell and Shiller，1988）有力地宣称，如果回报是可预测的，至少，对数股息与价格的比率应该包含一些可预测性。大量长期的经验文献记录了这两种回归的许多性质。Brandt等人（2005年）报告了以下估计值（使用1986年1月至1995年12月的CRSP美国季度指数）br=0.060 bz=0.958rzr z=-0.941回报是弱可预测的，股息率是高度持续的，冲击是强负相关的。1.3从离散时间变量中恢复连续时间参数我们密切关注Campbell等人的研究。

（2004）从受限VAR（1）方程（7）-（8）中恢复连续时间系统方程（5）-（6）的参数。然而，Campbell等人（2004年）使用风险溢价作为状态变量；我们更喜欢使用夏普比率。在矩阵形式下，离散时间变量（7）-（8）为ln Pt+1- rfzt+1=阿拉兹+0 br0 bz在Pt- rfzt+rt+1zt+1（10） 第一步是在均匀间隔的点{t，t，，tn，tn+1，}，t=tn的时间点观测范围内聚合连续时间模型- tn-1.然后，我们使用Bergstrom（1984）开发的离散化方法获得ln P- r tX=(-/2+t-(1 --t） （1）--（t）+1 (1 --（t）-Tln Ptn- rXtn+UpUx（11） 离散时间世界连续时间世界模型布兰特等（2005）金和欧姆伯格（1996）ln Pt+1- rf=ar+brzt+rt+1zt+1=az+bzzt+zt+1V（rt）=rV（zt）=sCov（rt，zt）=rzPft/Pft=r tPt/Pt=（Xt+r）t+BptXt=（-Xt）t+BxtBptBxt=t参数值布兰特等人（2005）我们的计算公式为（13）-（18）rf0。015 aR0。227br0。060az-0.155bz0。958r0。0060z0。0049rz-0.0051r 0.0150.1110.04290.00600.0542-0.941表1：在此处恢复连续时间参数UpUx=Zt=01 (1 --（t）-Tp1-Bptn+Zxtn+（12） Bxt=Bpt+p1时-其中bpt和zx是两个独立的布朗项。第二步是对过程Xtin（11）进行线性变换，以便我们可以将变换后的系统参数与离散时间VAR模型的矩阵形式（10）的参数联系起来。因此，当我们标准化时间跨度t=1时，因为所有的东西都是四分之一，我们得到（对于bz，br>0）r=rf（13）=azbrr（1）-bz）+ar+r/2r（14）=-附录证明了这些结果。表1显示了Brandt等人提出的连续时间当量VAR的参数值。

（2005）估计数。2具有CRRA优先权的连续时间投资组合选择问题我们现在可以解决具有长期视野的投资者的投资组合选择问题，他们面临前一节中描述的投资机会集。我们依赖于Honda和Kamimura（2011）的最新进展，他们使用了验证定理，并证明了连续时间下的显式解实际上是一个最优解，尤其是对于大于1的风险规避。我们考虑初始财富Wt>0且仅有两项资产（无风险短期债券和股票）可供投资的投资者。金融市场是不完整的。此外，投资者可以进行连续交易，他没有劳动收入，只关心最终财富，而WTT是最终的规划范围。价格变化的动态由（1）和（5）-（6）描述。如果是投资于股票的财富份额，那么瞬时财富将由WTWT=TPT+（1）给出-t） PftPft（19）恰当地替代Pt/P和Pft/Pft的动态，财富动态（也称为预算约束）变成：Wt=（tXt+r）Wtt+tWtBpt（20）。注意，财富过程反映了瞬时回报（术语Bpt）和状态变量（术语Xt）的不确定性。考虑到财富过程的这种形式化，在时间t，投资者的优化问题可以表示为axtet-Tu（WT）受约束（20）WT fixed（21），其中Et表示t日的条件理性预期算子、时间折扣参数（大于0）和u（）终端财富定义的效用函数。

让J（Wt，Xt，t）定义（22）中定义的问题在时间tJ（Wt，Xt，t）=maxtEt时的值-Tu（WT）（22）Bellman方程将这个问题推广到每一次t，因此j（WT，Xt，t）=maxtEtJ（WT+WT，Xt+Xt，t+t）（23）方程（23）强调了一个事实，即当前的最优决策取决于问题的条件期望值，而该值又与未来财富和状态变量密切相关。将伊藤引理应用于贝尔曼方程，我们发现0=maxtJWt（tXt+r）Wt+Jt+JXt（-Xt）+JWttWt+JXt+JWtXttWt（24）方程式（24）关于Tot的一阶条件意味着t=J/WtJ/WtWtXt+J/（WtXt）J/WTWTWTWT（25）默顿（1971）是第一个提出短视需求（Firsterm）和对冲需求（第二项）之间的叠加分解的股票最优配置。当机会集是非随机的（=0）或当机会集与资产回报不相关（=0）时，不存在Hedginges需求。现在，我们需要明确定义函数J（）。第一个猜想（见Kim和Omberg（1996））是假设J（Wt，Xt，t）=-tu（Wt）[f（Xt，t）]（26），其中f（）是终端条件为f（Xt，t）=1的辅助函数。我们考虑CRRApreferences u（Wt）=W1-t/（1）-) 其中是相对风险规避系数。因此，（25）中的hedging需求可以直接表示为f/Xtf=ln fxtt。然后，在CRRA偏好假设下，股票的最优配置可以按t=Xt+ln-fXt（27），因此，bellman方程（24）可以重写为0=f′tf+1-R- +1.-Xt+f′xf1-Xt+f′xf（- Xt）+f′x xf+f′xf1.-(-1） （28）我们对函数f（）的导数使用直观的符号。

方程（28）是一个偏微分方程，它允许解析解，尤其是当效用为对数（=1，由l\'Hopital\'规则）或市场完整（±1）时。第二个猜想是假设f（Xt，t）=expC（t）+C（t）Xt+C（t）Xt（29）其中C（t）、C（t）和C（t）是一些不确定的时变系数（C（t）=C（t）=C（t）=C（t）=0）。在这个猜想下，利用方程（27），股票的最优配置是我们只需要恢复C（t）和C（t）系数。Kim和Omberg（1996年）以及Liu（2007年）等人也使用了这个猜想。最近，Honda和Kamimura（2011）证明，从Bellman方程导出的解实际上是对长期投资者问题的最佳解决方案，即使市场是不完整的，他们只关心终端财富，风险厌恶大于统一。让我们用等式（28）0代替我们的第二个猜想=Ct+AC+BC+CXt+Ct+bC+C+a CCXt+Ct+1-R- + C+C+aC（31）式中a=[1+（1-)(-1） ，b=2[（1-)/ - ] c=（1）-)/. 无论Xt的值是多少，等式（31）必须保持不变，括号内的所有项都同时设置为零，以解C（）、C（）和C（）的方程。定义判别式DD=b-4圆锥体可以检查，如果大于1，则D>0。因此，感兴趣的两个解由c（t）=2c给出1.--（T）-（t）2.- （b+）1.--（T）-（t）（32）C（t）=4 C1.--（T）-t） /22.- （b+）1.--（T）-（t）（33）5 10 15 20风险规避（参数）-0.50-0.250.250.500.75T=10T=20T=30T=40图1：短视（虚线）和对冲（实线）需求作为Xt的风险规避函数=其中表示SPD。Kim和Omberg（1996）称之为范数解，并讨论了一些超出本文范围的替代解。附录提供了有关（32）和（33）的详细信息。

很容易看出C（）和C（）之间存在线性关系。然后，对于>1，Cand Care始终为负值。因此，由于<0，当参考值不是对数（更准确地说是>1）且风险市场价格为正时，套期保值需求始终为正。3数值结果如上所述，我们使用文献充分的Brandt et al.（2005）e x Sample来说明我们的方法。表1收集了从该示例中恢复的连续时间参数。为了进行比较，我们还使用了G arlappi和Skoulakis（2009）的结果，这些结果来自于相同的离散时间Var（1）估计，并通过复杂的数值方法获得。图1和表2有助于理解长期投资者的问题。对于=1，即对数效用的情况，不需要对冲需求。在这种情况下，无论时间跨度如何，动态投资组合选择都会简化为静态投资组合选择。否则，对于大于1且期限长于1的情况，在CRRA参考和均值回复回报下，代理人应具有积极的对冲需求，以防止投资机会的不利变化（Merton，1971）。然而→ ∞, 更具体地说，对于一个非常保守的经纪人来说，股票没有吸引力。因此，他不会投资股票，因为总需求（近视需求和对冲需求之和）趋于零。我们的结果重置了所有这些基本的重要特征。总需求对风险规避非常敏感。以往研究的结果表明，近视眼和对冲需求对较小的风险厌恶值更为敏感。我们证实了这一点，并认为套期保值需求对状态变量的敏感性在临界点附近是最大的≈ 2.我们的等式（30）和图1显示了这一证据。