基于一般单位划分的新copula及其应用

然后，对于sinceayen==aiijjppbyen===a jijipp，ij^I（2）（3 2）（3 2）（4 2）（1）（2）ii iii ii iibb a++=++=++=++++++用于（4.9）。i^I+现在，从（2.5）可以得出，（1）iiuufua=和（1）（1）jjjvvvb+=使用（4.8），经过一些繁琐但简单的计算，我们可以得到，，（0,1）。ij uv^I^I+（）（）（2（1）（1）1 2 5 4（，），0,1uv vuvuvuvuv--++=^I）（4.11），这显然是不对称的。相应的copula C可以再次显式地计算，得到（）（，）2，（0,1）=--++-+^IxyCxy xy xy y xy xy（4.12）这个连接词有一个上尾相关系数ul=（4.13），它介于带andcf的对称情况下的上尾相关系数之间。示例2中的最后一个表。b=2，b=eRemark 1：负二项式连接函数（见示例2和5）可以通过包含混合β分布的替代表示公式（2.5）轻松模拟。Poisson copulas可以使用应用于伽马分布随机变量Z的变换来模拟，其中随机形状参数由（3.15）中所示的几何分布和比例参数1生成-zza，ag+备注2：对于定量风险管理的实际应用，通过经验copula将所需概率与经验数据相匹配似乎是合理的，例如，正如inPFEIFER、STRASSBURGER和PHILIPPS（2009）提出的那样。在Bernstein连接函数的特殊情况下（参见示例1），这样的程序可以非常容易地实现，甚至在更高的维度上（参见。

COTTIN AND PFEIFER（2014））。，ijijp+^Iù"e"e作为实践练习，我们参考COTTIN AND PFEIFER（2014）中的例子4.2，其中原始数据集的经验copula被拟合到一般的Bernstein copula。以下两张图显示了经验copula（大红点）的散射图，它由Bernstein copula（左）和（3.11）型负二项式copula的1000个模拟点叠加而成，其中5个点。b=Bernstein copula fit负二项copula fitAs可以很好地看到，Bernstein copula更好地代表了经验copula的局部不对称性，但没有像负二项copula那样表现出尾部依赖性。为了简单起见，负二项式copula的拟合是通过负二项式copula的理论相关性和经验公式的相关性（0.815）之间的数值匹配来实现的。注意，（3.11）型负二项式copula的理论相关性可以明确地计算为（）rb（）（1）1232（1）（1，2）211（）（1）（2）rbbbbbbyen=ae"o+÷c÷=-=+Yc÷+èiii i+-（4.14），其中表示digamma函数的一阶导数，或（1，）zY（1，）ln（），0。DZDZY=G>zb1 2 3 4 5 6 7（）rb0。4784 0.6529 0.7410 0.7937 0.8288 0.8537 0.8723为了完整性起见，我们最后展示了Bernstein copula拟合和Poisson copula拟合之间的比较，其中参数Poisson copula的经验相关性为0.814。

6.g=Bernstein copula fit泊松copula fit注意，尽管泊松copula的经验曲线图可能暗示了一些尾部依赖性，但从（3.19）来看，这实际上是不正确的。更复杂的装配程序——包括不对称情况——也将在其他地方进行调查。最后需要指出的是，本文中提出的copula结构将对欧洲新的Solvency II保险监管制度下的内部模型构建产生重大影响（参见HUMMEL AND M"ARKERT（2011）或SANDSTROM（2011），第13章）。附录引理1的证明。我们将通过归纳法证明以下两个表达式的相等性：（，）：bbb+=aeae+++÷cc÷cc÷cèiikz zii"o=÷o（，）：（1）bbbbb+=aecc"o÷c÷c÷c÷c÷iikz ziiz÷01<<z代表（5.1）我们的第一个通知，代表andb^I 2.2）和（1）BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBccccccccccccccccccccccccc。z（5.3）一个类似但更详细的计算表明，如果用（，）bKz（，）：bKz（，，）（，）（1，）（2）bbbbb¨+¨+¨+¨+=+kz KZZKZ替换后一等式仍然有效。z（5.4）在归纳的第一步中，因为我们有1，b=（1）（2）（1）11（1，）“”（）（1，）222（1）yen=+==+===aiijii jjKz z z hz kzz=（5.5）和（）<对于第二步，假设关系式（5.01）对某个事物成立，然后它后面是（5.3）和（5.4）。b^I（，）（，）（，）（，）（1，）（1，（2）（2）BBBBBBBBBBBBBB¨¨+++¨+===+++Kz Kz Kz Kz Kz Kz）z"o÷÷o（5.6）完成证明。引理2的证明。

首先，请注意，对于11 1 12 bbb-bbb-==aeaeaeaeaeaeaeae+÷cccc÷÷cccc÷ccccccccc÷ii（5.7），这是范德蒙身份的特例。这反过来又意味着122（2）（1）（1）bbb bbbbbbbb=G÷÷÷ccc+÷=+÷cc÷÷÷cc÷÷cc÷ccccccciii.（5.8）现在，根据第1条，我们得到1111111 110（1）（1）（1）（1）（1）lim）。hiuvcuvdudv uvdudvuviihhbbbblb+- =-为了计算最后一个积分，我们代入并得到1，1=-suw21 2111 00（1）（1）（，：（）（1）（1）。（1）在进一步的步骤中，替换我们得到，==shxwhy（，，，，（1），（）bbbbbbb+==-+òòòòhhiihhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh。（5.12）uhiihi xydx dyii ihxyxydx dyxybbbbbbbbbbbb-+==+ae=·G+aaòò仍需计算上述表达式中的积分项。因此，我们考虑一对一的mapfor（）（：0,1:（，），（1）-g T uv:（，）|0 1,0分钟，ìae"i"i"i÷^I .o（注意，（，）：（，），xyguv=我们有，xuvxxy=++y（）（，）0,1。）^Ixy对于重积分的代换公式，我们现在得到，放置，（）xyxybb+（，）：fxy=+并且观察到对于雅可比矩阵的行列式，我们有heredet（gu，），v vD=（）00（）11/2（，）（，）det（，）（）（1）min，（1）2（1）（5.13gT TTxydx dy f x x y dx dy f g u v g u u u u u u u u u u u u dubbb）+==·D+ae"o÷c=-=·-=这证明了（3.13）中的第一行。

对于第二行中的第一个等式，请注意，通过对称和替换，vu=1/21/21114（2）（2）1（1）2（1）2（1）（1）（2）（2）2（1）（12）（2）（1）（）4（2）（2）（2）（2）（2）4u duu duu duuu udu vduzz zbb bbbbbbbbbbbbbbb--------·-= · --úGGúúGG=·--= ·- GGG-=·Gòòòò21（2）（2 1）！(5.14)22()42(1)!44bbbbbbbbbbb-ae"oc÷ù÷cèèèè==èGèèèèèè这证明了（3.13）第二行中的第一个等式。渐近展开遵循斯特林公式。引理3的证明。Define（）（）：=nxnefxxforis以1为界，因此我们可以在适当的地方应用支配收敛定理。Now0>x。^I n（）（）1（）（）1（）\'（）：1（1）（1）（1）（1）yen--+-+=yen+++-+=yen+-++==ae"o÷c=-·=--·= 在该地区的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第三方的第>c（（）：（1）ln（）ln（）+=（1）11 11（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（5.17）5.17）10 10 10（5.17）10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十JJJJJJJJJJJNNDHC j c cjjdc cnnnjjjjc c JC，因为这意味着，因此或等价地，对于某个常数的所有值，但随后也为0（11）（1）=ae"o÷c÷nnjnj（）=nn nKgchc 0，>c.j\'\'nn=ngh^InK（）=nngc hc K。（）（）（）（）0 0 lim（）lim（）lim（1）ln（）lim（1）lim ln 1 0nxncx jnncc cjnxncx jccjenKgchc edx jccjxenjedx dxjxcyen-+yen yen yen yen=yen-+yen 因此，所有这些都证明了这一点。 .^I n=nghn，^In、 防止引理4。

然后代入（3.26）相当于1=-s（）（）（1）（1）（1）lim lim 1，（）（1）·- - ·==这意味着我们必须证明1=-u。w（）lnlim 1。ln（）+=òsswsdwsw（5.20）Defineln（）ln（（1））（，）：，（，）：。ln（）ln（）++==ws-sFws-Gwsww（5.21）Thenln（），（，）ln（）++wswswws-Gwsww表示（5.22）0<ws（注意，现在l表示0表示n（）0<w1）<<W01，ln 11ln（10G（，）ln（1）ln（）。ln（）因此，它足以证明！11ln（lim（，）lim 1。ln（）-+=òsssswwssdw dwssw）=（5.25）通过替换ln（）=xww我们得到等价的表达式（）！ln（）lnlim 1。yen-+=òxxssedxsx（5.26）注意（）。（5.27）xxx xxxss sxxx xss see se se x seed x edx edx xse见dx e dx s e dxxx--！ln（）ln 1lim 0。yen+=òxxssseedxsx（5.28）与替换相当于，=Tse（）！1lim 0。yenyen+=òxttteexxdx（5.29）最后替换为，=yxT这意味着（）！（）第1层第1层第0层。yenyen-+ yen yen+=+++òòyytyteedy edyT yT=y（5.30），但这一点现在很明显，因为（）ln 10 lim lim 0yen--yen yen 根据Lebesgue的支配收敛定理，yen+ae"o++÷c=c÷c+++òòyyytteyyedy edy e dyyT yT yT÷=y（5.31）。（对于一个可积主量，用1，T表示。）-是的，这证明了引理4。引理5的证明。

首先注意，通过关系式ln（1）ln 111 1ae"oc=-=----------------=·+òòòiiiuudu u u u u u i.^I如果所有（5.32）现在11.11（）：1（）（）1（）（）aayen==ì"i"i"i"i"i"iùiiii tt tuv du dvt du dvt iLuLv t iLv t Lui（5.33）由Lebesgue的支配收敛定理确定，因为由（5.32），（0,1），^Iv2 1（）（）2 3（1）（1）331a=（）·（5.34）r.h.h.是可积的，r.r.t.t.t.t.u.t.t.t.t.u.t.t.t.t.u.和价值33（2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）2（1）1）2（1）2（1）1）2（1）1）1）是（1）2（1）2（1）2（1）1）是（1）的（1）是（1）的，现在是0 0现在对于0我们现在对于0 0 0我们有0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0我们有0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（我们有0 0 0 0 0 0 0 0 0（我们有0 0 0 0 0 0（我们有0 0（0（0（我们36）对于我们从（5.33）中得到的一切，。^I （5.37）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1（1）1）1（1）1）1（1）1）1（1）1）1（1）1）1）1（1）1）1）1（1）1）1）2）3）在第三阶段，在第二阶段，第二阶段，第三阶段，第三阶段，第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段第。从引理4中，我们得到了最终的结果这证明了引理5。致谢。我们要感谢审稿人提出的一些有益的意见，这些意见大大改善了论文的表达，特别是指出了引理2中加泰罗尼亚数的关系，以及在线整数序列百科全书(c)中给出的相应参考文献。参照物。BLUMENTRITT（2012）：关于Copula密度估计和多变量关联度量。勒马尔欧尔·韦拉格171号乐队雷赫科诺米。C.COTTIN和D.PFEIFER（2014）：从伯恩斯坦多项式到伯恩斯坦连接函数。J.阿普尔。功能分析，277-288。S.GHOSH和S.G.HENDERSON（2009）：拼凑发行版。作者：C.阿列克索普洛斯、D.戈德曼和J。R

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