基于一般单位划分的新copula及其应用

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《New copulas based on general partitions-of-unity and their applications
  to risk management》
---
作者：
Dietmar Pfeifer, Herv\\\'e Awoumlac Tsatedem, Andreas M\\\"andle, C\\^ome
  Girschig
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  We construct new multivariate copulas on the basis of a generalized infinite partition-of-unity approach. This approach allows - in contrast to finite partition-of-unity copulas - for tail-dependence as well as for asymmetry. A possibility of fitting such copulas to real data from quantitative risk management is also pointed out.
---
中文摘要：
我们在广义无限单位划分方法的基础上构造了新的多元copula。与单位连接函数的有限划分不同，这种方法允许尾部依赖和不对称。还指出了将这种连接函数与定量风险管理的真实数据拟合的可能性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> New_copulas_based_on_general_partitions-of-unity_and_their_applications_to_risk_.pdf (2.22 MB)

2022-5-8 04:29:05 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Copula opula Quantitative Applications Multivariate

基于统一的一般划分及其在风险管理中的应用（Dietmar Pfeifer1）、HervéAwoumlac Tsatedem+1）、Andreas M"andle1）和C^ome Girschig2）Carl von Ossietzky University"at Oldenburg，Germany1）和法国巴黎国家桥周塞分校（法国巴黎2）7月8日，2016年摘要：我们基于广义无限单位划分方法构造了新的多元copula。与单位连接函数的有限划分不同，这种方法允许尾部依赖和不对称。还指出了将此类连接函数与定量风险管理的真实数据进行拟合的可能性。关键词：copulas，单位分割，尾依赖，不对称ymsc:62H05，62H12，62H17，62H201。近年来，copulas理论及其应用引起了人们的极大兴趣，尤其是在定量风险管理、保险和金融领域（参见MCNEIL、FREY和EMBRECHTS（2005）或RANK（2006））。虽然人们广泛探索了椭圆等高线copulas和阿基米德copulas等经典方法，但其他方法集中于非标准、非对称或数据驱动的copula构造（参见LAUTERBACH和PFEIFER（2015）、LAUTERBACH（2014）、COTTINANDPFEIFER（2014）或JAWORSKI、DURANTE和H"ARDLE（2013）以及其中的调查论文，尤其是与藤连接词有关的贡献）。最近还对连接函数的统计和计算方面进行了更详细的研究（参见Blumentrit（2012）和MAI and SCHERER（2012））。在本文中，我们想关注一类特殊的copula及其推广，即所谓的单位copula的划分（参见。

LI、MIKUSI'NSKI和TAYLOR（1998）或KULPA（1999））。而在通常的方法中，只考虑有限的单位分割，这不允许尾部依赖的建模，我们将这个概念扩展到无限的单位分割，这允许尾部依赖和不对称，也可以用于将给定数据拟合到更现实的Copula模型。我们的调查在某种意义上类似于更近期的方法，如YANG等人（2015年）、GONZ'ALEZ-BARRIOS和HERN'ANDEZ-CEDILLO（2013年）、ZHENG等人（2011年）、HUMMEL和M"ARKERT（2011年）或GHOSH和HENDERSON（2009年）。在这些论文中，我们考虑了已知标准copula的局部修改，以获得尾部相关性或不对称性，而我们关注的是全新copula密度的封闭形式表示，它允许进行简单的蒙特卡罗模拟，以及尾部相关性和不对称性的数据驱动建模。这种方法通常不限于二维，但同样可以用于任意维。然而，为了说明我们的结果，我们将只给出双变量情况下的例子。为了便于论文的可读性，所有详细的证明都在附录中给出。2.主要结果集{}0,1,2,3+= 表示非负整数的集合，并假设{}（）j+^Iiiuandare是区间{yj}（）+^Ijv上定义的非负映射（）0,1各为（2.1）（）1jyyen===aijijuv=+和（2.2）（）0，（）0jayb=>=>iijjudu vdv。^I Ij是映射，可以被认为是用参数su和v分别表示非负整数上的离散分布。

序列（）jiu+（）yjv{}a+^IⅡ和{}b+^Ijjthen表示相应的混合分布的概率。让我们进一步{}，+^Iijip表示任意离散二元分布的概率，其边际分布由和forThen++'ij给出+ayen==aiijjppbyen===a jijipp。^I ij（，）：（），0,1jyabyen===aaijpcuv u v uv）^I（2.3）定义了二元copula的密度，称为单位copula的广义划分。事实上，c实际上是一个二元copula的密度，可以如下所示：00 0000 00（，）（）（）（）（）1，（2.4）jy bjab abjjajaa a ayenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyenyen。请注意，从“双重”的角度来看，我们可以将（2.3）改写为（，）（），0,1yen==ij i jijcuv p f u g v uv）^I（2.5）where（），（），yjab+==Jiijifg i^Ij表示{}（）j+^I引起的勒贝格密度这意味着copula密度c可以被视为产品密度的适当混合，这可能为随机模拟提供了一种简单的方法。{}() .y+^IJV这种方法对d维的一个扩展是显而易见的：假设2>d{}（）j+^Ikiiu表示离散概率为1=kd+^Ii（）1jyen=akiiu for（2.6）（0,1）^Iuand（）0ja=>òki kiudufor（2.7）让我们进一步{}+^IDPII表示任意离散d维随机向量Zover的分布，为简单起见，我们在其中写道：+d（），=diii，即（，+==^IdPpiZi。

（2.8）进一步假设对于边际分布，有（，，1，a+==^I）=kkiPZ i i k d，。（2.9）然后，1，（）：（），0,1ja+=^I==aKDDKI k DDKKIKPCUUIUU^Iu^I（2.10）定义了一个d变量copula的密度，也被称为单位copula的广义划分。或者，我们可以将（2.10）重写为，1（）（），0,1+=^I==akdddki k dkcpfuuuiuu（2.11），其中（）=琪琪fik d表示{}（）引起的勒贝格密度。j+^Ikiiu3。对称情况（对角优势）为了简单起见，我们在续集中将自己局限于二维情况。对更高维度的概括是显而易见的。i+^ILetj表示i，并定义y=i() 0.ja=>òiiudu，如果：0，否则。aì="i="i"i="i"i"i"i"i"i"iiiijijp（3.1）Then（）（，）：（），0,1jjaayen===a"iiiiiiiuvcuv f f f v uv^I（3.2）定义了一个二元copula的密度，称为具有对角优势的单位copula的广义划分。例1（二项式分布——伯恩斯坦copula）。对于一个固定整数，考虑由点质量2，m，（1），0，1（）0给出的二项分布族。j-ìae"i"i"i"i"i"i"i"i"i"i"i"iImimimiu i muiim（3.3）这里我们有0，1=-我，，（）（1）（1）！( 1) ( ) ( 1)! !( 1 )! 1(3.4)!( 1 )! ( 1) !( 1 )! !aj-ae"o÷c÷==c÷c÷c-G+G---=· =·=-- 因此（，）（）（1）（1），0,1-=ae"o÷c÷=-c÷c÷èmmimicuv m uv u v uvi^I（3.5），对应于特定Bernstein copula的密度（参见例如COTTIN AND PFEIFER（2014），定理2.1）。

特别是，我们得到了2，=m（（，）42,0,1.=-+^Icuv uv u v uv（3.6）对应的copula由c^I（，）（，）（1）（1），0,1=+-òyxC x y c u v dv du xy xy x y x y（3.7）给出，属于所谓的Farlie-Gumbel-Morgenstern家族（参见e.g.NELSEN（2006），第77页）。对于一般关系（3.5），表示两个变量中具有m次多项式段的copula的密度（参见NELSEN（2006），第3.2.5章）。下图显示了不同m值下的一些密度，>m===mmmm显然，所有这些密度都以常数m为界，因此上下尾相关系数SL和l为零：U l（，）（1）lim lim 0l=英镑=0。L=例2（负二项分布）。考虑由点质量0，b>，（）（1）给出的负二项分布族。bbbj+ae"o+÷c÷=c÷cIiuuui（3.9）在这里，我们有，+^Ii、 ，（）（1）（1）（1）（3.10）！（）（2）（）（1）BBBBBBB AJBBae"o+G+G+G+G+÷c÷=-=· =因此（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）0,1。（3.11）BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB。，布朗玛1。

因为那里有货舱，b^I(1 )(1 )(,) ( 1) ( ), 0,1.（1）bbbbbbb+=ae"oae"o-+-÷cc=+÷^Ic÷cc÷c÷ccèèiuvcuv uviuv（3.12）为了给出引理1的说明，我们展示了一个示例表，同样对于相应的copula1，6b=(, ) (,) , 0,1.bb=yxC x y c u v dv du x yb（，），（0,1）b^Icuv uv（1）（1）uvuv（13）（1）（1）+-uv u vuv（22 3 318 6（1）（1）（1）+-uv u vuv（22 33 4 4115 10（1）（1）（1）+-uv uv uv u vuv vuv vuv（22 33 44 5 5124 90 80 15（1）（1）（1）（1）+-uv uv vuv vuv vuv（22 33 35 358 6）（1）（1）（1）uv vuv vuv vuv+1）+-uv vuv vuv vuv vuv（22 3345+1）vu vu vu vu vu vu vu vu vu（22+1）（1）vu+1）vu+1，（0,1）b^ICxy xy（2）-xyxyxyxy（22 222333）3（1）--+++-xyxy xy-xyxy54 45 44 44 43 34 42 33 24 24 32 23 446（1）4 4 4 4 16（）---+--+++---XYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXY下图显示了BC 1,6的负二项式copula密度。b=12bb==3b=456bb==b=负二项式连词通常表现出上尾依赖性，如下表所示。b1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（）b整数值的尾部相关系数的lbUA闭合公式在以下结果中给出。引理2。因为那里有货舱，b^I11 1/200 0（，）2（2）4（2）（）lim（1）1（）（）1表示大的。（3.13）ttUtcuvdudvxydx dy u dutxybbbbbbbpb+GG==·=·-G+G"o÷c÷c÷cc=-òòòò请注意，序列与某些组合图问题有关，见LISKOVETZ and Walsh（2006），表4，第385页。作者在论文中评论道：“后一种（序列）也被称为对象循环的枚举器，其中单个对象由Catalan数枚举。”注意，关系式（3.13）也意味着lim（）1。Ublbyen=示例3（泊松分布）。

考虑由点质量给出的泊松分布族，（）（1），！gggj+=-^IIiluuuII（3.14）在这里我们得到了，对于替换和（）ln（1）0，（0,1）=->^ILu（1），g=+0。g>，+^Ii=zLyz（1），00 0（）（）（1）！！1 , (3.15)(1 ) ! （1）Iiziiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii。！ggggggggyen=+-=+-^Iaiiuvcuv u v uvi（3.16）以下图表显示了不同选择的连接函数密度。g1g=2g=5g=10g=20g=30g=对应的copula C无法明确计算。然而，与视觉印象相反，尽管在所有情况下，我们在点（1,1）处都有一个奇点，但这里的上尾依赖系数在所有情况下都为零。（）lgU0，g>为了得到严格的证明，我们首先指出（，）：exp（）！！！ii i iiiixy x yhxy x yiiiyenyen=·=+c÷c÷ccaaaaa对于所有（3.17），0xy^3，以常数：（1ggg=-+K），（）（，）（1）（1）（1）ln（1），（1）ln（1）2（1）（1），0,1。（3.18）KKcuv u vh u vuvuggggggggggg=+--+-+-+-+-+-6这意味着（，）（1）lim 2lim 0,1（glg+=如前所述，lb-+òòktutcuvdudvttk1）=（3.19）。（请注意2（1）0。）ggg+=+-+>KExample 4（日志系列分布）。考虑由点质量（）和（）j给出的对数系列分布族=·iiuuiLu^Ii（3.20）这里我们再次得到（）ln（1），（0,1）。=-（1）ln（1）aj+=ae"o÷c÷c÷èaòijiijiudu jji+。^I ifor（3.21）这个关系的证明需要一些更复杂的论点，如续集所示。引理3。

因为那里有0>c，^In（）（（1）ln（）ln（）。注意，对于特殊情况，我们通过替换1=Cln（1），=-xu（）：（ln（1）b-+=ae"o÷c（3.23）因此带有（）ln（1）j=·这意味着i（）（1）ln（1）baj+=。^I i对于（3.24），双变量对数序列copula的密度因此由（，）（）（）ln（1）ln（1）jjabyen===-a（）iiiiiii uvcuv u vuvi0，1给出<<uva对于（3.25），下图显示了相应的copula密度。（，）cuv的曲线图对数级数copula也不像泊松copula那样具有正尾依赖性。要证明这一说法，还需要一些更复杂的论据。我们按照以下步骤进行。引理4。我们有（）ln（1），=--Lu u1（）lim 1.1（）=òttLutdutLu（3.26）引理5。利用（3.21）中给出的连接函数密度和（3.25）中给出的连接函数密度，它保持了（）ln（1），=-Lu u ai11 1（）：（，）1（）=-ttLutKt cuvdudv dutt01，<<t（）Lufor（3.27），这反过来意味着对数序列连接函数没有尾部依赖性。4.非对称的情况指定概率。我们用非对称的方法获得非对称的copula密度，即使映射和是相同的。解决这个问题的一个非常简单的方法是对可测非对称矩阵（）ij的说明 （）jy（1）n+\'（1）n+，0，，nijij nMp=ùù="e对于Witn+^I对于（4.1）0，i= nand。ij n>1。对于（4.2）例5（负二项分布，不对称情况），b=，if:0，否则为iijijpaì="i="i"i="i"i^i。

我们考虑例2中的负二项分布，其中n和为1，（）（1）（2）iiuduiaj==++ò。i+^I4=:0 50000 00302 0000Mùùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúú。。。(1 )(1 )(1 )(1 ) ( 1)( 2) ( , ), 0,1 (4.5)5(1 )yen=ae"o÷c÷c÷c÷c÷c÷c÷c÷=- -· · · +÷c÷c÷c÷c÷c÷c÷c÷èo-+- -· + + = ^Ikkvcuv u v u u u mvvvvuv k kuv huvuvuvuvu与多项式77 66 73 55 37 54 35 2644 62 34 43 5 33 24 5 3223 22（，）150 450 10 510 10 30 30300 30 50 90 94 30 6015 10 18 10 10 10 10 10 10 10 10 5 6。紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线紫外线+-+++         （，）cuv（，）（，）cuv cvuth的曲线图相应的copula C也有一个上尾依赖系数ul=as在对称性中。下面的例子展示了一个由两个不同的负二项分布组成的非对称copula。例6。我们考虑例2中的负二项分布，其中Andhen1b=2。b=1，（）（1）（2）iiuduiaj==++ò和2，1ja=，（）2（2）（3）jjvdvjj+==++ò+bj代表ij+^I如果2如果2其他方面的bì="i"i"i"i"i"ijij jjipjifor（4.7），则ij+^Ii j+i.e.，ijijpbbbbbbb+i^Iùúúúúúúù=úúúúúúúúúúú   （4.8）在哪里   代表零。