产品组合拍卖和热带几何

根据引理3.3，竞争均衡平均值（27）（J·P）∩ 锌=（P∩ 锌）+··+（P∩ Zn）{z}J时间22 NGOC MAI TRAN和JOSEPHINE YUA多面体P满足所有J∈ N被称为具有IDP（整数分解性质）。带有IDP的多面体也被称为整体闭合或正常，但我们将使用术语IDP，因为它在所有文献中具有最一致的含义。推论6.5表示n≤ 2.所有积分多面体都有IDP[12]。对于n来说，这不再是事实≥ 3.四面体Ain示例6.6是一个不含IDP的整体多面体。然而，Bruns、Gubeladze和Trung[5，定理1.3.3]的结果表明，对于任何整数多面体P和任何整数c≥ 昏暗（P）- 1、扩张多面体cP有IDP。参见[6，定理1.1]以获得一个简单的证明。我们可以从以下产品组合拍卖的角度来解释这一结果。定义6.7（c-re-nement）。对于c∈ N、 估值的c-条件u:a锌→ R是一个函数u:c·a 锌→ R、 这样“u”就是“u（c·a）=c·u（a）所定义的所有a的凹形主要函数∈ A.有估值（u，…，uJ）的产品混合拍卖的c-re是有估值（\'u，…，uJ）的产品混合拍卖，其中，\'Ujis是ujfor j=1，J.需求反映了在产品组合拍卖中改变基本单位的影响。例如，假设不再销售10盒一盒的香蕉和苹果，而是单独销售。不用在新的点上查询代理，而是通过沿宽度为1/10的网格离散原始估值，然后乘以10，以获得产品组合拍卖，从而推断其价值。为allagents这样做会导致在一个单位内进行产品组合拍卖，因此得名为re-nement。估值函数u的c-函数不会改变原始边的集合u、 因此不会改变其需求类型。

任意拍卖的竞争对手可能无法达到竞争均衡。Bruns–Gubeladze–Truntheorem被转化为一类特殊的稳定拍卖，其中始终存在竞争均衡的竞争对手。这可以被看作是在更高维度上对Collary 6.5的弱模拟。定理6.8（[5,6]）。考虑一个有n种产品类型的拍卖，其中所有代理都有相同的凹形估值u:A→ 为了一点 锌。那么，这次拍卖的竞争对手对于任何一个c≥ N- 1.换句话说，在这种情况下，如果我们愿意将每个单位细分为n，竞争均衡就存在- 1件。无论需求类型如何，结果都是有效的。证据证据允许注意每个代理的需求复合体A的规则细分。对于J代理，总估值为U，正规子部门的每个单元uh是某些单元σ的形式σ+··+σ（J次）u、 因为u是凹的，convZ（σ）=σ。然后由Bruns–Gubeladze–Trung为任意整数c≥ N- 1，扩张c·σ对所有细胞σ都有IDP这意味着J·（c·σ）=convZ（J·c·σ）∩ 锌，根据需要。因此，U型企业具有竞争均衡。 产品组合拍卖和热带几何23这个定理不应该与（P）中的线性规划有一个有理解的说法相混淆。后者保证每个固定点∈ convZ（A），可以找到ca∈ N使固定拍卖在a点上具有竞争平衡。适用于所有a点∈ convZ（A），这表示对于适当的c*∈ N、 拍卖对c中的所有点都具有竞争均衡*· convZ（A）。然而，这个集合可以严格小于convZ（c）*· A） ，c*这是拍卖的一部分。因此，c*-固定拍卖可能没有竞争平衡。6.3. 高维定理6.4与Oda猜想。

将定理6.4或更温和的推论6.5推广到n维≥ 3.我们需要充分的条件来确保多面体具有IDP。不幸的是，除了一些有限的情况外，没有已知的简单标准。这个方向最著名的猜想是光滑多面体猜想。如果在每个顶点上，本原积分边方向是线性独立且单模的，则称为光滑的全维格多面体。这里的平滑度不是指“圆度”，而是指这种多面体定义的复曲面是平滑的。在单模变换中，在给定的维度中有许多光滑多面体，包含给定数量的晶格点，参见[4]。猜想6.9（光滑多面体猜想）。光滑多面体有IDP。在证明定理6.4时，我们依赖于[12，定理1]。它在高维上的对应物是Oda猜想，它推广了光滑多面体猜想。关于这个猜想的进一步讨论和最新进展，请参见[17]。猜想6.10（Oda猜想）。在任意维n中≥ 1，如果一个多面体是光滑的，并且它的正常扇形定义了Fj的正常扇形，那么等式（5）是正确的，J.我们根据下面的稳定拍卖重申Oda推测。对定理6.4的证明的明显修改表明这两个猜想是等价的。特别是，稳定产品混合拍卖中竞争均衡的任何其他充分条件都相当于较弱形式的Oda猜想。猜想6.11（关于稳定拍卖的Oda猜想）。假设总估值为U的productmix拍卖是稳定的，且规则细分中的每个最大面它很光滑。然后，产品组合拍卖具有竞争均衡。参考文献[1]伊丽莎白·鲍德温和保罗·克伦佩尔。热带几何学分析需求。

http://www.nuff.ox.ac.uk/users/klemperer/Tropical.pdf, 2012.[2] 伊丽莎白·鲍德温和保罗·克伦佩尔。理解偏好：“需求类型”，以及不可分割均衡的存在。http://www.nuff.ox.ac.uk/users/klemperer/demandtypes.pdf，2015.24 NGOC MAI TRAN和JOSEPHINE YU[3]寿司店Bikhchandani和John W.Mamer。不可分割交换经济中的竞争均衡。J.经济。《理论》，74（2）：385-4131997。[4] 特里斯特拉姆·博加特、克里斯蒂安·哈斯、米琳娜·赫林、本杰明·洛伦兹、本杰明·尼尔、安德烈亚斯帕·弗恩霍尔兹、亨特·罗特、弗朗西斯科·桑托斯和哈尔·申克。有限多个具有n个格点的光滑d-多面体。以色列J.数学。，207(1):301–329, 2015.[5] 温弗里德·布伦斯、约瑟夫·古贝拉泽和吴^o Vi^et Trung。正规多面体、三角剖分和Koszul代数。雷恩·安圭。数学485:123–160, 1997.[6] 大卫·A·考克斯、克里斯蒂安·哈斯、高由喜和东谷昭弘。扩张多面体的整数分解性质。电子J.组合。，21（4）：论文4.282014年第17期。[7] 弗拉基米尔·达尼洛夫、格莱布·科舍沃伊和卡佐·穆罗塔。商品和货币不可分割的离散凸性和均衡不经济。数学社会科学。，41(3):251–273, 2001.[8] 弗拉基米尔·I·达尼洛夫和格莱布·A·科舍沃伊。离散凸性和单模性。一、高级数学。，189(2):301–324, 2004.[9] Jes’us A.De Loera、J¨org Rambau和Francisco Santos。三角剖分——算法和应用结构，数学算法和计算第25卷。柏林，2010年。[10] Sven de Vries和Rakesh V.Vohra。组合拍卖：一项调查。通知J.Comput。，15(3):284–309, 2003.[11] Christian Haase、Takayuki Hibi和Diane Maclagan，编辑。小型研讨会：光滑复曲面变体的投影正态性，第4卷。奥伯沃尔法赫报告，2007年。[12] Christian Haase、Benjamin Nill、Andreas Paf enholz和Francisco Santos。

Minkowski和中的格点。电子J.组合。，15（1）：注11，5，2008年。[13] 本杰明·霍华德。边幺模多面体。在Christian Haase、Takayuki Hibi和DianeMaclagan中，编辑，迷你研讨会：光滑复曲面变体的投影正态性，第4卷，第2291-2293页。奥伯沃尔法赫报告，2007年。[14] 小亚历山大·S·凯尔索和文森特·P·克劳福德。工作匹配、联盟组建和grosssubstitutes。《计量经济学》，50（6）：1483-15041982。[15] 保罗·克伦佩雷。一种新的替代品拍卖：中央银行流动性拍卖，theU。以及可变产品组合拍卖。http://www.nuffield.ox.ac.uk/users/klemperer/substsauc_NonConfidentialVersion3.pdf, 2008.[16] 保罗·克伦佩雷。产品组合拍卖：针对不同商品的新拍卖设计。《欧洲经济协会杂志》，8（2-3）：526-5362010。[17] 米莎·拉索和马特乌斯·米切克。非常丰富的非正规多面体-结构和例子。实验数学，0（0）：1-82016。[18] 黛安·麦克拉根和伯纳德·斯特姆费尔斯。热带几何学导论，数学研究生课程第161卷。美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，2015年。[19] 木田和夫。离散凸分析。暹罗关于离散数学和应用的专著。工业和应用数学学会（暹罗），宾夕法尼亚州费城，2003年。[20] 亚历克斯·波斯特尼科夫、维克多·雷纳和劳伦·威廉姆斯。广义坡莫多面体的面。医生。数学13:207–273, 2008.[21]亚历山大·施里杰。线性和整数规划理论。威利跨科学系列不具体的数学。约翰·威利父子有限公司，奇切斯特，1986年。威利的跨学科出版物。[22]伯纳德·斯特姆费尔斯。关于结式的牛顿多面体。J

代数组合。，3(2):207–236,1994.产品组合拍卖和热带几何25德克萨斯大学奥斯汀分校数学系，德克萨斯州德克萨斯州78712，美国和豪斯道夫数学中心，波恩53115，德国电子邮件地址：ntran@math.utexas.eduSchool美国佐治亚州亚特兰大理工学院数学系，邮编30332电子邮件地址：jyu@math.gatech.edu