产品组合拍卖和热带几何

因为ujis凹面和(-p、 1）支撑D的提升*, 我们有（12）uj（eaj+vj）- p·（eaj+vj）≤ uj（eaj）- p·eaj相等的充要条件是eaj+vj∈ 杜杰（p）。对所有的j求和，我们得到（13）JXj=1uj（eaj+vj）- p·a*≤ U（ea）- p·ea。因此（14）U（ea）-欧盟（a）*)（9） =p·（ea）-A.*)(13)≤ U（ea）-JXj=1uj（eaj+vj）=JXj=1uj（eaj）- uj（eaj+vj）= c> x，其中x给出了将vj写成V列总和的系数；见（11）。（14）中的最后一个等式来自（8）中向量c的定义。在（10）和（14）中，对于某些可行的x，实现了相等∈ zn当且仅当（12）中每j=1，J.当且仅当*在（11）中，通过满足eaj+vj∈ Duj（p）表示一些p∈ S（a）*), 对于所有的j=1，J.但这是对*∈ 杜（p）。所以，假设（P）是可行的，等式出现在（10）中当且仅当U（a）*) =欧盟（a）*).  产品组合拍卖和热带几何证明。定理5.1的证明。考虑引理5.2。通过线性规划对偶，得到了x上线性规划（P）的最优值∈ RNis也是U（ea）-欧盟（a）*).如果（P）在x上可行∈ ZN，那么引理5.3意味着期望的陈述。如果（P）在x上不可行∈ 锌，然后是a*不在A中，因此不存在竞争均衡*, 线性规划和整数规划（P）不一致。因此，期望的陈述在这种情况下也成立。 推论5.4。定理5.1暗示了单模性定理。证据证据假设所有的赋值函数都是凹的，并且是单模的。那么任何一点bj∈ 可以从子分区的任何顶点EAJO到达AJujby沿着细分的原始边方向行走，因为方向集是单模块的。因此，在（D）和（P）中，我们可以从V和c中删除所有列，除了那些对应于细分的原始边方向的列。

然后我们得到了一个单模矩阵V，它给出了与之前相同的线性和整数规划的最优解。整数规划中的一个众所周知的结果表明，（P）总是有积分最优解（见[21，§19]），因此，根据定理5.1，A的所有点都存在竞争均衡*∈ 答：这正是单模性定理的困难方向。 5.2. 加权集合包装和凯利技巧。让我们确定一个供应捆绑a*假设0∈ aj对于每个j.考虑以下集合填充问题，其中j=1的决策变量为y（a，j），J和a∈ Aj。最大化ejxj=1Xa∈Ajy（a，j）uj（a）（15）受y（a，j）约束≥ 0表示所有j=1，J和a∈ Aj（16）Xa∈Ajy（a，j）=1表示所有j=1，J（17）JXj=1Xa∈Ajy（a，j）a=a*（18） 为了一捆∈ Zn，y（a，j）=1意味着我们将束a分配给代理j。约束（16）、（17）和（18）分别表示，每个代理j被分配一个负的束分数，它们接收的束的总质量为一，并且*项目一起分配给所有代理。目标（15）要求分配一项使总估值最大化的任务。提议5.5。{uj}的竞争均衡存在于*当且仅当（15）-（18）定义的线性规划存在一个整数可选解，即所有y（a，j）都是整数的最优解。16 NGOC MAI TRAN和JOSEPHINE Yufolf。证据根据定义（2），总估值U（a*) 是整数程序（15）的最佳值。对于j=1，…，LeteU是U的凹主，eujbe是ujj的凹主，J.注意（19）欧盟（a）*) = 最大值（JXj=1euj（aj）：aj∈ conv（Aj）和xj∈Jaj=a*).由于每个ujis都是凹的，因此uj=eujon每个Aj。因为conv（A）=conv（A）++conv（AJ），适用于任何a*∈ conv（A）∩ Z凹面马约兰图（a）*) 是线性规划的最佳值（15）。

竞争均衡的存在性*意思是你*) =欧盟（a）*), 我们有这个命题的陈述。 线性规划（15）-（18）可以用“凯利把戏”来重新表述，如下所示。Cayley系列的配置A，AJ zn是ZJ×zn中的点配置，由点cay（a，…，AJ）=（{e}×a）组成∪ · · · ∪ （{eJ}×AJ）。Cayley技巧表示，在Minkowski和a=Piaian的混合细分和Cayley配置Cay（a，…，AJ）的细分之间存在一个自然的双射[22]。有强大的理论和软件来理解后面的[9]，因此这个技巧经常被用来计算和理解混合细分。设C为矩阵，其列为Cay（A，…，AJ）中的点。Letu是估值uj（a）的向量，其条目自然对应于ofC列。那么（15）-（18）可以简单地表示为最大化u·y（20），受y的约束≥ 0和Cy=A.*（21）其中1是ZJ中的所有一个向量。也就是说，竞争均衡是一个使用Cayley配置定义的特殊优化问题，它与加权集装箱问题一致。定理5.1和命题5.5中的两个线性规划是看待竞争均衡的不同方法。根据问题的不同，一个公式可能更容易使用。为了说明这一点，假设竞争均衡存在于*. 假设我们想要找到一个价格p，它能以一个合理的价格提供竞争均衡*同时最大限度地提高卖方的利润率。从程序（D）和（P）的观点来看，需要最大化P·a*（22）根据V>p≤ c、 然而，形成V和c需要找到D的所有顶点ea*将它们的合成转化为顶点的和uj。在这种情况下，集合包装视图（15）-（18）给出了以下更有效的公式。

Bikhchandani和Mamer在[3]中研究了类似的问题。产品组合拍卖和热带几何17引理5.6。让（y）*（a，j）j=1，。。。，JA.∈aj可能是（15）的最优积分解。均衡价格∈ 使卖方利益最大化的是以下线性规划的解决方案：使p·a最大化*（23）根据uj（a）- p·a≥ uj（b）- p·b，对于每j=1，J、 每一天∈ 阿吉*（a，j）=1，且每b∈ a与a相邻uj。证据证据设F为线性规划在该问题中的可行解集。我们希望证明F=S（a*) = {p∈ Rn | a*∈ DU（p）}。如果p∈ F，然后{a∈ Aj | y*（a，j）=1} Duj（p），所以a*∈ 杜（p），辛恰*=Xaj∈Aj:y*（aj，j）=1aj∈JXj=1Duj（p）=DU（p）。这表明F S（a）*).现在假设p∈ S（a）*). 也就是说，有bj∈ Duj（p）使得*=PJj=1bj。对于每个j，让AJY成为AJY的唯一元素*（aj，j）=1。自从bj∈Duj（p），我们有uj（bj）- p·bj≥ uj（aj）- p·aj，安度（a）*) - p·a*=JXj=1uj（北京）- p·bj≥JXj=1uj（aj）- p·aj= U（a）*) - p·a*.这表明（7）中的所有不等式都是在相等条件下得到的，所以uj（bj）- p·bj=uj（aj）- p·aj代表所有j.因此aj∈ Duj（p）对于所有j，p是（23）的一个可行解。 5.3. 竞争均衡和子集和。我们对竞争均衡的各种表述导致了在给定点a上验证竞争均衡存在性的几种算法*. 没有进一步的假设，它们都涉及子集和问题，因此都是NP完全的。有不同层次的困难。首先，对于任意的bundle a*∈ Zn，正在验证*∈ A=PJj=1Ajis是一个子集和问题，即使只有一种类型的好（n=1）。其次，假设我们知道*∈ A.在命题5.5中，可以假设ujis凹，0∈ 每一个j。

然后，对于n=1，allagents具有单模需求类型，因此竞争均衡在n=1时通常成立。然而，对于n>1，单模性定理可能不适用。通过外稃3。2.竞争均衡*当且仅当U（a）时成立*) =~U（a）*) 其中U是总估值，~U是其主要值。计算U（a）*) 又是一个集合和问题。这在5.5号提案中有详细说明。知道*∈ 虽然线性规划（15）在R上有一个可行的实解，但这并不保证是一个积分解。18 NGOC MAI TRAN和JOSEPHINE Yu或者，假设我们知道一个价格p∈ 因此*∈ 杜（p）。由于个体估值{uj}是凹的，我们可以计算Duj（p）。然后可以建立Integer程序（P），其解决方案通过定理5保证竞争均衡。1.程序（P）询问一个人是否能写一个*a加上一组给定向量V的积分组合。这是子集和的又一个例子。假设*∈ A、 单模性定理将（15）和（P）中的子集和问题替换为一个有效且易于检查的条件（即一组向量的单模性），使竞争平衡保持在*.Baldwin和Klemperer[2，定理5.16]的子群指数定理给出了热带超曲面{Tuj}有横向相交时的一个替代判据。这意味着a的值uj（a）∈ a是非常普遍的，因此热带超曲面T（fuj）的所有截面局部看起来像是一个平面空间的横向交点。例如，可以通过向每个值uj（a）添加一个小实数来实现。假设知道面DU（p）及其分解为j=1时Duj（p）的Minkowski和，J、 横向相交意味着所有面Du（p），DuJ（p）是顶点，比如，对于j=n+1，…，DuJ（p）={aj}，J

这有效地降低了子集和问题的维数，从分解*转化为J项之和，最多为N项。参见[2]及其中关于该环境下竞争均衡的充分条件的讨论。从计算的角度来看，在某些给定条件下，横向交叉并不能保证竞争均衡*. 相反，它保证了对于固定n，可以在J.6中的时间多项式的所有点上联合检查竞争平衡。稳定拍卖和Oda猜想6。1.n=2的稳定拍卖和竞争均衡。考虑一个productmix拍卖，其中有J个代理和n个产品类型。让我们将代理划分为不相交的非空子集，并计算每个子集上的产品组合。这些子集拍卖的哪些性质将保证原始拍卖具有竞争均衡？这种分而治之的条件在理论上和计算上都很有吸引力。在本节中，我们给出了n=2时的有效条件（定理6.4）。高维中的类似陈述相当于复曲面几何中的Oda猜想，见第6.3节。假设所有的子集拍卖都有竞争均衡。这种条件显然不足以保证整体竞争均衡。例如，当每个子集只包含一个代理时，每个子集中竞争平衡的存在相当于个体估值是凹的。然而，也有产品组合拍卖，其个别估值呈凹形，但没有竞争均衡。与直觉相反，我们证明了子集拍卖中的个人竞争平衡甚至是不必要的。

也就是说，我们在OREM 6.4中的条件允许部分子集拍卖的竞争均衡失败，但它们保证联合拍卖具有竞争均衡。乘积混合拍卖和热带几何学定理6.4与[2]中的结果是互补的，后者侧重于热带超曲面的横向相交。在某种程度上，我们的设置尽可能远离横截面：该假设意味着一个子集试剂的热带超曲面包含其余试剂的并集。定义6.1（稳定拍卖）。考虑与J≥ 1个估值为凹型的代理，n≥ 1.产品类型。将代理划分为K≤ Jdisjoint，非空集合，并在每个集合上分别运行产品组合拍卖。设Uk为第k组代理的总估值，为1≤ K≤ K.如果第一个子集拍卖具有竞争均衡，我们称这种划分为稳定的，并且（24）T（fUk） T（fU）对于所有k=1，K.如果产品组合拍卖有一个稳定的分区，我们说它是稳定的。直观地说，稳定条件（24）表明，第一个子集拍卖“丰富”，足以捕捉到关于原始拍卖的许多信息。请注意，我们要求竞争均衡仅适用于第一次子集拍卖。对于其他子交易，允许竞争均衡失败。相反，我们通过（24）对它们的热带超曲面进行了限制。有两种方法可以解释这种情况。首先，根据引理3.1，T（fU）=J[J=1T（fuj）=K[K=1T（fUk）=T（f（U））。换句话说，假设一个人通过一次添加一个代理来迭代计算价格差异集合T（fU）。然后（24）意味着在处理第一个代理子集后，该集合不会改变。也就是说，差异价格的轨迹稳定，因此称为稳定拍卖。

稳定性的概念是关于热带超曲面的并集，不要与热带几何学中的稳定相交混淆。人们还可以理解（24）中的需求集DU，杜克。每种价格∈ R、 在这个价格下，我们可以计算每个子产品中需要多少产品捆绑包，忽略按常量倍数进行的缩放。引理6.3指出，如果对于所有价格p，这个数字在第一次子集拍卖后没有上升，那么（24）成立。现在，我们给出了条件（24）的一个简单有效条件。以下定义概括了基本边方向的概念。定义6.2。为了P 锌，P的原始多面体，表示P↓, 是最小的多面体Q吗 对于某些c，c·Q=P∈ 引理6.3。如果（25）|（DU（p））该陈述（24）为真↓| ≥ |（杜克（p））↓| 对于所有k=1，K.也就是说，无论价格是多少∈ R、 在第一次拍卖中，至少有和其他拍卖中一样多的原始商品。20 NGOC MAI TRAN和JOSEPHINE YUProof。证据注意，对于任何多面体P 锌，磷≥ |P↓| ≥ 1和| P↓| = 1 i且仅当| P |=1时。如果-P∈ T（福），然后| DUk（p）|≥ 2，so |（DUk（p））↓| ≥ 2.由（25），|DU（p）|≥ 2.因此-P∈ T（fU），so（24）成立。 定理6.4。对于n=2种产品类型，稳定的产品组合拍卖具有竞争平衡。证据证据考虑一个具有K子集的稳定划分。根据引理3.1，T（fU）=SKk=1T（fUk）=T（fU）。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们可以选择第一次拍卖，并假设所有剩余的拍卖都由一个代理组成。现在，让p是的顶点-T（fU）。通过引理3.2，充分证明了竞争均衡对convZDU（p）中的所有点都成立。由于每个估值都是凹的，通过引理3.3，我们需要证明（26）convZ（DU（p）+…+DUK（p））=convZ（DU（p））+。

+convZ（DUK（p））。As T（fU）=T（fU） T（fUk），DU（p）的正常风扇定义了所有k=1，[12]中的定理1精确地说明了这个正常的假设意味着（26）。证据到此结束。 推论6.5。对于n=2种产品类型，如果所有代理都有相同的凹形估值，则无论需求类型如何，所有相关供应捆绑都存在竞争均衡。下一个例子表明，产品组合拍卖可以是稳定的，即使某些代理人的子集不存在竞争均衡。例6。假设n=2，J=3。设A={（0,0）、（1,2）、（1,0）、（1,1）、（2,2）}，A={（0,0）、（1,0）}，A={（0,0）、（1,2）}。让估值u，u，ube分别为零，onA，A和A，和-∞ 在别处将代理划分为K=2组，第一组由代理1组成，第二组由代理2和3组成。这里D={（1，0），（1，2）}不是一个单模集，实际上，对于第二个子集拍卖，竞争均衡在（1，1）处失败。只有经纪人1参与的首次拍卖具有竞争平衡。可以验证（25）是否成立。根据定理6.4，所有三个代理人的拍卖具有竞争均衡。图4.6.2对此进行了验证。相同的赋值和整数分解属性。推论6.5的类似物在三种或三种以上的产品类型中失败。也就是说，对于n≥ 3.存在产品组合拍卖，其中所有代理都有相同的凹形估值，是的，竞争均衡失败。直接的后果是，与REM 6.4类似的产品在尺寸上出现故障≥ 3.提案6.6。为了n≥ 3.有拍卖o所有代理人都有相同的凹估值，并且o竞争均衡失败。特别是对于n≥ 3.存在没有竞争均衡的稳定拍卖。产品组合拍卖和热带几何21图4。

三个单独估值（左）和总估值（右）的常规细分。图伴随着示例6，其中一个稳定的产品组合拍卖具有竞争均衡，但对于一个子集的代理，竞争均衡几乎失败。证据证据对于n=3，有必要做一个明确的例子。考虑两个代理（J=2）和三种产品类型（n=3）。LetA:={（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,1,1）}。注意A=convZA。让我们来看看→ R是A上支持的任何函数，以及-∞ 在别处让这两个代理具有相同的估值u=u=u。在完全独立的情况下，对应的细分UI是微不足道的。设A=A+A={A+b:A∈ A、 b∈ A} 。A的顶点是四个点{（0,0,0），（2,2,0），（2,0,2），（0,2,2）}。让我们*= (1, 1, 1). 然后*=（0,0,0）+（2,2,0）+（2,0,2）+（0,2,2），所以*∈convZ（A）。然而*/∈ A、 因此，竞争均衡在一定程度上失败了*.  让我们考虑一下，在命题6.6的证明中，关于反例，单模性定理要说些什么。设D为A的本原边方向集。该集不是单模的：例如，在其他向量中，它包含（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），其在Z上的跨度不包含（1，1，1）。单模块性定理表示，从D开始，存在一些需求类型D的产品组合拍卖，无法达到竞争均衡。我们在证明中展示了这样一个例子。该理论并不意味着命题6.6证明中的特定案例必须失败。上面的例子是一个关于积分多面体的一般问题的例子。假设我们得到一个积分多面体P Rn，假设所有的J代理都有相同的估值，P为0∩ 兹南-∞ 其他的每个子集中有一个代理的平凡分区是稳定的。因此，我们的拍卖是稳定的。