具有负贴现率和随机变量的最优多次停止

更具体地说，如果b？k满足以下条件：（a）对于任何固定x<b？k、 函数g（k）（x，·）的上确界由g（k）（x，b？k）给出；（b） 对于任何固定的x≥ Bk、 函数g（k）（x，·）的上确界由φ（k）（x）给出。当k=1时，我们知道b？=十、如果后者是有限的。注意，对于一般的k≥ 2、最佳运动阈值b？可能不存在。下面的结果描述了x？坎德b？k、 当后者存在的时候。提议2.1。假设x？∈ （日志K，∞). 修正一个整数k∈ {2，··，n}，假设v（k）-1） （x）>v（k）-2） （x）对于所有x∈ R、 那[x？k-1.∞) 是（k）问题（2.6）的唯一最优停止区域-1） 锻炼机会。然后我们有（i）v（k）（x）>v（k）-1） （x）对于所有x∈ R（ii）x？K∈ （logk，x？），如果b？kexists，我们也有b？K>logk；（iii）如果b？kexists和过程（e-αtg（k）（x，b？k））t≥0是a（Px，F）-超马氏体，那么x？k=b？kand[x？k，∞) 是唯一的最佳停车区域。因此，上交叉时间τ+x？kis最佳。备注2.1。命题2.1意味着，每个值函数都可以通过首先优化logk以上的所有候选阈值上的预期值，然后验证超级鞅属性来确定。因此，就最优阈值而言，我们可以有效地去除支付函数φ（x）中的+符号。根据命题2.1，我们得出结论[x？k，∞) 是唯一的最佳停止区域，以及每个最佳运动阈值b？k=x？kexists，且其上以x？为界？。我们现在证明，如果[x？k，∞) 是所有1的唯一连接的最佳停止区域≤ K≤ 我想买一些∈{1，··，n}，然后（x？k）1≤K≤lis在k中不增加。为了证明这一点，我们首先证明了过程v（k-1） t:=e-αtv（k）-1） （Xt）- v（k）-2） （Xt）, T≥ 0，对于任何固定的k来说都是一个超级艺术家∈ {2，···，l+1}。提议2.2。

假设是x？∈ （日志K，∞) 而[x？k，∞) 是所有车辆的唯一连接最佳停车区域1≤ K≤ 我想买一些∈ {2，··，n- 1} 然后是最佳运动阈值（x？k）1的顺序≤K≤l+1在k中不增加，即对数k<x？l+1≤ 十、L≤ · · · ≤ 十、以及过程（V（k-1） t）t≥0是任何2的（Px，F）-类（D）[24，第3章]的超鞅≤ K≤ l+1。命题2.2告诉我们，如果阈值型策略对于问题（2.6）来说是最优的，那么所有1人都有k个锻炼机会≤ K≤ l、 然后最佳运动阈值（x？k）为1≤K≤因此，即使对于有l+1锻炼机会的问题（2.6），阈值型策略不是最优的，最优停止区域也应该包含[x？l，∞). 此外，对于任何数量的剩余行权机会，行权高于执行价始终是最佳选择。3分析结果在本节中，我们假设X是一个谱负的L’evy过程，它不是从属函数的负，或者是一个具有任意负跳跃分布和正相位型跳跃分布的L’evy过程[3]：Xt- X=Jt+NtXn=1Zn，0≤ t<∞. （3.13）这里，（Jt）t≥0是一个带或不带布朗运动分量（Nt）t的谱负L′evy过程≥0是到达率ρ的aPoisson过程，Z=（Zn）n=1,2，·是一个相位型分布随机变量的i.i.d.序列，表示为（d，α，T）。此外，J和Z是相互独立的。关于这一过程及其在美式和俄式期权中的应用的全面研究，请参考[3]。回想一下，如果R+上的分布是由一个吸收状态和d组成的有限状态连续时间马尔可夫链中的吸收时间分布，则R+上的分布是相位型的∈ N瞬态。

因此，任何相位类型分布都可以用d、所有瞬态T上的d×d跃迁强度矩阵和马尔可夫链α的初始分布来表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设正相位型跳跃分布用d相位最小表示。从[3]中，这保证了具有正实部的拉普拉斯指数ψ的奇异性是T的特征值。此外，根据[25]第58页的定理5b，我们知道（2.2）中定义的β是ψ和limβ的最小正极↑βψ(β) = ∞. 此后，我们将实施以下技术条件。假设3.1。拉普拉斯指数ψ和贴现率α满足（i）ψ（1）<α，或（ii）ψ（1）=α<0和ψ（1）<0。在这些条件下，我们将在下面的引理中证明，（2.6）中的最优停止问题对于每一个1都是好的≤ K≤ n在满足假设2.1中的可积条件的意义上。此外，折扣价格过程（e-αt+Xt）t≥P下的0必须是一个超鞅，而不是当α≥ 0[23，定理1]。如果无效，则排除了永久等待的琐碎优化策略。引理3.1。假设3.1意味着假设2.1。我们在附录a.6中提供了详细的证据。接下来是一个α∈ R、 我们将Φ（α）定义为ψ（β）=α的最大正根，如果存在，它是一个小于β的实数。注意，假设3.1和β>1意味着Φ（α）存在，Φ（α）>1和ψ（Φ（α））≥ 0.我们用iα={ρi，α：ψ（ρi，α）=α，<ρi，α来表示具有正实部的有限根集≥ Φ(α)}1≤我≤|Iα|，（3.14），其中，为了数学上的方便，我们假设给定α的根都是不同的∈ R.得出ρ1，α=Φ（α）<β和<ρi，α≥ 尽管我≥ 2.此外，我们注意到| Iα|=d或d+1根据-J是否为从属[3，引理1]。

我们标记ρi，α的方式是（<ρi，α，=ρi，α）按升序（这里=z是任何复数z的虚部）。同样，我们定义了第二组具有正实部的根，其标记方式与Iα：J:={ηJ:ψ（ηJ）=0，<ηJ>0}1的元素相同≤J≤|J |，（3.15），其中多个根分别计算。注意，我们有β=η∈ J和| J |=d.备注3.1。如果X是一个谱负的L′evy过程，即| J |=0，那么，根据我们的假设-X不是一个算符，我们有Iα={Φ（α）}和| Iα|=1。修正α≥ 0.设eα是一个指数随机变量，其速率参数α与X无关。我们遵循e=∞, P-a.s.那么，从[3]的引理1可知，Xeα的拉普拉斯变换：=sup0≤T≤eαx由ψ+α（β）给出：=e[e-βXeα]=|Iα| Yi=1ρI，αρI，α+β| J | Yj=11+βηj= ψ+α(∞) +|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+β，β ≥ 0，（3.16）带ψ+α(∞) = limβ→∞ψ+α（β），以及部分分数系数：Ai:=|Iα| Yj=1j6=Iρj，αρj，α- ρi，α| J | Yj=1ηJ- ρi，αηj.（3.17）因此，Xeα的分布由以下公式给出：P（Xeα∈ dx）=Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，αxdx，x>0。（3.18）备注3.2。如[3，备注4]中所述，为方便起见，假设根不同。当存在多个根时，相应的分布P（Xeα∈ dx）将采用类似于（3.18）的形式，并具有不同的恒定系数。此外，多根的情况只发生在αoverR的最多可数个值上。

换言之，如果任意设置γ和r的值，则结果具有多个根的概率为零。在下一小节中，我们推导了满足假设3.1.3.1的任何贴现率α的单次停止问题的值函数和最优执行阈值，前提是ψ（1）<α和α≥ 0，那么从[23]的定理1可知，对于执行价格K>0的美式呼叫，最佳停止时间由τ？=inf{t≥ 0:Xt≥ log（Kψ+α）(-1） ）），美式看涨期权的价值由以下公式得出：Exhe-ατ?φ（Xτ？）11{τ?<∞}i=K | iα| Xi=1[Kψ+α(-1)]-ρi，αeρi，αxAiρi，α- 1、（3.19）中定义了人工智能（3.17）。对于α<0的情况，可以使用（3.14）中的集合Iα和（3.15）中的集合J来计算（3.19）中的类似预期，我们将在下面的命题3.1中证明这一点。为了解决贴现率为负（α<0）的情况，我们的主要步骤之一是应用测量值的变化。对于κ∈ [0，β），我们定义了一个新的概率测度Pκx~ PxbydPκxdPxFt=exp（κ（Xt- 十）- ψ（κ）t），t≥ 0.（3.20）那么，对于β>-κ、 X的拉普拉斯指数由[18，定理3.9]ψκ（β）给出：=κσ- c+Z(-1,1）z（eκz- 1） π（dz）β+σβ+Z(-∞,∞)（eβz）- 1.- βz1{| z |<1}）eκz∏（dz）。在新的概率测度Pκ下，该过程也是一个具有负跳跃分布和正相型分布的L′evy过程，具有一个新的标度L′evy测度∏κ（du）：=eκu∏（du）。提议3.1。我们扩展了α的定义（3.16）≤ 0并定义函数ψ+α（β）和部分分数系数（Ai≡ A（ρi，α））1≤我≤|Iα|使用ψ+α（β）：=|Iα| Yi=1ρI，αρI，α+β| J | Yj=11+βηj≡ ψ+α(∞) +|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+β，β ∈ C.（3.21）然后对于任何固定的b>x和β≥ 我们有E-ατ+b-β（Xτ+b）-b） {τ+b<∞}=ψ+α（β）|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+βe-ρi，α（b）-x） 。（3.22）利用命题3.1，我们可以计算任何阈值型策略τ+b的预期收益。

根据定理5b-onp。[25]中的58，我们可以将（3.22）两边的β扩展为复数，只要<β>-ρ1,α. 特别是，通过设置β=-1, 0 > -ρ1，α在（3.22）中，我们得到以下结果。推论3.1。为了所有的b≥ 对数K和b>x（因此φ（xτ+b）=eXτ+b- 关于{τ+b<∞}), 我们有g（1）（x，b）=Exhe-ατ+bφ（Xτ+b）11{τ+b<∞}i=ψ+α(-1） ·| Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）ρi，αρi，α- 1eb- Kψ+α(-1). （3.23）由于我们已经知道，当k=1时，最佳停止时间是阈值类型的，因此通过优化运动阈值b，我们可以很容易地获得单次停止问题的值函数的解析表达式。定理3.1。单次停止问题的最佳运动阈值由x？：=log（Kψ+α）(-1） 相应的值函数由v（1）（x）=g（1）（x，x？）给出=（φ（x），x≥ 十、K·P | Iα| I=1[Kψ+α(-1)]-ρi，αeρi，αxAiρi，α-1，x<x？，（3.24）其中函数g（1）（·，·）在（2.8）中定义。备注3.3。最近，蔡和孙[7]考虑了一个超指数跳跃扩散模型下的单股贷款问题，并给出了永久单停问题的解析解。相比之下，我们的定理3.1适用于（3.13）和假设3.1中描述的更一般的L'evy模型。备注3.4。如果X是一个光谱负的L’evy过程，那么（3.24）可以简化为v（1）（X）=φ（x），x≥ 十、φ（x？）E-Φ（α）（x？-x） ，x<x？，（3.25）其中x？=log（Kψ+α）(-1） ψ+α（β）=Φ（α）Φ（α）+β。注意，Ex[e]-ατ+b]=e-Φ（α）（b）-x） 对于所有x<b.3.2最优多次停止问题，在本小节中，我们描述了使g（k）（x，·）最大化的最佳运动阈值。首先，回想命题3.1，对于所有x<b，以及给定的α∈ R和β≥ 0，前E-ατ+b-β（Xτ+b）-b） {τ+b<∞}=ψ+α（β）|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+βe-ρi，α（b）-x） 。（3.26）Xτ+b的分布可以通过反拉普拉斯变换从（3.26）中检索出来。

为此，让我们介绍一下φ∞:= limβ→∞βψ+α(β) =Q | Iα| I=1ρI，αQ | J | J=1ηJ>0，如果-J不是下属∞, 其他的然后[0]上存在一个唯一的（可能是有符号的）度量，∞), ν（dy），这样z[0，∞)E-βyν（dy）=ψ+α（β）-βφ∞, β ≥ 0.（3.27）备注3.5。如果我们假设J中的元素都是不同的，那么我们有，ν（dy）=（P | Iα| I=1ρI，α-P | J | J=1ηJ）φ∞{y=0}+P | J | J=1ψ+α(-ηj）e-ηjydy，如果-J不是一个从属ψ+α(∞){y=0}+P | J | J=1ψ+α(-ηj）e-ηjydy，否则，Y≥ 例如，当向上跳跃为超指数时，情况就是这样。此外，我们在[0]上定义了一个度量，∞) 每1个≤ 我≤ |Iα|：：νI（dy）：=ρI，αφ∞{y=0}+ρi，αe-ρi，αy-ρi，αφ∞+Z[0，y）eρi，αZν（dz）迪，Y≥ 0.（3.28）那么就可以很容易地验证z[0，∞)E-βy′νi（dy）=ρi，αρi，α+βψ+α（β），β ≥ 0, 1 ≤ 我≤ |Iα|。（3.29）由于（3.26）和（3.29），我们有E-ατ+b{Xτ+b=b}{τ+b<∞}=φ∞|Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-x） ，（3.30）ExE-ατ+b{Xτ+b-B∈dy}{τ+b<∞}=|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-x） νi（dy），y>0。（3.31）方程（3.30）和（3.31）可用于计算Ex[e-α（τ+b+δ）v（k）（Xτ+b+δ）]。为此，设Y在P下具有与Xδ相同的分布，但与Fτ+b无关。然后，对于所有X<b，Exhe-α（τ+b+δ）v（k）（Xτ+b+δ）11{τ+b<∞}i=|iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）Z[0，∞)E[E]-αδv（k）（b+Y+Y）]νi（dy）=|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）ρi，αφ∞E【E】-αδv（k）（b+Y）]+Z（b，∞)E[E]-αδv（k）（u+Y）]νi(-b+du）. （3.32）从推论2.1中回想E[E]-αδv（k）（b+Y）]对于所有b都是可微的∈ 因此，最佳运动阈值b？KC的特点是一阶条件：b | b=b？对于任何x<b的情况，kg（k）（x，b）=0？k、 在这一小节的剩余部分中，我们将归纳地证明，如果阈值策略对于问题（2.6）是最优的，且最大为k- 1锻炼机会，对一些人来说∈ {2，···，n}，那么存在唯一的最佳运动阈值b？kfor问题（2.6）与k锻炼机会。

表明阈值型策略τ+b？kis确实是T中所有F停止时间的最佳值，我们进一步证明了过程（e-αtg（k）（Xt，b？k））t≥0是一个超级艺术家。最后，根据第3.1节中k=1的结果，数学归纳法随后将得出最佳运动阈值b？的存在性和唯一性？k、 阈值型策略τ+b的最优性？k、 尽管如此，k∈ {2，···，n}。为了便于以后的计算，我们定义了所有1≤ K≤ n thatu（k）（x）：=v（k）+（x）φ∞-Z[0，∞)v（k）（x+y）ν（dy），（3.33），其中v（k）+是v（k）的右导数。特别是，当k=1时，我们可以使用（3.24）和（3.33）（参见下面用v（1）（x）=g（1）（x，x？）证明命题3.3）和v（0）（x）≡ u（0）（x）≡ 0）获得：u（1）（x）=ex？- exψ+α(-1） {x≥x？}。（3.34）注意，u（1）在R上是连续的、非正的、非递增的，并且在[x？]上严格递减？，∞).以下结果描述了最佳运动阈值b的一阶条件？k、 提议3.2。如果有固定的k∈ {2，···，n}，阈值型策略τ+x？K-1对于（2.6）和（k- 1） 锻炼机会，v（k）-1） （x）>v（k）-2） （x）对于所有x∈ R、 函数u（k）-1） （x）在R上是连续的，那么方程中至少存在一个解bk>logk:~uk（bk）=0，其中~u（K）（x）：=ex？- exψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （x+xδ）]，十、∈ R.（3.35）此外，如果最佳运动阈值b？kexists，它满足（3.35）。在下一个结果中，我们建立了函数u（k）的单调性，以及（3.35）的解的唯一性。提议3.3。在命题3.2的假设下，进一步假设函数u（k-1） （x）是一个非递增函数。设bk为（3.35）的任意解，且定义u（k）（x）：=φ∞+xg（k）（x，bk）-Z[0，∞)g（k）（x+y，bk）ν（dy），（3.36）其中+xis是右偏导数算子。

那么，~u（k）在R上是连续的、非正的、非递增的。此外，它可以表示为~u（k）（x）=11{x≥bk}u（k）（x）。（3.37）我们现在证明了最佳运动阈值b的存在性和唯一性？k、 引理3.2。在命题3.3的条件下，（3.35）有一个唯一的解，这个解就是最佳运动阈值b？k、 因此，命题3.2适用，最佳运动阈值b？kis由（3.35）唯一确定。接下来，我们证明了过程（e）的超鞅性质-αtg（k）（Xt，b？k））t≥为了证明问题（2.6）的最佳停止区域是单边的，因此b？k=x？kyields最优停车时间τ+x？k、 主要工具是通过对Xeq函数的期望来重新表达阈值类型策略g（k）（x，b？k）的值（类似的解决方法见[1]）。我们从k=1的情况开始。从命题3.1的证明中可以很容易地看出，v（1）（x）=g（1）（x，x？）=林克↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-u（1）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。（3.38）我们使用（3.38）初始化诱导步骤。提议3.4。在命题3.3的条件下，进一步假设v（k-1） （x）=g（k）-1） （x，x？k）-1） =limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-u（k）-1） （x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。（3.39）那么我们有g（k）（x，b？k）=limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]，（3.40），其中函数u（k）在（3.36）中定义。此外，过程（e-αtg（k）（Xt，b？k））t≥0是一个超级艺术家。总之，我们将数学归纳法应用于命题2.1、2.2、3.2、3.3和3.4以及引理3.2，以得到以下结果。定理3.2。每k∈ {1，···，n}，最优停车问题（2.6）由上交时间τ+x？k、 x在哪里？kis是（3.35）的唯一解决方案，满足对数K<x？N≤ 十、N-1.≤ · · · ≤ 十、值函数由v（k）（x）=g（k）（x，x？k）给出，可以用上面的（3.40）表示。

此外，值函数的顺序如下：0<v（1）（x）<v（2）（x）<···<v（n）（x），十、∈ R.4数值例子在本节中，我们根据分析结果给出数值例子。我们特别说明了最佳阈值对折射时间分布的敏感性。数字实现通常是一个挑战。它涉及对期望值的评估E-αδv（k）-1） （Xδ）而随机变量Xδ的分布通常不是明确的，甚至是未知的。正如[27]中所使用的，蒙特卡罗模拟是最具前瞻性的方法。然而，除非k是一个非常小的数字，否则它是不实用的。对于折射多重停止问题，需要知道整个预期的未来收益函数来执行反向引导。模拟方法需要计算每个步骤的任意多个起点的这些期望值，这增加了计算负担并限制了其适用性。特别是，我们问题的支付函数是无界的（并且呈指数增长）；模拟方法下需要的截断将产生不可忽略的误差，随着k的增加，误差将进一步放大。对于我们的数值例子，我们假设δ是Erlang分布的（即i.i.d.指数随机变量之和），并使用我们的separatepaper[20]中描述的方法数值求解最佳运动阈值。该方法利用预解测度（或X在独立指数随机时间上的分布），并重复和解析地执行关于该测度的积分。结果值函数显示为分段解析形式。