具有负贴现率和随机变量的最优多次停止

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英文标题：
《Optimal Multiple Stopping with Negative Discount Rate and Random
  Refraction Times under Levy Models》
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作者：
Tim Leung and Kazutoshi Yamazaki and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies a class of optimal multiple stopping problems driven by L\\\'evy processes. Our model allows for a negative effective discount rate, which arises in a number of financial applications, including stock loans and real options, where the strike price can potentially grow at a higher rate than the original discount factor. Moreover, successive exercise opportunities are separated by i.i.d. random refraction times. Under a wide class of two-sided L\\\'evy models with a general random refraction time, we rigorously show that the optimal strategy to exercise successive call options is uniquely characterized by a sequence of up-crossing times. The corresponding optimal thresholds are determined explicitly in the single stopping case and recursively in the multiple stopping case.
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中文摘要：
本文研究了一类由Léevy过程驱动的最优多重停止问题。我们的模型允许负的有效贴现率，这在许多金融应用中都会出现，包括股票贷款和实物期权，其中执行价格的增长率可能高于原始贴现率。此外，连续的锻炼机会由i.i.d.随机折射时间分隔。在具有一般随机折射时间的一类广泛的双边Léevy模型下，我们严格地证明了行使连续看涨期权的最优策略的唯一特征是一系列上交时间。相应的最佳阈值在单次停止情况下显式确定，在多次停止情况下递归确定。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Multiple_Stopping_with_Negative_Discount_Rate_and_Random_Refraction_Time.pdf (507.86 KB)

2022-5-8 06:18:24 上传

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关键词：随机变量 贴现率 Mathematical Applications Quantitative

L’evy模型下具有负贴现率和随机折射时间的最优多次停止*本文研究了一类由L’evy过程驱动的最优多重停止问题。我们的模型允许负的有效贴现率，这在许多金融应用中都会出现，包括股票贷款和实物期权，其中执行价格的增长率可能高于原始贴现率。此外，连续的锻炼机会由i.i.d.时间分隔。在具有一般随机折射时间的一类广泛的双边L’evy模型下，我们严格地证明了行使连续看涨期权的最优策略的唯一特征是一系列上交时间。相应的最佳阈值在单次停止情况下显式确定，在多次停止情况下递归确定。关键词：最优多次停车；负贴现率；随机折射时间；列维过程；股票loanJEL分类：G32、D81、C61数学学科分类（2010）：60G40、60J751简介我们研究一类由潜在的L’evy过程驱动的最优多重停止问题。我们模型的两个关键特征是：（i）贴现率可以是负的或正的，以及（ii）允许的停止时间序列由i.i.d.随机折射周期分离。负有效贴现率与许多金融应用有关。例如，夏和周[26]提出了股票贷款的估值模型，其中贷款利率高于无风险利率。因此，股票贷款可以被视为一种有效贴现率为负的美式看涨期权。

实物期权文献[15,21]中的一个例子是，投资成本的增长率高于企业的贴现率。此外，根据Black[6]及其参考文献，虽然名义短期利率不能为负，但实际利率可能为负，特别是在低收益率制度下。因此，将贴现率扩展到负域还可以评估实际利率下的现金流。在上述申请中，同一期权可以在未来重复行使，这意味着投资者可以获得一系列股票贷款，或者企业可以随着时间的推移进行顺序投资。这促使我们在分析中加入多个停止机会。通常用于能源输送的摆动期权的定价也具有折射周期和多次行使的特点。例如，Carmona和Touzi[9]在几何布朗运动模型下，将摆动看跌期权的估值表述为具有恒定折射周期的最优多重停止问题。在一项相关研究中，Zeghal和Mnif[27]在基本列维价格过程没有负跳的情况下，对永久性美国摇摆看跌期权进行估值。它们为相关的最优多重停车问题提供了数学描述和数值解。相比之下，我们认为*美国纽约哥伦比亚大学IEOR系。电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+日本大阪关西大学数学系。电子邮件：kyamazak@kansai-u、 ac.jp.美国纽约哥伦比亚大学统计系。电子邮件：hzhang@stat.columbia.edu.exercises正贴现率和负贴现率下具有随机折射时间的摆动看涨期权。

我们还对双边L’evy模型下的最优多重停止问题进行了严格的分析。在一大类具有一般随机折射时间的双边L′evy模型下，我们证明了多个永久看涨期权的最优行使具有非递增的行使阈值序列（见下文第2.2条和定理3.2）。相应的最佳阈值在单停止情况下显式确定，在多停止情况下递归确定。我们的结果将夏和周[26]以及蔡和孙[7]的股票贷款模型从他们的单一股票贷款扩展到序列股票贷款，并从几何布朗运动[26]和双指数跳跃扩散[7]模型扩展到我们论文中的一类一般双边L’evy过程。因此，对折射时间和潜在的L’evy过程的最小假设阻止使用适合分析和计算的模型/分布特性。我们通过拉普拉斯变换、测度变换、鞅理论以及其他分析技术克服了这一挑战。我们的分析允许递归计算最优值函数以及所有运动阈值，从而为多运动选项的现有文献中常见的模拟方法提供了一种替代方法（参见[5,22]等）。我们还研究了折射时间分布对最佳运动阈值的影响。在我们的模型中，连续锻炼机会之间的随机折射时间也可以解释为连续随机的结果。为此，Kyprianou和Pistorius[17]应用L’evyprocess的波动理论来研究衍生品定价的到期随机化（Canadization）方法。随机化程序将有限的到期选择权转变为永久的到期选择权。

Avram等人[4]考虑了光谱负L’evy过程的一些退出问题，并将其应用于随机成熟度的俄罗斯期权估值。相比之下，我们考虑了多重行使权的问题，考虑到负贴现率，以及潜在的列维过程的负和正跳跃。Christensen和Lempa[11]最近的工作讨论了一个由i.i.d.指数折射周期的强马尔可夫过程驱动的最优多重停止问题。Christensen等人[12]的另一项相关工作是研究具有随机等待时间的最优多次停车问题，该问题是一系列单次停车问题。它们为永久看跌期权的问题提供了一个明确的解决方案，根据该方案，连续的练习会被几何布朗运动的首次通过时间折射。与他们的工作相比，我们的模型不仅考虑了负贴现率和一般的随机折射时间，而且还通过一个L’evy过程将潜在过程中的跳跃与任何分布的正相位型跳跃和负跳跃结合起来。如[3]中所讨论的，具有相位型跳变的L’evy过程能够逼近一类一般的L’evy过程。在这里，主要的主题挑战是在给定最小的跳跃和屈光时间分布结构的情况下，确定最佳运动策略的特征。当前的论文也与越来越多涉及顺序计时决策的金融应用有关。示例包括多个行使期权[8,22]、员工股票期权组合[11,16,19]、顺序基础设施投资[10,13]以及重新加载和暂停期权[14]。

由于其中一些应用还涉及一系列永久看涨期权，因此我们的分析直接适用于负利率贴现。让我们来概述一下这篇论文。在第二节中，我们建立了最优多重停止问题，并给出了一些一般的数学性质。在第三节中，我们分析了双边L’evy过程引起的单停和多停问题。第4节讨论了数值实现，并提供了一些示例。第五部分总结全文。我们的证据是论文的重要组成部分，包含在附录中。2问题公式和一般性质在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）主持一个L’evy进程X=（Xt）t≥0由其拉普拉斯指数ψ（β）唯一表征：=logeeβX= cβ+σβ+Z(-∞,∞)（eβz）- 1.- βz1{z |<1}）π（dz），（2.1）对于每个β∈ C使得0≤ <β<β（z的实部小于z∈ C） 其中β：=sup{β∈ R:E[EβX]<∞}, （2.2）对于某些c∈ R、 σ≥ 0，以及一个度量∏及其支持向量R\\{0}，这样z(-∞,∞)(1 ∧ z） ∏（dz）<∞. （2.3）我们认为，通过解析延拓，拉普拉斯指数ψ可以扩展到<β=β的线之外。自始至终，我们假设β>1-X不是从属关系。我们将px表示为概率，exa表示初始值为X=X的期望值∈ R.当X=0时，我们在px和Ex中删除下标。设F:=（Ft）t≥0是由X产生的自然过滤。基础价格过程由指数L’evy过程St:=eXt，t建模≥ 0.现在我们来描述我们的最佳多次停止问题，在连续练习之间有一个折射周期。在一般情况下，我们可以将折射周期δ作为确定性常数或正随机变量。

我们将在整篇论文中假设随机变量Xδ的分布没有原子。用T表示F停止时间的集合。然而，纳入随机折射时间要求我们扩大过滤。对于任何正随机变量的集合，我们将F（Ξ）表示为最小的过滤，使得所有Ξ的成员都是停止时间（见[12]）。对于每个固定的n≥ 1.我们引入了运动时间的可容许序列集：T（n）：={~τ=（τn，···，τ）：τn∈ T，τiis an F（{τj+δj}nj=i+1）–停止时间和τi+1+δi+1≤ τi，i=n- 1，···，1}，其中δi’s是一些正值随机变量δ的i.i.d.副本，它们独立于L′evy过程X。当剩下i个锻炼机会时，停止时间τ是允许的锻炼时间。特别是，τ是第一次锻炼时间，τ是最后一次锻炼时间。在整个过程中，我们将使用奖励函数φ（x）：=（ex- K） +,，十、∈ R、 我们称K>0为执行价。和n≥ 1.运动机会，最佳停止问题定义为v（n）（x）：=sup~τ∈T（n）Ex“nXi=1e-ατiφ（Xτi）11{τi<∞}#, 十、∈ R.（2.4）我们施加了一个长期的技术可积性条件，以确保问题得到很好的定义。假设2.1。存在一个常数%>1，使得L’evy过程X满足sup0≤t<∞E-αtφ（Xt）%< ∞, 十、∈ R.（2.5）在第3节中，我们将在假设3.1中提供关于α的条件，以便该可积性条件成立。我们的模型的一个关键特征是，常数参数α可以被视为正/负，代表一个收缩/收缩因子。在夏和周[26]提出的股票贷款模型中，当银行收取的利率γ高于利率r时，就会产生负的有效贴现率。为了了解这一点，我们考虑一个投资者，他从一家银行借了K，使用股票S的一部分作为抵押品。

借款人有权随时通过支付应计本金赎回股票≥ 0.因此，我们将预期的贴现支付额写入-rτ（Sτ）- eγτK）+]=Ex[e-（r）-γ） τ（~Sτ）- K） 对于τ，+]∈ T，其中α=r- γ<0且Sτ=e-γτSτ。在不同类别的应用中，当投资成本K以高于企业贴现率r的速率γ增长时，负有效贴现率也与实物期权行使时间有关。为了解决最优多次停止问题（2.4），我们将建立其等价于以下最优单次停止问题的递推：v（K）（x）：=supτ∈特克斯-ατφ（k）（Xτ）11{τ<∞}式中φ（k）（x）：=φ（x）+Exhe-αδv（k）-1） （Xδ）i，k=1，2，··，n，（2.7）和v（0）（X）：=0。为此，我们首先给出了每k值函数v（k）的一些有用性质∈{1，···，n}。引理2.1。对于每个整数k∈ {1，··，n}和所有s∈ R+：=（0，∞), 函数U（k）（s）：=v（k）（logs）是非递减的凸函数，因此在R+上几乎处处可微。由于凸性和单调性，我们得到了k=1的连续fit点的存在性和唯一性。更具体地说，使用[26]中推论3.1的证明中的参数，我们知道存在alevel x？∈ （日志K，∞] 使得v（1）（x）=φ（x）>0当且仅当x≥ 十、请注意，我们可以在不损失一般性的情况下排除x的可能性？≤ 记录K（用钱锻炼）。对于任何b∈ R、 我们用τ+b表示首次交叉时间τ+b=inf{t≥ 0:Xt≥ b} 。在本文中，我们定义了inf := ∞. 此外，每k∈ {1，···，n}，我们定义了阈值策略τ+b的贴现收益值∈ asg（k）（x，b）：=Exhe-ατ+bφ（k）（Xτ+b）11{τ+b<∞}我十、∈ R

（2.8）当x∞, 我们知道k=1的辅助问题（2.6）的值函数由v（1）（x）=g（1）（x，x？）给出，十、∈ R.什么时候x？=∞, 这个问题很简单，值函数v（1）（x）由τ+Mby取M任意大时的期望值来近似。我们现在假设前者，并给出充分条件，以便类似的结果适用于k的问题（2.6）∈ {2，···，n}。为此，我们对[9]引理3.2的证明中的论点进行了调整，以得到以下结果。引理2.2。假设x？∈ （日志K，∞). 然后每1≤ K≤ n和所有x∈ [x？]？，∞), 我们有φ（k）（x）=v（k）（x）。引理2.2意味着随着s的增加，U（k）（s）最终将持续fitφ（k）（logs）。通过U（k）（s）的凸性≡ v（k）（logs）和φ（k）（logs），我们知道U（k）（s）几乎处处都是从上到下的边界∈R+sφ（k）（对数s）. 反过来，我们推导出E[E]-αδv（k）（x+xδ）]在R上的x上是可微的，因为xδ的分布在v（k）不可微的（最多）可数点上没有正测度。推论2.1。假设x？∈ （日志K，∞) 和E[E]-αδ+Xδ]≤ 1.对于每个整数k∈ {1，···，n}，我们有0≤v（k）（x）≤ kex，a.e.和0≤xE[e-αδv（k）（x+xδ）]=E[E-αδv（k）（x+xδ）]≤ 凯克斯，十、∈ R.我们现在建立（2.4）和（2.6）之间的等价关系。让我们首先递归地定义停止时间τ？n:=inf{t≥ 0:v（n）（Xt）=φ（n）（Xt）}，（2.9）τ？i:=inf{t≥ δi+1+τ？i+1:v（i）（Xt）=φ（i）（Xt）}，对于i=n- 1, · · · , 1. （2.10）我们在下面展示（τ？n，·τ？）∈ T（n）求解最优多重停车问题（2.4）和（2.6）-（2.7）。定理2.1。假设x？∈ （日志K，∞). 修正一个k∈ {1，··，n}，然后停止时间（τ？i）1≤我≤（2.9）-（2.10）中定义的kde满足Px（τ？i<∞, 1.≤ 我≤ k） >0，代表所有x∈ R

此外，（i）辅助问题的值函数，v（k）of（2.6），满足v（k）（x）=Ex“kXi=1e-ατ?iφ（Xτ？i）11{τ？i<∞}#, 十、∈ R（2.11）（ii）（2.6）中的值函数v（k）（x）等于（2.4）中每x的v（k）（x）∈ R（iii）对于每个初始值X=X∈ R、 集合中的所有随机变量（k）：={e-ατv（k）（Xτ）：τ是a.s.有限F-停止时间}一致有界于L%（dPx）。现在我们回到最优多重停车问题（2.6）-（2.7）。从引理2.2我们知道，如果x？∈（日志K，∞), 那么每一个k∈ {2，···，n}，我们可以定义一个有限的levelx？k:=inf{x≤ x？：v（k）（y）=φ（k）（y），Y≥ x} 。（2.12）那么，每k∈ {1，···，n}，区间[x？k，∞) 必须是问题（2.6）的最佳停止区域的一个连通域，有k个锻炼机会。应该注意的是，一般来说≥ 2.由于复合支付函数φ（k）（logs）在s中不再是分段线性的，最优停止区域可能被断开，由多个不相交的区间组成∈ R+。然而，如果[x？k，∞) 是唯一的最佳停车区域，然后是上行交叉时间τ+x？k必须是问题（2.6）的最佳停止时间，对于所有x，v（k）（x）=g（k）（x，x？k）∈ R.解决可能存在多个断开组件的问题，以实现k的最佳停车≥ 2.在所有首次交叉时间{τ+b:b中，我们考虑最佳阈值类型策略∈ R} ，然后给出其最优性的充分条件。定义2.1。我们称之为b级？K∈ R当且仅当函数g（k）（x，b）在b=b时最大化时，有k个锻炼机会的问题（2.6）的最佳锻炼阈值？KforAll x∈ R