最小化提款概率的最优投资

给出推论3.2以及命题2.1和命题3.3的结果，唯一需要证明的是（3.6）中给出的表达式在m=wsif ws<∞, 这很清楚。备注3.2。即使允许最大投资组合价值增加，当m<Ws时最小化提款概率的最优投资策略与当m<Ws时的最优投资策略相同≥ 两者都等于使破产概率最小化的最优投资策略。事实上，相同的投资策略将最小化对任何函数的预期，该函数相对于最小投资组合价值不增加，相对于最大投资组合价值不减少。事实上，微分方程将保持不变；唯一的变化将出现在最小值和最大值的各种边界条件中。备注3.3。从先验来看，最优策略并不明显，因为投资者希望在（移动的）下限αm之前达到上限ws。事实上，当地平线不确定时，以MTI不超过当前最大值的方式进行投资是最优的。例如，见Angoshtari等人（2016）的工作文件。在这篇论文中，当一个人试图最小化死亡前减少的可能性时，如果最大财富足够小，那么最好不要让最大财富增加；见定理5.5。因此，当地平线是有限的（概率为1）时，保持最大财富不变并在下降发生前赌上死亡可能是最优的。然而，当地平线不确定时（如本文所述），定理3.1表明，允许最大财富增加到安全水平是最佳的。4.

最优控制投资组合价值我们通过考虑最优控制投资组合价值的行为来结束本文。因为最优投资策略独立于最大m，我们可以有效地忽略m的价值。首先，考虑ws<∞, 不管m的值是多少。通过设置w<0时的c（w）=c（0），将c扩展到所有ofR，并扩展π*在（2.3）中给出了所有R，如下所示：π*（w）=c（w）-rwu-r、 如果w<αm，2（c（w）-rw）u-r、 如果αm≤ W≤ ws，0，如果w>ws。（4.1）那么，定义s（w）=σπ*（w） b（w）=rw+（u）- r） π*（w）- c（w）；注意b（w）=0表示w<αm.定义R上的p byp（w）=Zwαmexp-2Zyαmb（z）dzs（z）dy.（4.2）注意，对于αm，p（w）=g（w，m）≤ W≤ WSP和(-∞) =R-∞αm1 dy=-∞. 此外，定义v onR×R+byv（w，m）=Zwαmp′（y）Zyαm2 dzp′（z）s（z）dy=ZwαmZyαms（z）exp-2Zyzb（u）dus（u）dz dy.（4.3）将v的表达式与Karatzas和Shreve（1991年，第347页）中（5.65）的表达式进行比较。因为p(-∞) = -∞, 因此v(-∞, m） =∞.因为当w<w时，c（w）>rw，当w不确定时，c（ws）=RWW，我们通常期望c（w）- rw在WSF的左邻域中减小为0，以获得最合理的支出函数。在下面的命题中，我们证明了如果支付函数有界ed（负）导数，那么v（w-s、 m）=∞.提议4.1。假设ws<∞. 除了假设2.1之外，假设支付函数c在Ws的左邻域中是连续可微的，并且存在常数ε∈ （0，ws）- αm）和K>0-K<c′（w）- r<-KW∈ （ws）- ε、 ws）。（4.4）那么，v（w-s、 m）=∞.证据假设不是这样；具体来说，假设v（w-s、 m）<∞. 尽管如此，w∈ （ws）- ε、 Fubini定理yieldsv（w，m）=ZwαmZyαmδ（c（z）- rz）exp-Zyzδduc（u）- 汝dz dy=Zwαmδ（c（z）- rz）Zwzexp-Zyzδduc（u）- 汝dy dz≥Zwws-εδ（c（z）- rz）Zwzexp-Zyzδduc（u）- 汝dy dz。接下来，我们找到内积分的下界。

B y（4.4），-δc（u）- 汝≥ δKc′（u）- rc（u）- 茹，U∈ （ws）- ε、 ws）。然后，它跟随v（w，m）≥Zwws-εδ（c（z）- rz）ZwzexpδKZyzc′（u）- rc（u）- 如都dy dz=δZwws-ε（c（z）- （rz）-δK-2Zwz（c（y）- ry）δKdy-dz≥ -δKZwws-ε（c（z）- r（z）-δK-2Zwz（c（y）- y）δK（c′（y）- r） dy dz=δK（δK+1）Zwws-ε（c（z）- （rz）-δK-2.（c（z）- rz）δK+1- （c（w）- rw）δK+1dz=δK（δK+1）Zwws-εdzc（z）- rz- （c（w）- rw）δK+1Zwws-ε（c（z）- r（z）-δK-2dz≥δK（δK+1）rZwws-εws- zdz+K（c（w）- rw）δK+1Zwws-ε（c（z）- （rz）-δK-2（c′（z）- r） dz公司=δrK（δK+1）lnεws- W+δ（δK+1）c（w）- rwc（ws）- ε) - r（ws）- ε)δK+1- 1..对于上面的第二个不等式，我们使用（4.4），对于第三个不等式，我们使用（4.4）和0<c（z）- rz≤ r（ws）- z） 对于z<ws，根据假设2.1。特别是，我们发现了一个接近的v（w，m）的下界∞ as w→ W-s、 这与我们最初对v（w）的假设相矛盾-s、 m）<∞; 因此，v（w）-s、 m）=∞.备注4.1。当初始投资组合值w位于（αm，ws）时，让我们注意αm和wsh的首次命中时间。根据Karaztas和Shreve（1991年，第350页）第5.5.32节的Propositi，我们推断如果v（w-s、 m）=∞, 然后0<Pw（S<∞) < 1.Fu rthermore，如果v（w）-s、 m）=∞, 那么，因为(-∞, m） =∞, 根据Feller的爆炸测试（Karatzas and Shreve（1991年，第348页）的定理5.5.29），最优控制的投资组合价值永远不会达到安全水平。最优控制财富遵循（2.4）中给出的过程。当财富接近ws时，漂移和波动率都接近0。

因此，可以合理地预期安全水平可能无法达到，命题4.1的条件给出了无法达到安全水平的一个例子。与0<Pw（S<∞) < 1，可以得出以下结论：任一下降发生（概率φ（w，m）=Pw（S<∞)) 或者，最优控制的投资组合价值在αm和c/r之间，几乎可以肯定，在任何时候（概率为1）- φ（w，m））。下面的例子证明了我们可以有v（w-s、 m）=∞ 当（4.4）不成立时。例4.1。假设c（w）=rw+b（ws）- w） 对于某些b>0和ws>0。注意c′（w）=r- 2b（西）- w） )；因此，为了确保c′（w）≥ 0，假设ws-r2b≤ αm≤ W≤ ws。（例如，可以设置b=R2WSW，以便ws-r2b=0。）那么，g（w，m）=eδb（ws）-αm）Zwαme-δb（ws）-y） dy，andv（w，m）=Bws- W-ws- αm+δlnws- wws- αm+2bδ（w）- αm）- eδb（ws）-αm）b（ws）- αm）-δws- αm+2bδZwα我-δb（ws）-y） dy≥Bws- W-ws- αm+δlnws- wws- αm+2bδ（w）- αm）- eδb（ws）-αm）b（ws）- αm）-δws- αm+2bδ（w）- αm），这意味着v（ws，m）=∞. 因此，如备注4.1所述，最优控制的投资组合价值永远不会达到安全水平ws。备注4.2。如果支出函数c有一个关于w=ws的泰勒级数展开式，那么我们可以写出EC（w）=c（ws）+（w- ws）c′（ws）+（w- ws）c′（ws）+O（w）- ws）,或等效地，c（w）- rw=-（ws）- w） （c′（ws）- r） +（ws）- w） c′（ws）+O（w）- ws）,对于w，在ws的左边社区。命题4.1表明，当0<|c′（ws）- r|<∞, 安全水平永远无法达到。例4.1表明，如果c′（ws）=r，安全级别永远不会达到，这仍然是真的。一般来说，我们预计永远不会达到安全水平，即v（w）-s、 m）=∞, 我们欢迎有兴趣的读者证明这一声明。接下来，假设ws=∞.

在下面的命题中，我们证明了如果c（w）- 随着投资组合价值的增加，rw最终有界于0，那么提取的概率本质上为1。首先，我们证明了一个比较结果，我们将用它来证明这个命题。引理4.2。假设支出函数是有序的，具体来说，假设c≤ c、 用φ（0）和φ（1）表示相应的最小水位下降概率。那么φ（0）≤ φ（1）onD（0）：=n（w，m）∈ （R+）：αm≤ W≤ 闵m、 w（0）so、 在which w（0）s中≤ w（1）是分别对应于c和c的w值。证据定义函数F byF（w，F，fw，fw）=（c（w）- rw）fw+δfww。请注意，F独立于F，且相对于fwwand不增加，因此满足Crandall等人（1992，（0.1））的单调性条件。我们有φ（0）（αm，m）=1=φ（1）（αm，m），φ（0）w（0）s，m= 0≤ φ(1)w（0）s，m因为w（0）s≤ w（1）s，Fw、 φ（0），φ（0）w，φ（0）ww= 0，andFw、 φ（1），φ（1）w，φ（1）ww= -（c（w）- c（w））φ（1）w≥ 0，因为φ（1）w≤ 因此，通过比较粘度溶液（Crandall et al.，1992，Theorem3.3），可以得出φ（0）≤ D（0）上的φ（1）。备注4.3。引理4.2中的比较结果也来自p概率论论证。事实上，对于任何固定的可接受投资策略，支取的概率随着支付率的增加而增加；用h（0）（w，m；π）表示这一质量≤ h（1）（w，m；π）。然后，通过对容许投资策略取h（0）（w，m；π）的最小值，我们得到φ（0）（w，m）≤ h（1）（w，m；π）。最后，通过取h（1）（w，m；π）对可接受投资策略的最小值，我们得到φ（0）（w，m）≤ φ（1）（w，m）。提案4.3。假设ws=∞, 如果存在L>0，那么c（w）-对于所有w>w的情况，rw>L。那么，最小下降概率等于1。证据首先，假设c（w）- rw最终是有界的。

具体地说，假设存在L>0和L′>L，使得ε∈ （0，L），存在w′>0，使得L- ε<c（w）- rw<L′+ε，对于所有w>w′。然后，对于αm>w′，它如下-ZyαmδduL- ε< -Zyαmδduc（u）- ru<-ZyαmδduL′+ε，或等效，-δL- ε（y）- αm）<-Zyαmδduc（u）- ru<-δL′+ε（y）- αm）。它跟在我后面-δL-ε（y）-αm）dy<Zmαmexp-Zyαmδduc（u）- 汝dy<Zmαme-δL′+ε（y-αm）dy，或相当于L- εδh1- E-δL-εm（1）-α） i<g（m，m）<L′+εδh1- E-δL′+εm（1）-α） iThus，因为ε>0是任意的，limm→∞g（m，m）∈hLδ，L′δi。接下来，我们证明了在这种情况下，最小下降概率相同为1。为此，请注意，对于αy>w′，我们有- εδh1- E-δL-εy（1）-α） i<g（y，y）<L′+εδh1- E-δL′+εy（1）-α） i和δL′+ε<δc（αy）- rαy<δL- ε.因此，从（3.5）中，αδL′+ε1- E-δL′+εy（1）-α)-αΔεL- ε<f（y）<αδL- ε1 - E-δL-εy（1）-α)-αδεL′+ε，对于αy>αm>w′，这意味着eδL-εm（1）-α)- 1eδL-εN（1）-α)- 1.α1-αe-αΔεL′+ε（N）-m） <e-RNmf（y）dy<eδL′+εm（1）-α)- 1eδL′+εN（1-α)- 1.α1-αe-αΔεL-ε（N）-m） ，对于N>m，通过设置N→ ∞, 当αm>w′时，我们看到（3.7）中的k（m）为零。此外，如果αm≤ w、 thenk（m）=e-R∞mf（y）dy=e-Rw/αmf（y）染料-R∞w/αf（y）dy=0，因此水位下降的最小概率φ等于1。现在，假设c（w）上更一般的条件- rw如投标书中所述。选择>L，并定义cby c（w）=最小值（c（w），L+rw）。然后，根据上述参数φ，当支出函数等于cis恒等式1时的最小支取概率。外稃4。2意味着φ≥ φ、 其中φ是原始布局函数c下水位下降的最小概率；因此，φ等于1。备注4.4。从某种意义上说，4.3中的提议与4.1中的提议类似，前提是Ws=∞. 事实上，命题4.1未涵盖的一个重要情况是，c（w）与rw的关系为w→ W-s

类似地，提案4.3中未涵盖的一个重要案例是limw→∞c（w）- rw=0，这要求c（w）渐近asw接近rw→ ∞.感谢第二作者的研究部分得到了美国国家科学基金会地下DMS-0955463和苏珊·M·史密斯实际数学教授的支持。第三作者的研究部分得到了Cecil J.和Ethel M.Nesbitt精算数学教授的支持。参考Sangoshtari、Bahman、Erhan Bayraktar和Virginia R.Young（2015），将比例消费下的提款预期寿命最小化，发表在《金融研究快报》上。Angoshtari、Bahman、Erhan Bayraktar和Virginia R.Young（2016年），《在持续消费的情况下最小化寿命缩减的概率》，密歇根大学工作顾问。B–auerle，Nicole和Erhan Bayraktar（2014），关于随机排序在保险和金融控制问题中的应用的说明，随机学，86（2）：330-340。Bayraktar、Erhan和Virginia R.Young（2007），终生最低财富与消费、金融和随机性效用之间的对应关系，11（2）：213-236。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚R。

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