最小化提款概率的最优投资

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英文标题：
《Optimal Investment to Minimize the Probability of Drawdown》
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作者：
Bahman Angoshtari, Erhan Bayraktar, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We determine the optimal investment strategy in a Black-Scholes financial market to minimize the so-called {\\it probability of drawdown}, namely, the probability that the value of an investment portfolio reaches some fixed proportion of its maximum value to date. We assume that the portfolio is subject to a payout that is a deterministic function of its value, as might be the case for an endowment fund paying at a specified rate, for example, at a constant rate or at a rate that is proportional to the fund\'s value.
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中文摘要：
我们在Black-Scholes金融市场中确定最优投资策略，以最小化所谓的{\\it Drawing probability of drawdown}，即投资组合的价值达到其迄今为止最大价值的某个固定比例的概率。我们假设投资组合的支出是其价值的确定函数，就像捐赠基金以特定利率支付一样，例如，以固定利率或与基金价值成比例的利率支付。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Investment_to_Minimize_the_Probability_of_Drawdown.pdf (143.84 KB)

2022-5-8 06:46:45 上传

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关键词：Mathematical proportional Differential Quantitative Applications

最佳投资，以最大限度地减少提取Bahman AngoshtariEmail的可能性：bango@umich.eduErhanBayraktar电子邮件：erhan@umich.eduVirginiaR.YoungEmail：vryoung@umich.edu530密歇根州密歇根阿伯大学数学系Church Street，48109版本：2015年12月11日摘要：我们确定Black-Scholes金融市场中的最佳投资策略，以最小化所谓的提取概率，即投资组合的价值达到其迄今为止最大值的某个固定比例的概率。我们假设投资组合的支出是其价值的确定函数，就像捐赠基金以特定利率支付一样，例如，以固定利率或与基金价值成比例的ata利率支付。关键词：最优投资，随机最优控制，下降概率。1.简介我们确定布莱克-斯科尔斯金融市场的最佳投资策略，以最小化所谓的下跌概率，即投资组合的价值达到其迄今为止最大价值的某个固定比例的概率。我们假设投资组合的发行对象是基金价值的确定函数，就像捐赠基金以特定利率支付一样。我们的论文自然属于优化控制财富以实现目标的范畴。关于这一主题的研究始于杜宾斯和萨维奇（19651976）的开创性工作，接着是佩斯蒂恩和苏德思（1985）、奥雷等人（1987）、苏德思和韦拉辛格（1989）、库尔多夫（1993）、卡拉扎斯（1997）、布朗（1997、1999a、1999b）、杨（2004）以及贝拉克塔尔和杨（2015）的工作。

本研究中考虑的一个典型问题是，控制一个过程，以最大限度地提高该过程在固定时间T之前达到b的概率，如Karatzas（1997年），或在过程达到A<b之前，如Pestien和Sudderth（1985年）。Pestien和Sudderth表明，为了最大化在a之前到达b的概率，一个最大化了差异漂移除以其波动性平方的比率。B¨auerle和Bayraktar（2014）通过路径论证证明，最大化偏差漂移率除以其波动性平方，可以最小化破产概率，asin Pestien和Sudderth（1985）。除其他外，其他路径参数表明，同一个优化器还优化了给定但不任意的函数的运行最小值的任何递减可测函数。后者早在Bayraktar and Young（2007）中就被观察到了，当时的状态变量是一个具有任意消费函数的黑色投资模型中的财富过程。B–auerle和Bayraktar（2014）als o表明，如果这个最大化的比率与过程状态无关，那么下降的概率也是最小的。在本文中，我们研究了Bayraktar and Young（2007）的建立，其中独立性的假设并不令人满意。我们使用验证论证来证明，使破产概率最小化的投资策略也使提款概率最小化。我们没想到会有这样的结果，因为当降低提款概率时，“破产水平”是一个非递减过程。

然而，不明显的是，如果破产水平随着时间的推移而变化，就像最小化提款概率一样，那么最小化破产概率的投资策略也会最小化提款概率，但这一结果正是我们在本文中展示的结果。在其他涉及缩减的工作中，如Elie和Touzi（2008），缩减被用作最大化预期效用的约束。相比之下，我们最大限度地降低了直接提取的可能性，认识到投资或捐赠基金的管理人可能会首先选择一个支付函数，然后寻求管理基金，以便基金的价值不会低于其最大值的某个给定比例。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了金融市场，定义了最小化提款概率的问题，并计算了当最大投资组合价值大于所谓的安全水平时，提款的最小概率φ。在第3节中，我们证明了最小提款概率φ的验证定理，并在最大投资组合价值小于安全水平时使用它来计算φ。我们了解到，对于任何破产水平，最小化提款概率的最优投资策略与最小化破产概率的策略是相同的。事实上，相同的投资策略将最小化对任何函数的期望，该函数相对于最小投资组合值不增加，相对于最大投资组合值n减少。最后，在第4节中，我们考察了最优控制投资组合价值的行为。2.问题陈述和初步结果在本节中，我们首先介绍构成投资或捐赠基金价值的财务要素，即支付率、无风险资产和风险资产。

然后，我们确定了最低提款概率，并在最大投资组合价值大于安全水平时明确计算该概率。我们假设基金经理投资于无风险资产，并以恒定利率r>0赚取利息。此外，经理人投资于一种风险资产，其在时间t，St的价格遵循（dSt=uStdt+σStdBt，S=S>0）给出的几何布朗运动，其中u>r，σ>0，B是关于概率空间过滤的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。设wt为投资基金在t时刻的价值，πt为经理人在该时刻投资于风险资产的金额。因此，投资于无风险资产的金额为Wt- πt.我们假设基金以确定的利率c（Wt）支付≥ 0.因此，投资组合价值遵循过程DWT=[rWt+（u- r） πt- c（Wt）]dt+σπtdBt，（2.1），W=W。确定最大投资组合价值Mtat time t byMt=maxsup0≤s≤tWs，M,其中我们包括M=M>0（可能不同于W=W），以允许投资基金具有财务过去。我们所说的支取是指基金的价值达到α∈ （0，1）乘以其最大值。通过τα：=inf{t确定相应的命中时间≥ 0:Wt≤ αMt}。除此之外，如果α=0，那么我们是在最小化固定破产水平0的破产概率的情况下，这已经在以前的工作中考虑过了；参见Pestien和Sudderth（1985年）以及最近的Bayraktar和B¨auerle（2014年）。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们需要α∈ (0, 1).当支付率不变时（这是许多捐赠基金的情况），例如，每年相同的c，那么基金级别的c/r起着特殊的作用。如果投资基金的价值至少等于c/r，那么基金经理可以将所有财富投资于无风险资产，每年至少赚取c，基金的价值将永远不会下降。

特别是，在这种情况下，不会出现下降。我们在下面的假设中从这个特例进行了推广。假设2.1。在本文中，我们假设支付函数c（w）是捐赠基金价值在（0，∞), 因此存在一个独特的ws∈ (0, ∞] 因此，对于所有的w<c（w），我们认为这是给捐赠基金受益人或投资基金持有人的钱。Angoshtari等人（2015年）考虑了一个类似的问题，但当c（w）=κw时，他们最小化了一个完整生命体在提取过程中所花费的预期时间。为了数学上的简单性，我们假设Ws是唯一的。andrw>c（w），代表所有w>w。我们允许ws=∞, 例如，如果c（w）=κw wi thκ>r，情况就是这样。如果W=W≥ 那么我们可以为所有t设置πt=0≥ 0，这意味着DWT=（rWt- c（Wt））dt≥ 0.在这种投资策略下，投资基金的价值不会下降，因此不会出现提款。因此，我们称之为安全水平。用φ（w，m）表示提款的最小概率，其中参数w和mind表明，一个条件是投资基金的当前价值w，最大（过去）价值m。具体而言，φ是τα<∞, 其中一个关于容许投资策略π最小化。如果策略π是Ft-progressivelymeasurable（其中fti是σ（Ws:0）的增广），那么它是可容许的≤ s≤ t） ）如果它满足可集成性条件rtπsds<∞ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 因此，φ由φ（w，m）=infπPw，m（τα<∞) = i nfπEw，m{τα<∞}, （2.2）对于w≤ m、 这里，Pw，mand Ew，mdenote概率和期望分别以W=W和m=m为条件。我们首先考虑m≥ ws，这意味着ws<∞.

如果W=W≥ ws，那么下降是不可能的；因此，我们假设th在W=W∈ （αm，ws）。W=W<Ws意味着，对于所有的t≥ 0，或者对于某些t>0的情况，Wt=Ws。在这两种情况下，Mt=m几乎可以肯定，对于所有t≥ 0，避免提取相当于避免破产，破产水平（固定）为αm.B–auerle和Bayraktar（2014）表明，在这种情况下，最佳投资策略是最大化（2.1）中价值过程的漂移与其波动率平方的比率。因此，当价值等于Wt=w时，风险资产的最佳投资金额由π以反馈形式给出*（w） =2（c（w）- rw）u- r、 （2.3）独立于m和α。可以看出，根据（2.3）中给出的投资策略，投资账户的价值遵循过程DWT=（c（Wt）- rWt）dt+2σu- rdBt. （2.4）根据B–auerle和Bayraktar（2014，定理4.1），我们知道，在这种投资策略下，破产的概率由h（w，m）=1给出-g（w，m）g（ws，m），（2.5）如果出现后者，则为所有s设置πs=0≥ t、 如假设2.1所述。其中g由g（w，m）=Zwαmexp定义-Zyαmδduc（u）- 汝dy，（2.6）带δ=u - rσ.注意，g in（2.6）是与（2.4）中的差异离子相关的标度函数；见Karatzasand Sh reve（1991年，第339页）。此外，请注意，因为在本节中ws必然是有限的，所以g（ws，m）也是有限的。事实上，g表达式中的被积函数的上界为1；因此，g（ws，m）≤ ws- αm<∞.在下一个命题中，我们总结了上述讨论。提议2.1。{（w，m）上下降φ的最小概率∈ （R+）：αm≤ W≤ws≤ m} 由（2.5）中的表达式给出。

当Wt=w时，风险资产的最佳投资金额由（2.3）给出，与m和α无关。根据（2.3）中给出的投资策略，随着投资组合价值的增加，我投资于风险资产的金额接近于零。这是有道理的，因为随着投资账户价值的增加，管理者不需要承担更多风险来实现c（ws）的极限支付率。当最大投资组合值m<Ws时的最小提款概率在上一节中，我们证明了它对于Mt=m几乎肯定是最优的，对于所有t≥ 0，当αm<w<ws时≤ m、 在本节中，我们讨论了当m<ws时，允许m增加到m等时。为了证明这个结果，我们依赖一个验证引理。首先，定义β的微分算子Lβ∈ R byLβf=（rw+（u）- r） β- c（w））fw+σβfww，其中f=f（w，m）对于第一个变量是两倍可微的。假设w>αm；否则，就会出现撤退，游戏就结束了。因此，一般来说，我们只需要考虑域D上的φ：={（w，m）∈ （R+）：αm≤ W≤ min（m，ws）}，其中我们允许ws=∞.引理3.1。假设h:D→ R是一个有界连续函数，满足以下条件：（i）h（·，m）∈ C（（αm，min（m，ws））是一个非递增的凸函数，（ii）h（w，·）是连续可微的，除非在wsws<∞, 其中它有右导数和左导数，（iii）hm（m，m）≥ 如果m<ws，（iv）h（αm，m）=1，（v）h（ws，m）=0如果m≥ ws（如果ws=∞),（vi）Lβh≥ 全部为0∈ R.然后，h（w，m）≤ D.证明上的φ（w，m）。假设h满足该定理陈述中规定的条件。LetWπ和Mπ分别表示当管理者使用可接受的投资策略π时的投资组合值和最大投资组合值。

此外，假设初始值和最大值（w，m）的有序对位于D中。固定一个可容许的投资策略π。定义τn=inf{t≥ 0:Rtπsds≥ n} ，τws=inf{t≥0:Wπt=ws}，τ=τα∧ τn∧ τws。通过对h（w，m）应用It^o公式，我们得到了h（wπτ，mπτ）=h（w，m）+Zτhw（wπt，mπt）σπtdBt+ZτLπh（wπt，mπt）dt+Zτhm（wπt，mπt）dMπt.（3.1）它来自于τnthatEw，m的定义Zτhw（Wπt，Mπt）σπtdBt= 此外，由于定理的条件（vi），（3.1）中的第二个积分是非负的。最后，th ird积分几乎肯定是非负的，因为只有当Mt=Wtandhm（m，m）时，Dmits才是非零的≥ 在这里，我们还使用了M是非递减的事实；因此，与之相关的第一个变量过程几乎肯定是有限的，我们得出结论，Mand W的交叉变量几乎肯定为零。因此，我们得到了，m[h（Wπτ，mπτ）]≥ h（w，m）。因为h受假设的约束，所以它遵循了支配收敛定理EW，mhhWπτα∧τws，Mπτα∧τws我≥ h（w，m）。由于Wπτα=αMπτα和Wπτws=wswhen（Wπ，Mπ）=（W，M）∈ D、 根据定理的条件（iv）和（v），H（w，m）≤ 嗯，m{τα<τws}= 嗯，m{τα<∞}. （3.2）（3.2）中的等式源自τα=∞ 如果τws≤ τα. 通过采用最小超额允许投资策略，并应用（2.2）中φ的第二个表示，我们得到h≤ D.推论3.2。假设h满足引理3.1的条件，条件（iii）等于s，条件（vi）等于πt=π（Wt，Mt）以反馈形式定义的一些可容许策略π，其中我们稍微滥用了符号。具体来说，假设D上的π（w，m）h（w，m）=0。那么，D上的h（w，m）=φ（w，m），π是一个最优投资策略。证据

在引理3.1的证明中，如果我们在条件（iii）和（vi）中相等，那么我们可以得出D上的h=φ。考虑下面的边值p问题，其解的极限，根据3.2，是D拉下的最小概率的候选。让N≤ ws；然后，在αm上≤ W≤ M≤ N（rw）- 高净值- δ（hNw）hNw=0，hN（αm，m）=1，hNm（m，m）=0，hN（N，N）=0。（3.3）在下一个命题中，我们给出（3.3）的解。提议3.3。{（w，m）上（3.3）的解∈ （R+）：αm≤ W≤ M≤ N} 由byhN（w，m）=1给出- E-RNmf（y）dyg（w，m）g（N，N），（3.4），其中f由f（m）=α定义g（m，m）-δc（αm）- rαm, （3.5）和g在（2.6）中给出。证据很容易证明（3.4）中的h满足（3.3）中的微分方程，以及边界条件hN（αm，m）=1和hN（N，N）=0。此外，hNm（m，m）=0；的确，hNm（w，m）=- E-RNmf（y）dyf（m）g（w，m）+gm（w，m）g（N，N）∝ -f（m）g（w，m）+α1+δrαm- c（αm）g（w，m）= α1.-g（w，m）g（m，m）,w=m时等于0。备注3.1。如果ws<∞, 然后计算αm上的最小下降概率≤ W≤M≤ ws。如果ws=∞, 德林→∞E-RNmf（y）dyg（N，N）可能是不确定的，所以我们必须注意限制。我们将命题2.1和命题3.3的结果结合起来，得出以下结论。定理3.1。设g（ws，ws）d enote limm→ws-g（m，m）。D上水位下降φ的最小概率：={（w，m）∈ （R+）：αm≤ W≤ min（m，ws）}等于φ（w，m）=1.-g（w，m）g（ws，m），如果αm≤ W≤ ws，m≥ ws，1- k（m）g（w，m）g（ws，ws），如果αm≤ W≤ m<ws，（3.6），其中g由（2.6）给出，其中k由k（m）=e定义-Rwsmf（y）dy，（3.7），其中f由（3.5）给出。当Wt=w i时，风险资产的最佳投资金额由π给出*（w） =2（c（w）- rw）u- r、 （3.8）独立于m和α。证据