Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

正如[1]中所述，我们考虑第一看跌期权，因为看跌期权的Malliavin导数是有界的。买入期权的LRM将作为一种必然结果诞生。如果我们先处理看涨期权，那么我们需要引入额外的假设。在陈述我们的主要定理之前，我们准备了两个命题，一个是阿马里亚文导数f或看跌期权；另一个是D中Random变量的Clark-Ocone型表示结果。命题3.1对于K>0，我们有（K- （圣）+∈ D、 安德特（K）- ST）+=-1{ST<K}STσt.证明。[1]的命题4.1给出了同样的结果。然而，正如第2.3小节开头所说，他们的Malliavin微积分框架与我们的不同。因此，我们用与[1]相同的方法给出了一个新的证明。首先，通过与[1]中引理A.1相同的参数，我们得到Dtσs=0。[7]中的定理2以与[1]中的引理A.2相同的方式暗示Dtσs=0。此外，通过与[1]中引理A.3和A.4相同的方式，我们可以看到dtrtσsds=0；和DtRTσsdWP*使用[7]中的命题6，s=σtb。因此，我们获得了LT∈ Dand DtLT=σt。下一步，表示fk（r）：=（Ser，如果r≤ 对数（K/S），Kr+K（1-log（K/S）），如果r>log（K/S）。我们有fK∈ C（R）和0<f′K（R）≤ K代表任何r∈ 因此，文献[7]的定理2暗示了fK（LT）∈ DandTfk（LT）=f′K（LT）DtLT=f′K（LT）σt（3.1）自（K）- ST）+=（K）- fK（LT））+，我们只需要看到（K）- fK（LT））+∈D然后计算Dt（K）- fK（LT））+。为此，我们采用了一个molli fier函数，即C∞-函数从R到[0，∞) 带supp（~n） [-1,1]安德烈∞-∞~n（x）dx=1。我们不需要注意n（x）：=n（nx）和gn（x）：=R∞-∞（K）-y） +n（x）- y） 任何人都可以≥ 1.注意到gn（x）=Z∞-∞K- x+yn+~n（y）dy=Z∞-n（K）-十）K- x+ynν（y）dy，我们有g′n（x）=-R∞-n（K）-x） ν（y）dy，因此∈ 坎德|格恩|≤ 1.因此，[7]中的定理2再次暗示，对于任何n≥ 1，gn（fK（LT））∈ DandDtgn（fK（LT））=g′n（fK（LT））DtfK（LT）=g′n（fK（LT））f′K（LT）σt（3.2）乘以（3）。

1). 我们有≥1kDgn（fK（LT））kL（m×P*)≤ 基普*ZTσtdt< ∞.此外，注意到t | gn（x）-（K）- x） +|=Z-1.K- x+yn+-（K）- 十）+ν（y）dy≤新西兰-1 | y |~n（y）dy≤对于任意x∈ R、 我们有limn→∞E[| gn（fK（LT））-（K）- fK（LT））+|]=0。因此，下面的引理3.2意味着（K- fK（LT））+∈ D.此外，[7]的引理2确保子序列nknk的存在，使得Dgnk（fK（LT））收敛到D（K）- L（m×P）意义上的fK（LT））+*). 另一方面，我们有limn→∞g′n（x）=-1{x<K}-1{x=K}R∞ν（y）dy；和P*（fK（LT）=K）=0由[6]中的推论2.3得出，其中limn→∞g′n（fK（LT））=-下面是{fK（LT）<K}a.s。因此，如果需要，通过进一步的子序列，（3.2）提供DT（K- ST）+=Dt（K）- fK（LT））+=limk→∞Dtgnk（fK（LT））=limk→∞g′nk（fK（LT））f′K（LT）σt=- 1{fK（LT）<K}f′K（LT）σt=-1{ST<K}STσt，m×P*-a、 美国。引理3.2设F在L（P）中*), 和（Fn）n≥1a数据序列收敛到F inL（P*). 如果有≥1kDFnkL（m×P*)< ∞, 然后F∈ D.证据。这是由[8]中引理5.5.5的证明给出的。F提案3.3∈ D、 我们有*[F] +ZTEP*[DtF |英尺-]dWP*t+ZTZ∞一类可预测过程ψ的ψt，xeN（dt，dx）∈ L（m×ν×P）*).证据通过（2.11）表示F的混沌展开，我们得到F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1nJ（j，…，jn）-1,0）n（g（j，…，jn）-1,0）n）+J（J，…，jn-1,1）n（g（j，…，jn）-1,1）n）o=EP*[F] +ZTg（0）（t）dWP*t+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZTJ（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）dWP*t+ZTZ∞g（1）（（t，x））eN（dt，dx）+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZTZ∞J（J，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,1）n（…，（t，x））1Gn（j，…，jn）（t）eN（dt，dx）=EP*[F] +ZTg（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）dWP*t+ZTZ∞g（1）（（t，x））+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,1）n（。

，（t，x）1Gn（j，…，jn）（t）eN（dt，dx）（3.3）=:EP*[F] +ZTφtdWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）。上述第三等式（3.3）在下面的引理3.4中得到了证明。另一方面，注意到F∈ D、 我们有*[DtF |英尺-]=EP*g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×J（J，…，jk）-1，jk+1。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）英尺-=g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×EP*J（J，…，jk）-1，jk+1。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）英尺-=g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}n{jn=0}J（J，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）=因此，φ属于L（m×P）*). 因此，RTR∞ψt，xeN（dt，dx）是平方可积的，即ψ∈ L（m×ν×P）*). 这就完成了命题3的证明。3.命题3.3的证明中的引理3.4（3.3）为真。换句话说，对于l=0，1，∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZUlJ（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）Ql（dbul）=ZUl∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）Ql（dbul），其中bu=t∈ Uandbu=（t，x）∈ 美国证据。回想一下，cha os扩展中的有限系列在THL（P*)-感觉现在，对于l=0，1，我们表示Φl，N（bul）：=N∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）为了N≥ 2和Φl（bul）：=∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）.我们得到了，对于l=0，1，（Φl，N）N≥2是L（hQli×P）的序列*) 收敛到Φlin的L（hQli×P）*)-感觉因此，我们有了Limn→∞EP*\"ZUlΦl，N（bul）Ql（dbul）-ZUlΦl（bul）Ql（dbul）#= 0下面的定理是我们的主要结果。定理3.5对于K>0，LRMξ（K-出售期权（K）的ST）+- ST）+表示为ξ（K）-ST）+t=-第一-EP*[1{ST<K}ST|Ft-]. （3.4）证据。通过ζt表示（3.4）的右侧，我们将看到过程ζ为ΘS。

注意到|ζt |≤KSt-, 我们有“ZTζtdhMit”+ZT|ζtdAt|#≤ E“ZTKσtdt+ZTKu +β +σtdt#< ∞,自从ERTσtdt< ∞ 引理2.4。因此，ζ∈ ΘSholds。接下来是定义（K-ST）+t：=E（K）-（圣）+-EP*（K）- （圣）+-ZTζsdSs英尺,我们证明了（K-ST）+=EP*（K）- （圣）++ZTζtdSt+L（K-ST）+Tgives是（K）的组成-ST）+。自从L（K）-ST）+是带l（K）的P-鞅-ST）+T∈ L（P），我们只需要证明L（K）的正交性-ST）+至M.自（K）- （圣）+∈ 从命题3.1开始，我们有命题3.3和命题3。1，（K）- ST）+=EP*（K）-（圣）++ZTEP*hDt（K-ST）+英尺-idWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）=EP*（K）-（圣）+-ZTEP*h{ST<K}ST|Ft-iσtdWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）=EP*（K）-（圣）++ZTζtdSt+ZTZ∞一类可预测过程ψ的ψt，xeN（dt，dx）∈ L（m×ν×P）*), 意思是L（K）-ST）+t=RtR∞ψs，xeN（ds，dx）对于任何t∈ [0，T]。因此，L（K）-ST）+与M正交。根据看跌期权平价，以下结论成立：看跌期权的推论3.6 LRM（ST-K） +表示为ξ（ST-K） +=1+ξ（K）-ST）+4结论我们给出了约束ρ=0的BNS模型的看涨期权和看跌期权的LRM表示。与文献[1]相比，我们放宽了对β的限制；并将ρ限制为0。定理3.5中的表示（3.4）与定理3中的表示（3.1）一致。[1]中的1，用0代替ρ。注意，尽管MMM的密度取决于β，但β并不出现在LRM的代表中。与BNS模型的LRM相关的一些重要问题仍有待于未来的研究：数值格式的发展，与deltahedge的比较，BNS模型的完全一般情况的扩展，等等。感谢作者感谢Jean-Pierre Fouque的富有成效的讨论；并感谢石井纪念证券研究促进基金会的财务支持。参考文献[1]Arai，T.，Suzuki，R.：BarndorffNielsen和Shephard模型的局部风险最小化。提交。

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