Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

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英文标题：
《Local risk-minimization for Barndorff-Nielsen and Shephard models with
  volatility risk premium》
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作者：
Takuji Arai
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We derive representations of local risk-minimization of call and put options for Barndorff-Nielsen and Shephard models: jump type stochastic volatility models whose squared volatility process is given by a non-Gaussian rnstein-Uhlenbeck process. The general form of Barndorff-Nielsen and Shephard models includes two parameters: volatility risk premium $\\beta$ and leverage effect $\\rho$. Arai and Suzuki (2015, arxiv:1503.08589) dealt with the same problem under constraint $\\beta=-\\frac{1}{2}$. In this paper, we relax the restriction on $\\beta$; and restrict $\\rho$ to $0$ instead. We introduce a Malliavin calculus under the minimal martingale measure to solve the problem.
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中文摘要：
我们推导了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化表示：跳跃型随机波动率模型，其平方波动率过程由非高斯rnstein-Uhlenbeck过程给出。Barndorff-Nielsen和Shephard模型的一般形式包括两个参数：波动风险溢价$\\beta$和杠杆效应$\\rho$。Arai和Suzuki（2015，arxiv:1503.08589）在约束$\\beta=-\\frac{1}{2}$下处理了相同的问题。在本文中，我们放宽了对$\\beta$的限制；并将$\\rho$限制为0$。我们在最小鞅测度下引入Malliavin演算来解决这个问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Local_risk-minimization_for_Barndorff-Nielsen_and_Shephard_models_with_volatilit.pdf (178.13 KB)

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关键词：shephard Nielsen Hard else ELS

具有波动风险溢价的Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化*2018年8月22日摘要我们推导了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的看涨期权和看跌期权的局部风险最小化表示：跳跃型随机波动率模型，其平方波动率过程由非高斯的Ornstein-Uhlenbeck过程给出。BarndorffNielsen和Shephard模型的一般形式包括两个参数：波动率风险溢价β和杠杆效应ρ。Arai和Suzuki[1]在约束β=-. 本文放宽了对β的限制；并将ρ限制为0。我们在最小马尔廷格尔测度下引入了Malliavin演算来解决这个问题。关键词：局部风险最小化，Barndorff-Nielsen and Shephard模型，随机波动率模型，Malliavin演算，L’evy过程。1引言讨论了Barndorff-Nielsen和Shephardmodels（简称BNS模型）的局部风险最小化（简称LRM）。LRM是一种广为人知的不完全金融市场未定权益套期保值方法。另一方面，BNS模型是Barndorff Nielsen和Shephard[2]，[3]提出的随机波动率模型。众所周知，BNS模型捕捉到了一些金融时间序列的程式化事实。BNS模型的平方波动过程σ是一个由无漂移的从属变量驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程，即一个非减量纯跳跃L′evy过程。因此，σ是一个跳跃过程，作为以下随机微分方程（简称SDE）的解给出：dσt=- λσtdt+dHλt，σ>0，*庆应大学经济系，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jpwhereλ>0，H是无漂移的从属函数。现在，我们用S表示基础资产价格过程。

S的一般形式为b ySt=SexpZtu+βσsds+ZtσsdWs+ρHλt,其中S>0，u，β∈ R、 ρ≤ 0，W是一维布朗运动。最后一项ρHλt表示水平效应；这被称为波动性风险溢价，被认为是持有波动性资产的投资者所需的补偿。从下面（2.1）的观点来看，当β=-. 所以β的值大于或等于-. 有关BNS模型的更多详细信息，请参见Cont和Tankov[4]以及Schoutens[9]。我们的目的是在约束ρ=0且不约束β的情况下，得到BNS模型的看涨期权和看跌期权的LRM表示。另一方面，Arai和Suzuki[1]在约束β=-对ρ没有约束。也就是说，他们处理的是不考虑波动性风险溢价的情况。相反，我们将使用波动性风险溢价来处理BNS模型。换句话说，我们放宽了对β的限制。相反，我们将ρ限制为0，这导致S的连续性。然后，S是writenasst=SexpZtu+βσsds+ZtσsdWs. （1.1）实际上，S的连续性使问题易于处理。为了计算Rm，我们需要考虑最小马尔廷加测度（简称MMM）。当S是连续的时，即使在MMM下，从属H仍然是一个L’evy过程。另一方面，β的推广使问题变得复杂。当β=-, 将MMM的密度过程Z作为具有Lipschitz连续性的SDE的解给出。因此，如[1]所示，Z具有Malliavin可微性，这在[1]中起到了至关重要的作用。然而，这个性质并不适用于β6=-. 因此，我们需要采取与[1]不同的方法。为了克服这一困难，充分利用H的L’evy性质被保留的事实，我们在MMM下创新了一种Malliavincalculus。

因此，我们可以在不考虑Z的性质的情况下计算LRM。据我们所知，除了[1]之外，之前对BNS模型LRM的研究只有一个：Wang、Qian和Wang[13]。此外，他们在和我们相同的参数限制下处理这个问题，尽管他们没有使用Malliavin演算。然而，他们的讨论似乎在数学上不准确。本文概述如下。第2部分给出了精确的模型描述和长期假设。在2.1-2.3小节中，我们分别定义了LRM、MMM和Malliavin衍生物。我们的主要结果见第3部分；结论将在第4.2节序言中给出。我们考虑一个金融市场模型，其中只有一项风险资产和一项无风险资产是可交易的。为简单起见，我们假设利率为0。设T>0b为有限时间范围。风险集的波动被描述为（1.1）中给出的过程。我们考虑一个完全概率空间(Ohm, F、 P）过滤F={Ft}t∈[0，T]作为底层空间。假设F由wth和λt生成；满足通常的条件，即F是右连续的，F包含P的所有空集。在（1.1）中给出的资产价格过程S是以下SDE的解决方案：dSt=St-udt+β +σtdt+σtdWt. （2.1）表示At:=RtSs-hu+β +σsids和Mt:=St- s- At，我们有St=S+Mt+At，这是S的正则分解。此外，t的wedenote Lt:=log（St/S）∈ [0，T]，即Lt=uT+βZtσsds+ZtσsdWs。定义Jt:=Hλt，我们用N表示J的泊松随机测度，也就是说，我们有Jt=R∞xN（[0，t]，dx）。用v表示J的L′evy度量，我们有thateN（dt，dx）：=N（dt，dx）- ν（dx）dt是补偿泊松随机测度。注意N和ν在[0，T]×（0，∞) 和（0，∞),分别地和ν（dx）=λνH（dx），其中νHis是H的L′evy度量。

此外，[4]中的命题3.10暗示∞（十）∧1） ν（dx）<∞. （2.2）我们需要对[1]中的ν施加以下长期假设。如下注2.2所述，尽管参数受到限制，但现有假设并不排除BNS模型的代表性示例。假设2.1（A1）上的L’evy测度ν相对于（0）上的Lebesgue测度是绝对连续的，∞).（A2）存在一个κ>0，使得oκ>β +++ 1.B（T），oκ≥β +B（T）和oR∞e2κxν（dx）<∞,其中B（t）：=Rte-λsds=1-E-λtλ代表t∈ [0，T]。备注2.2.1。当β=-, （A2）等价于ε>0的存在∞e（2+ε）B（T）xν（dx）<∞. 在[1]处理β=-,R∞e2B（T）xν（dx）<∞ 在假设2.2中假设，这与上述（A2）中β=-.2.我们不需要假设与[1]中假设2.2的第二个条件相对应的条件，因为在我们的设置中，MMM会自动成为概率度量，这确保了下面定义的MMM密度的正性。3.条件（A2）确保∞xν（dx）<∞, 也就是说E[JT]<∞. 此外，我们还有E[e2κJT]<∞ 根据[4]的第3.14条。条件（A1）保证了Nocolato和Venardos[6]中的假设Z1，这是我们在下面引理2.9的证明中需要的。5.假设2.1不排除σ的两个代表性示例，“IG-OU”和“Gamma-OU”。“IG-OU”指的是给定的νHis为νH（dx）=a的情况√2πx-（1+bx）e-bx（0，∞)（x） dx，其中a>0，b>0。σ的不变分布遵循a>0和b>0的逆高斯分布。然后σ被称为一个输出过程。如果B>2（“β +++ 1#∨β +)B（T），则满足假设2.1。接下来，“Gamma OU”是指σ的变量分布由a>0和B>0的Gamma分布给出的情况。

在这种情况下，νHis被描述为νH（dx）=abe-bx（0，∞)（x） dx。与IG-OU案例一样，假设2.1在B>2的情况下满足（“β +++ 1#∨β +)B（T）。有关此主题的更多详细信息，请参见[6]和[9]。2.1本地风险最小化在本小节中，我们定义了LRM。为此，我们明确了SC条件；并证明在假设2.1下，S满足它。如果以下三个条件成立，则S满足SC条件：[M] 1/2T+RT | dAs|L（P）<∞.（b） 定义过程∧t:=St-u+（β+）σtσt，我们有A=R∧dhMi。（c） 均值-方差权衡过程Kt:=Rt∧是有限的，即Kt是有限的P-a。s、 命题2.3满足假设2.1下的SC条件。证据仅显示（a）项即可。注意我们有[M] 1/2T+ZT | dAt|L（P）≤ 2E“[M]T+ZT | dAt|#≤ 2E“ZTSt-σtdt+ZTSt-u +β +σtdt#≤ 2E“sup0≤s≤TSs（ZTσtdt）+|uT+β +ZTσtdt)#.如果支持0≤s≤TSs∈ L2a（P）适用于足够小的a>1，而（a）项适用于下面的H？older不等式和引理2.4。现在，我们取a>1，这样(aβ+a++ a） B（T）<κ。（2.3）注意，我们可以从假设2中（A2）的角度找到这样一个a>1。1.我们再见≤s≤TSs∈ L2a（P）。因为我们有v eZtσsds=σZte-λsds+ZtZse-λ（s）-u） dJuds=σB（t）+ztue-λ（s）-u） dsdJu=σB（t）+ZtB（t- u） dJu≤ σB（t）+B（t）Jt≤ σB（T）+B（T）Jt（2.4）对于任何T∈ [0，T]，我们得到了ealt=expaut+aβZtσsds+aZtσsdWs= 前任警察微特-aZtσsds+aZtσsdWs+aβ+aZtσsds≤ C经验-aZtσsds+aZtσsdWs+ZtZ∞bxeN（ds，dx）+ZtZ∞[bx+1- ebx]ν（dx）ds=: CYa，bt，其中b：=aβ+a+B（T）和C:=exp{a |u| T+Bσ+RTR∞（ebx）-1） ν（dx）dt}。考虑到假设2.1中的（2.3）和（A2），引理2。5.Ya，bis是一个平方可积鞅。因此，杜布的不平等性是“sup0”≤s≤TS2as#=E“S2asup0≤s≤二氧化钛#≤ S2aCE“sup0≤s≤T（是，bs）#≤ 4S2aCE[（是，英国电信）]<∞.引理2.4RTσtdt∈ n（P）表示任何n≥ 1.证据。

从（2.4）的观点来看，有必要展示JT∈ n（P）表示任何n≥ 1.ByRemark 2.2，我们有E[exp{2κJT}]<∞, 哪个JT∈ Ln（P）跟在n后面≥ 1.引理2.5为a∈ R和b≥ 0，我们表示是，bt:=exp-aZtσsds+aZtσsdWs+ZtZ∞bxeN（ds，dx）+ZtZ∞[bx+1-ebx]ν（dx）ds.1.如果a和b满意∞经验2b+aB（T）十、ν（dx）<∞, （2.5）然后过程Ya，bis是鞅。2.当我们加强（2.5）托兹∞exp{（4b+2aB（T））x}ν（dx）<∞, （2.6）Ya，bis是一种平方可积的马丁酒。证据1.从石川[5]定理1.4的观点来看，我们只需要证明（1）R∞[bx+（1）- ebx）]ν（dx）<∞,（2） R∞[ebx·bx+1-ebx]ν（dx）<∞, 和（3）EhexpnaRTσtdtoi<∞.通过（2.2）和（2.5），条件（1）和（2）得到满足。接下来，[4]中的（2.5）和命题3.14暗示了EhexpnaB（T）JToi<∞, 条件（3）后面跟着条件（2.4）。表示γ：=2b+aB（T），我们有（Ya，bT）=exp- aZTσsds+2aZTσtdWt+ZTZ∞2bxeN（dx，dt）+ZTZ∞2[bx+1-ebx]ν（dx）dt≤ 前任警察-2aZTσsds+2aZTσtdWt+aσB（T）+aB（T）JT+ZTZ∞2bxeN（dx，dt）+ZTZ∞2[bx+1-ebx]ν（dx）dt= 前任警察-2aZTσsds+2aZTσtdWt+ZTZ∞γxeN（dx，dt）+ZTZ∞hγx+2- 2ebxiν（dx）dt+aσB（T）= 前任警察ZTZ∞h1-2ebx+eγxiν（dx）dt+aσB（T）Y2a，γT.在（2.6）下，我们有∞exp{2γx}ν（dx）<∞. 因此，我们可以看到Y2a，γ是一个鞅，其排序参数与第1项相同。此外，我们还有∞h1-2ebx+eγxiν（dx）<∞, 由此得出Ya，bt的平方可积性。接下来，我们根据Schweizer[11]的定理1.6给出了LRM的定义。定义2.6 1。Θsde注意到满足EhRTξtdhMit+（RT|ξtdAt |）i<∞.2.L-策略由一对φ=（ξ，η）给出，其中ξ∈ ΘSandη是一个自适应过程，因此V（Θ）：=ξS+η是一个严格的连续过程，其中e[Vt（Θ）]<∞ 每一个t∈ [0，T]。注意，ξt（分别为ηt）代表投资者在t.3时持有的风险资产（分别为无风险资产）的单位数量。

索赔F∈ L（P），由CFt（φ）定义的过程CF（φ）：=F1{t=t}+Vt（φ）-RtξsdSsis称F.4的成本过程为φ=（ξ，η）。如果VT（~n）=0且CF（~n）是一个与M正交的鞅，即[CF（~n），M]是一个统一的可积鞅，则称L-策略ν为索赔F的局部风险最小化（LRM）。5.F∈ L（P）允许F¨ollmer-Schweizer分解（简称FS分解），如果它可以用F=F+ZTξFtdSt+LFT来描述，（2.7），其中F∈ R、 ξF∈ ΘSand LF是LF=0的平方可积正交鞅toM。有关LRM的更多详细信息，请参见Schweizer[10]，[11]。现在，我们介绍LRM和FS分解之间的关系。命题2.7在假设2.1下，当且仅当ifF允许FS分解时，F列的LRM~n=（ξ，η）；其关系式为ξt=ξFt，ηt=F+ZtξFsdSs+LFt- F1{t=t}- ξFtSt。证据这来自[11]的命题5.2，以及命题2.3。因此，有必要得到ξFin（2.7）的表示，以获得索赔F的LRM。此后，我们用LRM F或F.2.2最小鞅测度确定ξF。我们需要研究MMM，以讨论FS分解。概率测度P*~ 如果S是P，则P称为最小鞅测度（MMM）*-鞅；任何平方可积的P-鞅正交toM都是P下的鞅*. 现在，我们考虑以下SDE:dZt=-Zt-∧tdMt，Z=1。（2.8）（2.8）的解是-R·∧tdMt。更准确地说，表示：=λtSt-σt=σt+β +σt（2.9）表示t∈ [0，T]，我们有∧tdMt=utdWt；andZt=exp-Ztusds-ZtusdWs. （2.10）看到ZT成为MMM的密度，就足以显示ZT的平方可积性。提案2.8 ZT∈ L（P）。证据首先，存在一个常数Cu>0，使得UT=uσt+2uβ ++β +σt≤ 特写+β +σtby（2.9）。

因此，（2.10）意味着ZT=ex p-2ZTutdt-ZT2utdWt+ZUTDT≤ 前任警察(-2ZTutdt-ZT2utdWt+TCu+β +ZTσtdt）≤ 前任警察(-2ZTutdt-ZT2utdWt+TCu+β +[σB（T）+B（T）JT]）≤ 前任警察TCu+β +σB（T）+ZTZ∞[eκx-1] ν（dx）dt×exp-2ZTutdt-ZT2utdWt+ZTZ∞κxeN（dx，dt）+ZTZ∞[κx+1-eκx]ν（dx）dt,自从β +B（T）≤ κ-by（A2）。此外，备注2.2暗示经验ZTutdt≤ E“exp（2TCu+2β +ZTσtdt）#≤ ex pn2TCu+2κσoEhe2κJTi<∞.因此，我们可以通过与引理2.5中第1项的证明相同的方式看到Zt是可积的。从今以后，我们用P表示MMM*, 也就是说，我们有ZT=dP*数据处理注意，dWP*t:=dWt+utdt是P下的布朗运动*; 在P下，andeN仍然是一个鞅*. 请注意，我们可以重写（2.1）和LTas dSt=St-σtdWP*tand LT=RTσsdWP*s-RTσsds分别为。下面的引理对于在P下建立Malliavin演算是必不可少的*.引理2.9 WP*是独立的；和WP*t+RtR∞禅（ds，dz）（=：X）*t） 艾尔维耶夫的过程是什么*.证据这是由[6]中的定理3.2给出的。请注意[6]中的假设Z1 Z3是他们的长期假设。假设Z1和Z2在假设2.1的设置中得到满足。另一方面，假设Z3不一定成立，但[6]中的定理3.2不需要它。备注2.10过滤F与WP产生的强化过滤一致*安登。2.3 P下的Malliavin演算*这里，关于(Ohm, F、 P*) 作为潜在的概率spac e，我们为X公式化了Malliavin演算*在P之下*基于Petrou[7]和REAULD[8]的第5章。尽管[1]采用了Sol\'e等人[12]提出的规范L\'evy空间框架，但我们需要采用不同的方法来定义Malliavin导数，因为规范L\'evy空间的性质在度量变化下不会保持不变。首先，我们需要准备一些符号；并定义与WP有关的itera ted积分*安登。

表示U:=[0，T]和U:=[0，T]×（0，∞),我们定义（A）：=ZAdWP*t任何∈ B（U），Q（A）：=ZAeN（dt，dx）表示任何A∈ B（U），hQi:=m，hQi:=m×ν，其中m是U上的勒贝格测度。我们d enoteG（j，…，jn）：=（（uj，…，ujnn）∈N∏k=1Ujk:0<t<·n<t）∈ N和（j，…，jn）∈ {0，1}n，其中ujkk:=tkif jk=0；和：=（tk，x）如果k=1时jk=1，n、 我们将n次迭代积分定义为：J（J，…，jn）n（g（J，…，jn）n:=ZG（J，…，jn）g（J，…，jn）n（uj，…，ujn）Qj（duj）·Qjn（dujn），其中g（J，…，jn）是L中的确定函数G（j，…，jn），Nnk=1hQjki. 然后，文献[7]中的定理1确保*) 随机变量F表示为迭代积分之和，也就是说，我们可以找到确定性函数G（j，…，jn）n∈ LG（j，…，jn），Nnk=1hQjki为了n∈ N和（j，…，jn）∈ {0，1}n表示F具有以下混沌展开式：F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）∈{0,1}nJ（j，…，jn）n（g（j，…，jn）n）。（2.11）注意，（2.11）中的有限级数收敛于L（P*).现在，我们定义了Malliavin可微随机变量的空间；和一个Malliavin导数算子D，表示1≤ K≤ n和t∈ （0，T），Gk（j，…，jn）（T）：=（uj，…，ujk）-1k-1，ujk+1k+1，ujnn）∈ G（j，…，jk）-1，jk+1，。。。，jn）：0<t<·tk-1<t<tk+1<tn<t,我们定义DasD：=F∈ L（P*), F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）∈{0,1}nJ（j，…，jn）n（g（j，…，jn）n）：kg（0）kL（m）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×ZTg（j，…，jk）-1,0，jk+1，。。。，n（…，t，…）LGk（j，…，jn）（t）dt<∞.此外，对于F∈ 丹特∈ [0，T]，我们定义tf:=g（0）（T）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×J（J，…，jk）-1，jk+1，。。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1，。。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）.3主要结果我们给出了买入和卖出期权的LRM的显式表示作为主要结果。