合作的进化优势

同样，我们认为合作没有直接好处。在我们的基本架构中，成本和收益随着合作的影响而随着时间平均增长率而显现。将（等式9）代入（等式11）得到动态，然后是每个合作者的生物量，y（N）（t）=y（N）（t）ut+σNNXi=1ξi√T（12） 独立正态变量的和是正态的。我们定义了一个标准正态变量ξ（N）≡√NNXi=1ξi~ N（0，1），（13），这允许我们将（等式12）改写为y（N）（t）=y（N）（t）ut+σ√Nξ（N）√T. （14） 因此，N个单独的波动在汇集和平等分享的情况下的净效应是一个单一的等效波动，其振幅为1/√N倍于单个函数。代入（等式12）并让时间递增T→ 0，我们恢复了一个随机微分方程，其形式与（等式1）相同，但波动率从σ降低到σ/√N:dy（N）=y（N）udt+σ√新界西北（北）. （15） 4合作难题的分析与解决非合作者hx（t）i和相应的合作者hy（t）i的生物量期望值相同，初始生物量x（0）相同：x（0）exp（ut）。从这个角度来看，没有合作的动力。此外，在增长阶段之后（等式9），合作对中的更好实体，比如y（0）>y（0），可以通过打破合作契约，将其未来预期值从[（y（0）+y（0））/2]exp（ut）增加到y（0）exp（ut）。分析期望值的增长没有理由让合作产生，如果合作真的产生，那么合作就有很好的理由结束。从这个角度来看，合作看起来很脆弱，它在自然界中的频繁观察似乎令人费解。解决这个难题的方法是改变视角，考虑时间平均增长率，而不是整体平均增长率。我们从（等式6）中了解到，非合作实体的增长速度为？g（xi）=u-σ/2时间过长。

通过将σ改为σ，可以发现合作动力的类似增长率（公式15）/√N在（等式6）中得到“g”y（N）= u -σ2N。（16） 对于任何非零波动率，合作者的时间平均增长率都要快于非合作者。保费随着合作者数量的增加而增加，为1- 1/N，\'gy（N）- \'g（xi）=σ1.-N, （17） 这意味着大型合作社比小型合作社更受青睐。从我们的模型来看，合作者最终将主导环境，合作将变得无处不在。图2通过直接模拟（等式7）-（等式8）和（等式12）说明了影响。注意图2中蒙特卡罗模拟的本质。Noensemble是构造的。只模拟单个轨迹，并运行足够长的时间，以便统计上显著的特征从噪声中显现出来。这种方法从动力学中梳理出超时发生的事情。模拟一个集合并对成员进行平均以消除噪声是一个不同的过程，它讲述了一个不同的故事。通常情况下，在对一个集合进行平均时，噪声中出现的特征也不会随时间而出现。从（等式16）中，我们可以看到，只有当运营商数量增加时，ACO运营商的时间平均增长率才接近非合作者（或者，实际上是有限合作者的成员）的期望值增长率，limN→∞\'gy（N）= u. （18） 图2中的粉红色虚线描绘了非合作者生物量预期值的时间演变，它与个体非合作者（绿色）和小型合作者（蓝色）的生物量几乎没有相似性。5模型的概括5。1特殊实体真正的合作社成员既有不同的能力，也有不同的财富。我们已经将后者建模为（等式1）中噪声的不同实现。

前者我们可以通过推广（等式1）来处理，这样实体就有特殊的漂移和波动，dxi=xi（uidt+σidWi），（19）对于i=1。N.一些实体的个人时间平均增长率高于其他实体。这引发了一些问题。与落后者分享是否有利于领导者？非合作者何时应加入合作团体？团体什么时候允许？重复对增长、合并和共享的分析得出一个修改后的图2：两个不合作（绿色）实体和相应合作单位（蓝色）在对数垂直尺度上的典型轨迹。随着时间的推移，合作者的噪音降低会导致更快的增长。即使没有专业化的影响或新功能的出现，合作从长远来看也是有好处的。细黑线表示非合作实体的平均值，远低于合作单位。在一般的字面数学意义上，整体y（t）+y（t）比其部分x（t）+x（t）之和更重要。合作的代数不仅仅是总结的代数。期望值增长率（粉红色虚线增长时）是指在有限多个合作者的限制下的增长率。动态y（N）（t）=y（N）（t）NNXi=1uit+NNXi=1σiξi√t！=y（N）（t）u（N）t+σ（N）ξ（N）√T. （20） ξ（N）与之前一样是标准正态变量，而u（N）≡NNXi=1ui，σ（N）≡NvuutNXi=1σi（21）是有效的漂移和波动性参数。因此，合作者的生物量按照y（N）=y（N）进化u（N）dt+σ（N）dW（N）, （22）时间平均增长率为y（N）= u（N）-（σ（N））=NNXi=1ui-σi2N. （23）这是每个实体通过与类似实体合作将实现的时间平均增长率的样本平均值，c.f.（等式16）。现在我们可以回答问题了。如果“g”加入合作社，实体j将受益y（N）> \'g（xj），即ifNNXi=1ui-σi2N> uj-σj。

（24）同样，通过承认实体j ifNNXi=1，合作收益也会增加ui-σi2N>N- 1NXi=1i6=jui-σi2（N）- 1). （25）考虑两个实体，其中u>u和σ<σ，因此x的生长速度比x快。重新排列（等式24）对于N=2，我们发现如果u- 3σ/4 < u- σ/4.5.2相关函数第二个概括涉及相关性。在我们的模型中，不同实体经历的波动是不相关的：dWiin（等式1）和ξiin（等式7）是独立的随机变量。在现实中，合作者往往在空间上是局部的，并经历类似的环境条件。通过允许ξi之间的相关性，我们的模型可以适用于描述这种情况。假设ξi~ 在给定的时间步中实现的N（0，1）是联合正态和互相关的，使得hξiξji=ρij。为简单起见，假设ρij=（1，i=j，ρ，i6=j，（26），即所有不同实体对的函数具有相同的方差ρ，其中|ρ|≤ 1.协方差矩阵的更一般的情况是不等边对角元素，这种情况也很容易处理，但在没有照明的情况下会增加复杂性。互相关的存在改变了（等式12）中正常变量之和的计算。我们现在有nxi=1ξi~ N（0，N+N（N- 1)ρ). （27）正方差要求ρ为-1/（N）- 1) ≤ ρ ≤ 1.等式（27）建议定义标准正态变量ξ（N），类似于（等式13）≡pN+N（N- 1） ρNXi=1ξi~ N（0，1），（28），使得y（N）中的变化可以写成y（N）（t）=y（N）（t）ut+σr1+（N- 1） ρNξ（N）√T（29）类似于不相关情况下的（等式14）。如果没有相关性，合作会降低从σ到σ的波动幅度/√N.有了它们，波动幅度变为σρ≡ σr1+（N）- 1） ρN.（30）σρ随ρ和N的变化描述了该广义模型的主要特征。

首先，作为一致性检查，我们注意到σρ→ σ/√Nasρ→ 0表示固定N，在适当的限制下恢复不相关的结果。对于所有N>1，我们有0≤ σρ≤ σ、 σρ=σ当且仅当ρ=1。换句话说，如果各种因素之间没有完美的关联，那么合作的好处总是存在的。这是很直观的。有了完美的相关性，所有的ξi都是相同的，而池和共享则一事无成。合作社相当于一个巨大的个体沿着一条直线运动（方程式1）。一旦实体之间的波动出现某种变化，合作机制就可以开始缓解波动对增长的负面影响。此外，我们还有σρ→ σ√ρas N→ ∞, 与0≤ ρ ≤ 1在这个限度内。因此，通过添加合作者可实现的最大时间平均增长率为limN→∞\'gy（N）= u -σρ（31）c.f.（等式18）。这不能超过u（因为ρ是非负的），并且随着ρ的增加而减小。同样，这与直觉是一致的：随着各种因素变得更加相关，它们之间的差异会减少，而合作的范围也会缩小。在我们的架构中，合作依赖于个体结果的多样性。5.3部分合作我们模型的另一个推广是部分合作。在这里，实体仅共享其资源的一小部分，例如，类似于人类社会中的税收和再分配。我们在一篇单独的文章（Berman et al.，2017）中对此进行了讨论。6讨论我们的模型只假设进化过程是乘法和噪声的。在这种情况下，合作的进化优势来自于增长率对时间波动的非线性依赖。通过降低波动幅度，联营和共享提高了合作实体的时间平均增长率。

这描绘了合作的顶点，由自利驱动，而不是利他主义，合作者超过了类似的非合作者。我们的模型很好地描述了自然界事物的发展，它预测了合作将是普遍的。作为许多相关变化为独立随机变量的过程的吸引子，我们期望该模型能够重现许多自我复制的真实例子。在现实中，许多影响有助于合作结构的形成。大型合作社的成员可以协调他们的行动，以开发新的功能，例如向营养物游去的能力。多细胞生物中的细胞在特定的任务中分化和特化。人类的合作也是类似的，企业和个人都能胜任不同的角色。通过在最小假设下找到合作利益，我们的分析可能会揭示没有这种影响的合作案例。特别是，它可以解释从单细胞到双细胞生物体的转变，这种转变太小、太简单，无法从新的功能或专门化中获益。经典的合作治疗方法是基于捐赠者与接受者互动中的净能力增益。产生这种效益的普遍机制将加强他们的理论基础。在我们的噪声自我复制模型中，我们将通过合作实现的时间平均增长率的增加确定为净能力增益。这与生物头韵中的几何平均值概念一致。风险降低对长期增长的影响表明，风险管理具有鲜为人知的重要性。减少波动，或者说良好的风险管理，不仅仅是减少灾难发生的可能性或上下波动的幅度。它还提高了风险管理结构的长期性能。

虽然减少波动的效果取决于具体的设置，但令人欣慰的是，乘法增长的简单和普遍设置有利于大型合作单位的结构。只有在19世纪统计力学的发展中，人们才认识到时间平均值可能与期望值不同，在19世纪，期望值的物理性质被确定为非相互作用系统集合的平均值。20世纪和21世纪的因格理论的发展提供了一些概念，这些概念揭示了随机过程的物理相关方面，如（方程式1）。今天，我们可以使用数学工具来理解非线性动力学效应，如本文所述。运用这些工具表明，我们天生的合作倾向——表现在我们的直觉和道德情感上——与对所涉及问题的仔细正式分析是一致的。感谢我们感谢D.Krakauer提供的有用意见，以及Baillie Gi ff对伦敦数学实验室遍历性经济学项目的支持。参考ADAMOU，A.和O.Peters 2016。不平等的动态。重要，13（3）：32-35。艾奇森，J.和J.A.C.布朗1957。对数正态分布。剑桥大学出版社。纽约州伯曼、O.彼得斯和A.阿达莫2017。遍历假设的实证检验：美国的财富分布。可从SSRN获得：https://ssrn.com/abstract=2794830.Gillespie，J.H.1977。春数变异的自然选择：一个新的进化原理。是纳特。，111:1010–1014.兰德，R.2007。预期相对舒适度和flucturatingselection的适应性地形。《进化》，61:1835-1846。Lewontin，R.C.和D.Cohen1969。关于随机变化环境中的人口增长。过程。纳特。Ac.Sci。，62(4):1056–1060.梅多斯，D.H.，D.L.梅多斯，J。

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