计算信用卡客户交易的最佳限额

报贩问题的目的是确定要储存的报纸数量，这将使预期利润最大化。根据Porteus（2002）中的公式，让A（t）表示单个时间段内对报纸的随机需求，l 报纸的库存水平和γ和ν分别代表单位利润和成本。新闻供应商在一段时间内的预期收入为γE[a（T）∧ l], 代表新闻供应商订购足够多的报纸以满足需求A（T），或订购数量不足的情况，在这种情况下，新闻供应商出售全部库存l 在这一时期开始时订购。新闻供应商产生的成本只是每一份新闻报纸的单位成本，ν乘以n份新闻报纸的数量l 他选择订购。因此，问题是要确定l*:= arg maxl∈R+γE[A（T）∧ l] - νl, （22）这与等式（4）中的问题类似。NewsVendor问题有一个关于a（T）分布的众所周知的解决方案。为了便于比较，我们可以将（4）改写为^l = arg maxl∈∧γE[A（T）∧ l - U]- νl, （23）其中U是描述过程下冲的随机变量，以a（T）>l. 因为当输入过程A（t）超过l 在周期T结束之前，wehaveE[A（T）∧ l - U] =P（A（T）≤ l) E[A（T）|A（T）≤ l]+ P（A（T）>l) E[l - U|A（T）>l] . （24）然而，使用该公式的解决方案需要明确了解U的分布（或相当于，l - U）通常很难获得。这两种模型之间的差异在于，在客户超过其信用限额的情况下，采购模型的余额（概率为1）严格小于限额l, 无论何时，新闻供应商总是销售l 只要需求超过l.

如果客户尝试购买价值为z的商品，并将当前未偿余额X超过信用额度，则后一种模式将适用于cr编辑限额的情况l, 只有l-x被记入卡中，然后不允许进一步购买。在我们的模型中，这显然是一个不令人满意的例子，因为这将涉及商家只接受购买任何商品的部分付款。一种改进的信用卡使用模式将允许客户在购买被拒绝后继续尝试购买，因为实际上，银行的卡管理系统将允许任何数量的购买，只要总价值不超过l. 让我们l（t） 表示本控制政策下未清余额的价值。我们可以推导出B的尾函数的积分方程l（t） 通过将另一种情况添加到等式（8）中，以包括如果第一次跳转接管该过程，则该过程从其原始位置重新开始的可能性l. 然而，对于‘B’的尾函数的拉普拉斯变换，有一个封闭形式的表达式l（t） 当我们将第三个术语包括在内时，不会立即公布。或者，我们可以通过使用NewsVendor模型和我们开发的模型来获得在拒绝后允许进一步购买时设定的限制，该模型可以防止在第一次拒绝购买后进一步购买。我们请求l（T）]≤ E“B”l（T）≤ E[A（T）∧ l] . （25）E[B]l（T）]≤ E[A（T）∧ l] 根据积分形式的期望值的直接比较，Zlz FA（dz）+1.-FA(l)Zlz FZ（dz）≤Zlz FA（dz）+1.-FA(l)l. （26）我们认为E[B]l（T）]≤ E“B”l（T）因为在拒绝购买后允许进一步购买的余额控制政策不能降低预期余额。

同样，E“B”l（T）≤ E[A（T）∧ l] 因为在NewsVendor控制政策下，拒绝购买总是会导致未付余额l, 但在允许采购重审的政策下，情况未必如此。我们现在要求^l ≥l ≥ l*（27）在哪里l := arg maxl∈ΛγE“B”l（T）- νl（28）及l*:= arg maxl∈ΛγE[A（T）∧ l] - νl, （29）直接从（25）开始。报童模型中的最佳限制由下式给出：l*= infnl : FA(l) ≥γ - νγo，（30）和表3显示了当输入过程a（t）是到达率为λ的复合泊松过程和参数为u的指数跳跃时计算的最佳极限。使用新闻供应商模型和流程B获得的限制之间的差异l（t） 如表4所示。这些差异给出了由于使用余额控制政策而导致的模型误差的度量，在试图超过信用卡限额后，会阻止进一步购买。在本节中，我们将我们开发的模型应用于来自acredit卡客户的实际数据。为了本研究的目的，作者获得了两组匿名信用卡交易的数据集。第一个数据集包含已过账交易，即已批准的购买和付款，还包括利息、费用、撤销和其他自动交易。第二个数据集描述了授权，即客户尝试的购买和付款。过账交易数据集d描述了持有3971个账户的3734名客户在2011年2月8日至2013年2月27日之间进行的771457笔交易的价值和处理日期。

在771457笔交易中，1/u20 40 60 80 1001 776.78 1、553.55 2、330.33 3、107.10 3、883.881、449.38 2、898.76 4、348.14 5、797.52 7、246.90λ32、105.02 4、210.04 6、315.06 8、420.09 10、525.112、751.91 5、503.81 8、255.72 11、007.63 13、759.543、393.20 6、786.41 10、572.16，表966的数值：l*, 使用newsvendormodel发现的最佳限值，γ=0.0 054，ν=0.0007，T=30.1/u20 40 60 80 1001 21.44 42.89 64.33 85.77 107.2121.02 42.05 63.07 84.09 105.11λ320.84 41.67 62.51 83.34 104.1820.72 41.45 62.17 82.90 103.6220.65 41.30 61.95 82.59 103.24表4：^的值表4l - l*, 使用过程B计算的最佳极限之间的差异l（t） 还有报童模式。511969是零售购买交易，84503是付款。除上述内容外，该数据集还包含识别商户信息，允许我们按门店类型对交易进行分类。授权数据集描述了2011年2月7日至2013年2月27日之间进行的405844笔交易的价值和交易时间，精确到第二次。该数据集还包含账户信用额度，并说明交易是否得到批准或取消，如果交易被拒绝，则说明原因的代码（例如，资金不足或PIN输入错误）。这些交易由4333个信用卡账户中的3734名客户完成。由于数据提取过程中遇到的问题，我们只能将授权交易记录与2246名客户发布的交易记录进行匹配。

这些客户尝试了288423次购买，其中223804次获得批准。为了说明本文开发的模型，我们提取了一个单一客户的交易，该客户在该期间的账户没有利息费用，因此被认定为交易人。我们对交易进行了筛选，仅包括在超市进行的交易，因为它们在信用卡上的购买量中占很大比例（732笔中有306笔），并且在授权和过账交易数据集中都很容易识别。对时间序列进行了修改，以排除因POS设备错误或输入错误而被拒绝的交易。对几家信用卡持有者的超市交易进行的初步分析显示，交易偶尔会及时聚集。这可以用许多客户行为来解释。例如，消费者可能只会去su permarket，发现他们购买的一些商品不可用，所以他们会购买库存商品，然后去附近的另一家超市购买剩余的商品。这也可能是因为顾客忘记了一些商品，然后很快回到同一家商店购买。考虑到这一点，相互之间在一小时内进行的交易被合并为一笔交易，并包含这些交易的总价值。这名顾客在473天的时间里在多家超市购买了306件商品，共计11469.44美元。这相当于每笔交易约37.36美元或每天24.25美元。在30天的时间里，总共有727.50美元用于购买，远远低于5000美元的账户信用额度。我们对修改后的时间序列的购买值进行了Γ分布，并使用最大似然估计估计了形状和规模参数。

使用双面Kolmogorov-Smirnov检验统计量DN=supx | Fn（x）- F（x）|（31）其中Fn（x）是经验分布函数，F（x）是拟合分布的分布函数，我们发现，如表5中的结果所示，在0.05水平上，该分布具有统计学意义。为交易间时间找到适当的分布并不那么简单，因此在本例中，我们假设交易间时间遵循参数λ的指数分布，我们根据交易间时间平均值的倒数估计，参数λ=0.6451±0.0369。我们进一步假设了采购价值和相互购买时间的独立性，但请注意，这种假设可以通过计算相互购买时间和购买价值之间的一致性来检验（见Brillinger（2012）中的定理4.4）。相互购买时间和购买价值之间可能存在一定程度的差异，尤其是在超市交易中，因为大量相互购买时间意味着客户已经有一段时间没有去过超市了，因此下一次购买很可能是大量的。替代统计估计为0。0350p值0.8623^u（形状）2.8946±0.2258^k（尺度）0.0769±0.0065表5：Kolmogorov-Smirnov检验统计和Γ-购买值分布的分布形状和尺度参数估计。~g（ω；λ）=λ+ω！和f（θ；u，k）=uu+θ！将k（32）转化为方程（17）并从ω到t进行一次逆变换，我们得到了期望及其导数θ的拉普拉斯变换E[B]l（t） ]=kθ（u+θ）u+θ！k1- eλtuu+θK-1.1.-uu+θk（33）和lθlE[B]l（t） ]=ku+θu+θ！k1- eλtuu+θK-1.1.-uu+θK

（34）对于使用报童模型的计算，我们使用复合泊松过程的尾函数的拉普拉斯变换，该过程具有Γ-分布跳跃，ΓAΓ（ψ）=ψ1- exp（λT）uu + ψK- 1!)!, Re（ψ）>- u（35）和LθE[A（T）∧ l]=Z∞E-θlZlP（A（T）>y）dy dl =θ~AΓ（θ）。（36）同样，我们假设交换率γ=0.0054，资金成本ν=0.0007，报表期长度T=30。将估计参数^λ、^u和^k代入方程（34）-（35），我们得到表6中的结果。我们再次使用二分法搜索和欧拉算法来计算最优极限。该表显示了原始限额下的预期余额、预期利润和拒绝购买的概率、最佳限额的上限和下限以及修订限额。最优限额的界限与顾客每月超市的平均花费一致。记得我们说过客户在30天内花了727.50美元；上限和下限产生的预期余额仅超过714美元。可支持性的增加是巨大的，但我们注意到，鉴于我们的分析仅限于那些在超市购买的商品，这是一个非常重要的问题。由于大多数发卡机构都提供500美元的倍数限额，因此建议修改限额。如表所示，在最佳状态下，与利润的偏差可以忽略不计，但客户遭受拒绝购买的可能性稍小。

虽然表6中的结果显示，由于将信贷限额降低到最佳限额，可盈利能力显著提高，但应该注意的是，这样做将实质上提高原始最佳修订限额5000.00美元[947.83美元，$973.81美元]$1000.00美元的预期余额728.64美元[714.06美元，$714.09][717.13美元，$719.64]预期盈利0.44美元[3.17美元，$3.19][3.17美元，$3.19]下降的概率0。0000[0.1060,0.1296]0.0857表6：预期余额、预期利润和原始限额下下线采购的概率、最优限额的上限和下限以及建议的修订限额。如果cu stomer的购买行为保持不变，则增加其被拒绝购买的可能性。毫无疑问，这对客户来说是一次糟糕的体验，在对客户的信用额度进行任何更改之前，应考虑这对客户和银行造成的后果。讨论我们提出的模型有许多简化的假设。正如引言中提到的，交易行为的假设既有效又有用，因为大多数信用卡组合主要由表现出这种行为的客户组成，他们通过交换形成了重要的收益来源。通过在（1）中加入另一个描述部分还款如何产生利息的术语，我们可以扩展模型，以包括部分偿还未偿余额的可能性。然后，为了得出最终的最佳限额，需要对支付行为和账户保留部分未付余额时新购买的价值进行额外假设。

鉴于其在信用管理中的应用，我们认为这是一个值得进一步研究的问题。我们假设，尝试购买过程是一个标记点过程，具有购买间时间分布G和购买规模分布F，并且这些分布在剩余余额和信用额度方面保持不变。更现实的模型将包括国家依赖性，因为我们的数据表明，当客户接近信用额度时，他们要么减少购买频率，要么减少购买规模。另一种修改是将A（t）分解为一系列标记点过程，每个过程模拟不同类型的购买，如零售、餐厅、超市或现金预付款。与上述内容相关，我们对最佳限额的计算假设a（t）在信用限额发生变化时保持不变：改进的模型可能会考虑与限额增加（客户可能会增加其总尝试支出）相关的奖励，或者相应地，与减少（客户可能会决定取消其信用卡）相关的奖金。Soman和Cheema（2002）证明，信贷限额的增加只会导致客户在某些投资组合领域的支出增加。然而，有关信用额度降低对客户购买行为的影响的研究相对较少。此外，由于客户经验和系统原因，大多数银行向客户提供的限额都是500美元的倍数，因此很难准确实施由此产生的最佳限额。

尽管如此，我们认为该模型是对现有限额设定策略的有益补充，有助于理解限额变动对可操作性和客户体验的影响。感谢作者感谢Peter Brauns teins、Shaun McKinlay和NicholasRead在本论文的整个研究过程中进行了有益和热情的讨论。P.G.泰勒的研究得到了澳大利亚研究理事会（ARC）桂冠奖学金FL130100039和ARC数学和统计前沿卓越中心（ACEMS）的支持。参考文献阿巴特，J.和惠特，W.（1995）。概率分布拉普拉斯变换的数值反演。ORSA计算杂志，7（1）：36-43。阿罗，K.J。，Harris，T.和Marschak，J.（1951年）。最优库存策略。计量经济学：计量经济学学会杂志，第250-272页。小比尔曼，H.和豪斯曼，W.H.（1970）。信贷发放决定。管理科学，16（8）：B-519。布里林格，D.R.（2012）。平稳区间函数的谱分析。P.Guttorp和Brillinger，D.R.，编辑，David Brillinger精选作品，第25-55页。斯普林格。Chiera，B.和Taylor，P.（2002年）。容量单位值多少？《工程与信息科学中的概率》，16（04）：513–522。克鲁克，J.N.，埃德尔曼，D.B.，和托马斯，L.C.（2007）。消费信贷风险评估的最新进展。《欧洲运筹学杂志》，183（3）：1447-1465。迪里克斯，Y.M.和韦克曼，L.（1976）。对BiermanHausman信用授予模型的扩展。管理科学，22（11）：1229-1237。埃奇沃斯，F.Y.（1888）。银行业的数学理论。《皇家统计学会杂志》，51（1）：113-127。汉德，D.J.和布朗特，G.（2001年）。寻找信用卡数据中的宝石。IMA管理数学杂志，12（2）：173-200。汉德，D.J.和亨利，W.E.（1997）。