计算信用卡客户交易的最佳限额

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英文标题：
《Calculating optimal limits for transacting credit card customers》
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作者：
Jonathan K. Budd and Peter G. Taylor
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present a model of credit card profitability, assuming that the card-holder always pays the full outstanding balance. The motivation for the model is to calculate an optimal credit limit, which requires an expression for the expected outstanding balance. We derive its Laplace transform, assuming that purchases are made according to a marked point process and that there is a simplified balance control policy in place to prevent the credit limit being exceeded. We calculate optimal limits for a compound Poisson process example and show that the optimal limit scales with the distribution of the purchasing process and that the probability of exceeding the optimal limit remains constant. We establish a connection with the classic newsvendor model and use this to calculate bounds on the optimal limit for a more complicated balance control policy. Finally, we apply our model to real credit card purchase data.
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中文摘要：
我们提出了一个信用卡盈利模式，假设持卡人总是支付全部未偿余额。该模型的动机是计算一个最佳信贷限额，这需要一个预期未偿余额的表达式。我们推导了它的拉普拉斯变换，假设购买是根据一个标记点过程进行的，并且有一个简化的余额控制政策，以防止超过信贷限额。我们计算了一个复合泊松过程的最优极限，并证明了最优极限随采购过程的分布而变化，超过最优极限的概率保持不变。我们建立了一个与经典报童模型的联系，并用它来计算一个更复杂的平衡控制策略的最优极限的界限。最后，我们将我们的模型应用于真实的信用卡购买数据。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Calculating_optimal_limits_for_transacting_credit_card_customers.pdf (170.94 KB)

2022-5-8 09:11:21 上传

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关键词：信用卡 Quantitative Optimization distribution outstanding

计算信用卡客户交易的最佳限额J。K.Budd&P.G.Taylor*我们提出了一个信用卡稳定性模型，假设持卡人总是支付全部未付余额。该模型的目的是计算一个最佳信贷限额，这需要对预期未偿余额进行表达式。我们推导了它的拉普拉斯变换，假设购买是根据一个标记点流程进行的，并且存在一个简化的余额控制政策，以防止超过信贷限额。我们计算了一个复合泊松过程的最优极限，并表明最优极限随着采购过程的分布而变化，并且超过最优极限的概率仍然不变。我们与经典的报童模型建立了联系，并用它来计算一个更复杂的平衡控制策略的最优极限的界限。最后，我们将我们的模型应用于真实的信用卡购买数据。关键词：银行业；资金；优化；随机过程；统计数字时间序列。简介零售信用卡投资组合的管理者定期采用建模技术，在整个客户生命周期中帮助和自动化决策。在获得客户时，决定是否授予信用，如果授予信用，金额是多少。在客户生命周期的后期，可能会出现诸如增加限额或差别利率等激励措施，因此问题在于确定哪些客户最有可能接受这种优惠，或者如果他们接受，哪些客户将产生最大的收益。有许多技术可用于模拟此类决策。有关使用的最常见技术的综述，请参见Rosenberg和Gleit（1994）、Thomas等人（2002年、2004年）、Crook等人。

（2007年）或Hand and Henley（1997年）对统计技术的特别强调。信贷限额分配的特殊问题已被几位作者分析过。*墨尔本大学数学与统计学院，澳大利亚帕克维尔3010。电子邮件：jkbudd@ms.unimelb.edu.au电子邮件：taylorpg@unimelb.edu.auBiermanHausman（1970）建立了一个动态规划模型，其中决策变量是是否授予信用以及金额。在他们的公式中，所提供的信贷量与不付款的可能性呈指数下降关系。他们的模型后来在Dirickx和Wakeman（1976）中进行了扩展，以消除从第一期开始，如果不付款，预期未来付款为零的假设。最近，Trench等人（2003）开发了一种马尔可夫决策过程（MDP），其目标是通过改变客户的信用额度或利率来优化客户的终身价值。因此，an d Thomas（2011）也使用MDP生成了动态信贷限额政策，其中状态空间是账户行为得分。我们在本文中解决的问题与前面提到的问题不同，因为我们感兴趣的是信用已经得到认可并设定了限额的情况。例如，如果客户已联系信用卡发行人请求增加限额或请求审查自动决定以拒绝限额增加，信贷风险经理或分析师可能会要求审查客户的限额。我们假设已经收集并保留了个人交易数据（购买和支付的历史记录），因此问题是我们是否应该根据个人客户的支出和支付行为修改其限额，以最大限度地提高银行的盈利能力。

特别是，我们关注客户表现出交易行为的情况。也就是说，客户定期在其月结单上发布的到期日之前全额支付ou T余额。我们建议在个人层面上使用交易数据进行建模，以便在信用卡投资组合中遇到的特定人群中产生进一步的差异。常见的情况是，大量低风险账户的行为评分相似，而且这通常是账户管理策略的关键输入，因此这些账户将得到相同的处理。对此类账户的个别交易模式的分析可以提供更多的差异，并导致制定更有利的策略。事实上，随着金融机构中数据仓库的日益普及，交易级数据的可用性在过去十年中大幅提升。尽管可用性有所提高，但很少有人试图利用这些数据开发新的客户管理模型。Hand and Blunt（2001）详细介绍了数据挖掘技术在英国信用卡交易数据库中的应用。尤其是，他们模仿加油站的消费行为。Till and Hand（2003）还使用了加油站信用卡交易数据库，并对交易时间进行了各种分配。这在Till（2001）中得到了更详细的解释。本文开发的模型与投资理论中使用的模型具有相似性，尤其是Arrow等人（1951年）分析的模型，该模型通常被称为报童模型，最初归因于Ed geworth（1888年）。

众所周知，报童模型在输入需求分布的分位数函数方面有一个解决方案，但我们的模型公式引入的差异需要其他方法的解决方案。我们遵循与Chiera和Tay lor（2002）中使用的方法类似的方法，通过拉普拉斯变换获得解，然后按照Abate和Whitt（1995）中描述的算法进行数值反演。个人信用卡稳定性模型考虑有限制的信用卡l > 0，无年费或忠诚计划。让Bl（t） 表示时间t时的余额，R（t）表示截至时间t时的累计收益。我们假设贷款机构必须支付一定比例的限额作为融资成本。现在，让0=t<t<t···<t成为一个计费时间序列，在这里，未清余额向客户计费，并且是一个未清余额全部或部分支付的时间序列，每个时间序列∈ （ti，ti+1），i=1，n、 泰晤士报通常被称为到期日，间隔（ti，ti+1）被称为第i个声明期，间隔（ti，si）被称为第i个无息期。为了简化问题，我们假设si=ti，i≥ 但请注意，这并不影响我们将要看到的模型的通用性。如果我们进一步假设客户表现出交易行为，并在每个结算期结束前支付了全部到期余额，则不会产生利息费用，对收入的唯一贡献将来自交换，我们假设交换发生在总购买金额的γ比例。

唯一的成本将是为分配给客户的限额提供资金的成本，以及在此期间（ti，ti+1）isR（ti+1）所赚取的利润- R（ti）=γBl（ti+1）- νl, 0≤ 我≤ n、 （1）由于余额的唯一贡献将来自该时期的新购买（ti，ti+1）。现在假设每个报表周期的固定长度T>0，并且客户的购买行为在每个周期内保持不变。那么我们只需要考虑一个周期，我们可以重写（1）asR（T）=γBl（T）- νl. （2） 现在考虑（2）的期望，我们有E[R（T）]=γE[Bl（T）]- νl. （3） 如果存在固定长度b>0的无息期，则不难看出我们可以通过将其添加到报表期长度中来解释其影响。我们现在通过确定适当的限额来最大化预期收入l ∈ 其中∧是一组允许的限制。定义^l := arg maxl∈∧nγE[Bl（T）]- νlo、 （4）如果∧是一个有限集，那么我们可以确定^l 通过简单计算∧中每个点（4）的右手边。在∧不可数的情况下，需要了解E[B]的一些性质l（T）]。I f E[Bl（T）]h ap pens是l 在T点，如果（4）中的最大值出现在∧的内部，我们可以确定^l 通过微分（3）并将右侧设置为0。这就产生了γ=lE[B]l（T）]。（5） 现在的任务是找到极限l 这将使（5）的右侧与左侧相等。我们是在一般情况下解决（4），还是在确定l via（5），我们需要一个E[B]的表达式l（T）]或其衍生产品（如果存在）。

我们将在下一节中开发此类表达式。尾部函数的积分方程我们假设持卡人试图根据A（t）=N（t）Xi=1ξi，（6）其中{ξi}i=1,2，。。。是一个非负的独立随机变量序列，具有公共的d分布函数F和N（t）是一个随机变量，独立于{ξi}i=1,2，。。。，用事件间时间分布G描述更新过程中（0，t）中的事件数。对于k=1，2，…，我们写tk=inf{t:N（t）=k}和τk=tk- tk-1，t=0。在本文的剩余部分，我们假设F和G都是指数级的，并且分布的所有矩都存在。这些条件有助于确保拉普拉斯变换f（θ）=Z的存在∞E-θzF（dz）和∧g（ω）=Z∞E-ωuG（du）（7）表示Re（θ）>σFand Re（ω）>σG，其中各自的收敛横坐标σFandσGoff和G严格小于零。现在假设银行对未偿余额实施控制政策，如果试图购买，将导致未偿余额超过信贷限额l, 该购买被拒绝，并且在结算期结束前，客户不得进行任何进一步的购买，直到支付的余额得到偿还。由于我们的客户是交易人，保证全额支付未偿余额。我们找到了尾部函数的表达式l（y，t）：=P（B）l（t）∈ （y），l])通过调节过程第一次跳跃的时间和价值。0<y≤ l, 我们要考虑三种可能性。这个过程跳到了某个z点∈ （0，y）在某个时候∈ （0，t），然后在这一点上自我再生。也就是说，一个新的过程从z开始，其行为与原来的过程类似，但会发生偏移l - 空间中的z和t- 你在我的时间。二、

这个过程会跳到某个z∈ （y），l] 在剩余时间间隔（u，t）内发生的任何后续跳变都不能使过程脱离时间间隔（y，l].iii.过程跳到某个z∈ (l, ∞). 如果发生这种情况，进程将在跳转点冻结。通过τ=τ和ξ=ξ，我们将上述情况结合起来，得出{Bl（t）∈（y），l]}| τ, ξ=（{Bl（t）-Bl(τ)∈（y）-ξ,l-ξ]}, τ ≤ t、 ξ≤ y1，τ≤ t、 y<ξ≤ l（8） 根据上述再生特性，Bl（t）-Bl（τ） 与B相同l-ξ（t）- τ） ，假设付款期为t- τ和cr编辑极限为l - ξ. 所以我们有{Bl（t）∈（y），l]}| τ, ξ=（{Bl-ξ（t）-τ)∈（y）-ξ,l-ξ]}, τ ≤ t、 ξ≤ y1，τ≤ t、 y<ξ≤ l（9） 根据全概率定律l（y，t）=ZtZySl-z（y）- z、 t- u） F（dz）G（du）+G（t）F(l) - F（y）. （10） 我们现在想要得到拉普拉斯变换＠S（θ，ω，ψ）：=Z∞Z∞ZlE-（ωt+θ）l+ψy）Sl（y，t）dy dl dt。（11） 由（10）可知|Sl（y，t）|≤ G（t）F（y）+G（t）F(l) - G（t）F（y）=G（t）F(l), （12） 由于指数级函数的乘积也是指数级的，我们有l当F和G为时，（y，t）为指数级，因此存在拉普拉斯变换（11）。将拉普拉斯变换应用于（10），经过一些重排后，我们得到了∧S（θ，ω，ψ）=θωψ∧g（ω）~f（θ）-~f（θ+ψ）1.- ~g（ω）~f（θ+ψ）。（13） 为了计算期望的（二维）拉普拉斯变换，我们注意到lθ，ωE[B]l（t） ]:=Z∞Z∞E-（ωt+θ）l)E[B]l（t） ]dl dt（14）=Z∞Z∞E-（ωt+θ）l)ZlP（B）l（t）∈ （y），l]) d y dl dt，（15）对应于计算S（θ，ω，0）。我们将l’H^opital规则应用于（13）以获得limψ→0~S（θ，ω，ψ）=limψ→0θωψg（ω）~f（θ）-~f（θ+ψ）1.- ~g（ω）~f（θ+ψ）=-~g（ω）θω1.- ~g（ω）~f（θ）ddθ~f（θ）。（16） 应该注意的是，E[B]的活力l（t） 可能不存在。的确，如果F是格，那么E[B]l（t） ]将是一个阶跃函数。

在导数确实存在的情况下，我们通过将（16）乘以θ得到它的拉普拉斯变换lE[B]l（t） ]= -~g（ω）ω1.- ~g（ω）~f（θ）ddθ~f（θ）。（17） 一个使用复合泊松过程的例子在本节中，我们使用等式（17）来计算根据复合泊松过程进行购物的无担保信用卡客户的最佳限额，该过程的利率为λ，购买规模与参数u呈指数分布。到达时间分布和购买规模d分布的拉普拉斯变换是f（θ）=u+θ和g（ω）=λ+ω（18），所以现在方程（17）变成了θ，ωlE[B]l（t） ]=λuω(θ + u)uω + θ(λ + ω), （19） 可以用解析的方法转化为yieldLθlE[B]l（t） ]=θuu + θ1.- 经验λtuu + θ- 1.!. （20） 由于有理函数指数的逆变换不是标准变换，因此对θ进行进一步的分析反演似乎并不容易。因此，我们采用EULER算法进行数值反演，详见Abate和Whitt（1995）。我们使用交换率γ=0.0054、资金成本ν=0.0007和报表期长度T=30计算了最佳限额。我们取∧=（0，5000），用二分法搜索方程（5）。表1显示了为λ和u值范围计算的最佳限值。信贷限额分配中的一个重要因素是客户因资金不足而拒绝购买的经验，在我们的模型中，这将导致客户在结算期结束前被禁止进一步购买。采购被拒绝的概率由a（T）的尾函数给出，在具有指数标记的复合泊松过程中，其具有拉普拉斯变换a（ψ）=ψ1- 经验λTuu + ψ- 1.!, Re（ψ）>- u.

（21）表2给出了在表1中计算的最佳限值下对方程（21）进行反演的结果。他们表明，当购买规模分布的速率参数改变时，倾斜购买的概率保持不变。事实上，通过将购买规模分配扩大一些α∈ R+，我们对输入过程A（t）进行缩放，如表1所示，对最佳极限进行缩放。下面的命题将这个结果形式化。命题1（最优极限的标度性质）。设A′（t）d=αA（t）和letBl（t） =sup0≤U≤t{A（u）：A（u）≤ l} B′呢l（t） =sup0≤U≤t{A′（u）：A′（u）≤ l}.然后是优化问题的解决方案^l′= arg maxl∈ΛγEB′l（t）- νl= αarg maxl∈ΛγE[Bl（t） ]- νl= α^l,只要^l ∈ Λ. 此外，我们有A′（t）>^l′= PA（t）>^l.附录中给出了上述命题的证明。1/u20 40 60 80 1001 798.22 1 596.44 2 394.65 3 192.87 3 991.091 470.40 2 940.80 4 411.21 5 881.61 7 352.01λ32 125.86 4 251.72 6 377.57 8 503.43 10 629.292 772.63 5 545.26 8 317.90 11 090.53 13 863.163 413.85 6 827.70 10 241.55 13 655.41 17 069.26表1：最佳限值表1。使用T=30的陈述期长度计算这些值，γ=0.0054和ν=0.0007.1/u20 40 60 80 1001 0.105 916 58 0.105 916 58 0.105 916 58 0.105 916 580.112 186 71 0.112 186 71 0.112 186 71 0.112 186 71 0.112 186 71λ30.115 131 27 0.115 131 27 0.115 131 0.115 131 270.116 938 21 0.116 938 21 0.116 938 21 0.116 938 210.118 1940.118 1940.13：表194当指定最佳限额时，信用卡客户经历拒绝购买的情况。与导言中提到的新闻供应商模型相比，我们建立的模型类似于随机需求的单周期新闻供应商模型。