统计性质的启发复杂性

凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。数学金融17449–476。比林斯利，P.（2008）。概率和测度。约翰·威利父子公司。布雷默，J.R.（2017）。启发性及其在风险管理中的应用。曼海姆大学硕士论文。Casalaina Martin，S.，Frongillo，R.，Morgan，T.和Waggoner，B.（2017）。多重观测。第30届学习理论会议论文集。K.迪尔伯恩和R.弗隆吉洛（2019年）。论语气和情态间隔的间接诱导性。统计数学研究所年鉴，1-14。Delbaen，F.（2002年）。广义概率空间上的一致风险测度。在金融和随机科学方面的进展。斯普林格，第1-37页。埃默，S.，克拉茨，M.和塔什，D.（2015）。实践中最好的风险度量是什么？标准度量的比较。《风险杂志》18,31–60.20 R.Frongillo和I.A.KashFissler，T.，Ziegel，J.和Gneiting，T.（2016）。预期短缺与回溯测试的价值风险影响是可以共同得出的。风险杂志。Fissler，T.和Ziegel，J.F.（2016）。高阶可诱导性和Osband原理。《统计学年鉴》441680-1707。Fissler，T.和Ziegel，J.F.（2019a）。风险范围值的可引出性。arXiv预印本arXiv:1902.04489。Fissler，T.和Ziegel，J.F.（2019b）。评分函数的顺序敏感性和等变性。《电子统计杂志》131166–1211。F–ollmer，H.和Schied，A.（2004）。随机金融：离散时间导论。F–ollmer，H.和Weber，S.（2015）。资本确定风险度量的公理化方法。金融经济学年度回顾7。弗隆吉洛，R.和卡什，I.（2014）。通过凸分析的一般真实性描述。在网络和互联网经济学中。斯普林格。弗隆吉洛，R.和卡什，I.（2015）。向量值属性启发。

在第28届学习理论会议记录中。弗隆吉洛，R.，梅塔，N.A.，摩根，T.和瓦格纳，B.（2019年）。多元观察回归。在第22届国际艺术情报和统计会议上。Gneiting，T.（2011）。制定和评估点预测。美国统计协会杂志106746-762。Gneiting，T.和Raftery，A.E.（2007）。严格正确的评分规则、预测和评估。《美国统计协会杂志》102359–378。格伦沃尔德，P.（1999）。将所有模型视为“概率”。在《计算学习理论第十二届年会论文集》中。ACM。葛兰沃尔德，P.D.（2008）。高斯已经用过的那个简单的装置。Festschrift纪念乔玛里萨宁75岁生日，293-304岁。海因里希，C.（2013）。功能模式是不可导出的。Biometrika 101245–251。Herrmann，K.，Hoffert，M.和Mailhot，M.（2018）。多元几何期望值。《斯堪的纳维亚国家学报2018》，629-659。赫巴塞克，K.和杰赫，T.（1999年）。集合论导论，第三版。华润出版社。兰伯特，N.（2018）。统计预测的启发和评估。预印本。兰伯特，新南威尔士州，宾诺克，D.M.和肖厄姆，Y.（2008）。引出概率分布的性质。第九届ACM电子商务会议记录。新南威尔士州兰伯特和Y.肖厄姆（2009）。对多项选择题给出真实的答案。参加第十届ACM电子商务会议。纽伊，W.K.和鲍威尔，J.L.（1987）。不对称最小二乘估计和检验。计量经济学：计量经济学学会杂志55819–847。奥斯班德，K.H.（1985）。为更好的成本预测提供激励。加州大学伯克利分校。拉马斯瓦米，H.G.，阿加瓦尔，S.和特瓦里，A.（2013）。低RankLoss矩阵的凸校正替代项及其在子集排序损失中的应用。在神经突中，pp。

1475–1483.拉马斯瓦米，H.G.和阿加瓦尔，S.（2016）。多类损失矩阵的凸校正维数。机器学习研究杂志17397–441。Rao，C.R.（1984年）。熵函数的凸性和多样性分析。课堂讲稿Nograph系列，68-77。Rockafellar，R.T.和Royset，J.O.（2013）。超分位数及其在风险、随机变量和回归中的应用。在理论上，受流动应用的驱动，第151-167页。Rockafellar，R.T.和Royset，J.O.（2018）。超分位数/CVaR风险度量：二阶理论。运筹学年鉴262，3-28。Rockafellar，R.T.，Royset，J.O.和Miranda，S.I.（2014）。超分位数回归，应用于模糊可靠性、不确定性量化和条件风险值。欧洲运筹学杂志234140-154。Rockafellar，R.T.和Uryasev，S.（2013）。风险管理、优化和统计估计中的基本风险四边形。Oper中的调查。瑞奇。和管理科学。18, 33–53.萨维奇，L.（1971）。引出个人的可能性和期望。JASA 66783-801。I.斯坦瓦特和A.克里斯曼（2008）。支持向量机。斯普林格。I.斯坦瓦特，C.帕辛，R.威廉姆森和张S.（2014）。财产的引出和识别。第27届学习理论会议记录。Stewart，G.（1991）。奇异值分解的摄动理论。SVD和信号处理II，算法，分析和应用，99-109。Urruty，J.-B.H.和Lemar\'echal，C.（2001年）。凸分析基础。斯普林格。王瑞伟（2018）。具有凸水平集的风险泛函。可通过SSRN 3292661获得。王瑞杰，J.F.（2015）。可引出的失真风险度量：一个简明的证明。统计与概率字母100172-175。齐格尔，J.F.（2016）。连贯性和启发性。

数学金融26901–918。统计特性的启发复杂性21A。命题2在k=∞, 我们解释R∞在命题陈述中称为“序列空间”，并要求在Cstrict中具有可微性。我们四类中的属性必须具有平方可和的值，这一限制对于证明中的损失L很重要，例如具有Clin Cstrong。证据让我们∈ Clin，所以对于某些φ，Γ（p）=Ep[φ（Y）]。承担损失L（r，y）=krk-2r·φ（y），在r的（假设有界）域上是可微的和Lipschitz连续的，并且是强凸的，常数u=2，显示出Γ∈ Cstrong。包容是不可能的 从定义开始，Cstrictis立即生效。最后，设L（r，y）是一个可微的、Lipschitz连续的、严格凸的损失函数，由此导出Γ。让V（r，y）=rL（r，y），wehaveΓ（p）=r==> rEpL（r，Y）=0。由于L是Lipschitz连续的，支配收敛定理给出了rEpL（r，Y）=0<==> EprL（r，Y）=0。相反，由于EpL（r，Y）是严格凸的，我们有rEpL（r，Y）=0意味着r的最优性，这反过来又给出了Γ（p）=r。这表明Cstrict 一、 这就完成了包裹体链。如Γid∈ Clin，每个属性都是Γid的链接，相应的复杂性都得到了很好的定义，不平等性紧接着从包裹体开始。B.第3B·1节中省略的材料。定理2的证明我们陈述并证明了一个更强的结果，它为损失函数提供了一种形式。下面给出的损失函数的范围与Fissler和Ziegel（2019a）的发现相匹配；见§B·3。该公式（§B·1）是对定理1的直接修改，增加了min（0，αi）项，以确保Li的系数始终为正。定理5。每一次我∈ {1，…，m}让李：Rki×Y→ R是引起Γi:P的损失→ Rki和Bayes risk Li。

对于αi，设γ（p）=Pmi=1αiLi（p）∈ R\\{0}。然后是lossL*（（r，a，…，am），y）=mXi=1Li（ai，y）+mXi=1（h（r）αi- c min（0，αi））Li（ai，y）+H（r）- h（r）relicits{γ，Γ，…，Γm}，其中c>0，h:r→ （0，c）是严格递减的，H（r）=Rrh（x）dx，对于每个i，li是弱引出Γi的任何损失。特别是，如果{γ，Γ，…，Γm}∈ C、 elicC（γ）≤Pmi=1ki+1。证据让我们首先解开Li（ai，y）的系数cio，它由ci给出：=h（r）αi- c min（0，αi）=（h（r）αiαi≥ 0（h（r）- c） αiαi<0。我们有h:R→ （0，c），我们在这两种情况下都看到ci>0。对于每个i，涉及aiareLi（ai，y）+ciLi（ai，y）的术语，因此构成了一个引发Γi的损失函数。因此，对于r的每一个执行值，预期损失EpL*（（r，a，…，am），Y）通过对所有i取ai=Γi（p）来唯一最小化。证明r的最小值为γ（p）的剩余部分直接来自定理3的证明。B·2。光谱风险度量的复杂性让PSE成为任何一系列具有明确预期的分布，以便∈ R有一些p∈ 在[a]中包含的支持下，∞). 帕累托分布就是这样一个家庭的例子。设P包含Ps中所有分布的混合物。我们将证明，对于任何α<···<αk，有两个分布P，P的qαi（P）=qαi（P），但ρu（P）6=ρu（P）。直觉很简单：22 R.Frongillo和I.A.Kashmodify分布p超过其最后一个分位数qαk（p），方法是将质量移向增加的值，从而保持分位数不变，但增加尾部的预期值。设pbe为Ps的任意分布的混合物，设αk+1为αk<αk+1<1，取a>qαk+1（p）。让pbe在[a]上支持PSE中的任何分发，∞), 取p=（αk/αk+1）p+（1）- αk/αk+1）p。通过构造，我们得到了qαk（p）=qαk+1（p）<a。构造pwe将简单地用更高平均值的分布代替pwe，这不会修改相关的分位数。

为此，设a=1+Ep[Y]，设p∈ 在[a]的支持下，∞), 取p=（αk/αk+1）p+（1）- αk/αk+1）p。通过与上述相同的逻辑，我们得到了qαk（p）=qαk+1（p），这意味着所有i的qαi（p）=qαi（p），因为分布仅在区间[a，∞) a>qαk（p）=qαk（p）。然而，请注意，我们确实有Ep[Y]>a=Ep[Y]。将ESα解释为Y的期望值，条件是超过α分位数，我们得到了ESαi（p）=（αk/αk+1）ESαi（p）+（1）- αk/αk+1）Ep[Y]<（αk/αk+1）ESαi（p）+（1- αk/αk+1）Ep[Y]=ESαi（p）。由于上面的构造适用于我们选择的任何分位数向量，对k+1组系数βifor进行构造，其中αiis在内部，给出了条件1和推论3。B·3。预期短缺损失和Risk Corolution 6的范围值为我们提供了一大系列损失，这些损失导致{ESα，qα}。让Lα（a，y）=α（a）-y） 1a≥Y- a、 我们有ESα（p）=infa∈RLα（a，p）。因此我们可以取L（（r，a，y）=L（a，y）+H（r）+H（r）（Lα（a，y）- r） ，（14）其中h（r）为正且严格递减，h（r）=Rrh（x）dx，L（a，y）为任何其他损耗qα，其完整特征在Gneiting（2011，定理9）中给出：L（a，y）=（1a）≥Y- α） （f（a）- f（y））+g（y），（15）其中f:R→ R是不可减的，g是任意P-可积函数。另外，Gneiting（2011）假设为L（x，y）≥ 0，L（x，x）=0，L在x中是连续的，当y6=x时，dL/dx在x中存在且是连续的；我们加g是因为我们不规范化。因此，损失形式如下：L（（r，a），y）=（1a）≥Y- α） （f（a）- f（y））+αh（r）1a≥y（a）- y）- h（r）（a+r）+h（r）+g（y）。将我们的损失系列L（（r，a），y）与Fissler&Ziegel（2016，Cor.5.5）给出的特征进行比较，我们发现我们恢复了这种情况下所有可能的分数，至少在限制到定理5.2（iii）中所述假设的情况下是如此。

然而，请注意，由于ESα符号的不同约定，其损失由L给出((-x、 x），y）。统计性质的启发复杂性23同样地，我们从定理2中得到的关于RVaRα，β的损失如下所示，其中F，fare不减损，g是一个任意的P-可积函数。L*（（r，a，a），y）=（1a）≥Y- α） （f（a）- f（y））+（1a≥Y- β） （f（a）- f（y））- （h（r）- c） αβ- αLα（a，y）+h（r）ββ- αLβ（a，y）+H（r）- h（r）r+g（y）=（1a）≥Y- α） （f（a）- f（y））+（1a≥Y- β） （f（a）- f（y））+cαβ- αLα（a，y）+h（r）β - α（βLβ（a，y）- αLα（a，y））- R+ H（r）+g（y）=（1a）≥Y- α） （f（a）- f（y））+（1a≥Y- β） （f（a）- f（y））+h（r）β - α（βLβ（a，y）- αLα（a，y））- R+ H（r）+g（y），其中f（a）=f（a）+cβ-αa和g（y）=g（y）+cαβ-αy.现在与Fissler和Ziegel（2019a）比较，将上述符号约定中的差异模化，我们发现这一系列损失相当于Fissler和Ziegel（2019a，等式（3.2）），条件是a7→f（a）- ah（r）/（β）- α） 严格递增等于f（a）=f（a）- ac/（β）- α） 不减损。还记得h:R吗→ （0，c）；在不丧失普遍性的情况下，我们可以假定c是上下限。B·4。变量的复杂性为了建立推论4和5，我们将展示三种陈述：（1）{Var（k）τ，u（k）τ}∈ I和{Var（k）τ，u（k）τ}∈ cstrong当Y有界时，（2）条件1适用于u（k）τ和somer∈ Rk和（3）至少有两个分布p，p∈ P，其中u（k）τ（P）=u（k）τ（P）=r butVar（k）τ（P）6=Var（k）τ（P）。根据假设，报表2和3只需要证明P=Gmix的具体情况。这两个推论都来自命题3。报表1。回想一下，我们定义了L（x，y）=ky- xk（肯塔基州）- xk+hτ，y- xi）。

Herrmann等人（2018年，定理4.1，4.3）证明了L是可微且严格凸的，由此我们得出V（x，y）=xL（x，y）是u（k）τ的识别函数；参见命题2的证明。因此，通过推论7的证明，我们有{u（k）τ，Var（k）τ}∈ I.为了显示强凸性，设∧τ（v）=kvk（kvk+hτ，vi），这样我们就得到了L（x，y）=∧τ（y）-x） =ky- xk（肯塔基州）- xk+hτ，y- 十一）；我们将证明∧τ是强凸的。在接下来的内容中，我们去掉范数中的下标，写出k·k=k·k。Herrmann等人（2018年，定理4.3）给出的∧τ严格凸的证明是通过显示D（v，w）=∧τ（v）+∧τ（w）进行的- ∧τ（v+w）是严格正的。这是通过扩展4·D，4D（v，w）=kv来实现的- wk+2kvk hτ，vi+2kwk hτ，wi- kv+wk hτ，v+wi，（16）并显示D（v，w）≥ 0时kτk≤ 1，如果kτk<1，则v 6=w的不等式（Herrmann等人，2018，定理4.2）。凸性如下∧τ是连续的。根据标准结果（Urruty&Lemar\'echal，2001年，命题B.1.1.2），∧τ的强凸性随后将显示D（v，w）≥ ckv- 对于一些c.检查等式（16），我们看到除了kv之外的所有项- wkterm在τ中是线性的。因此，将等式（16）中的τ替换为τ/kτk，stillsatis Herrmann等人（2018年，定理4.2）给出了0≤千伏- wk+2kvk hτ/kτk，vi+2kwk hτ/kτk，wi- kv+wk hτ/kτk，v+wi=kτkkτkkv- wk+2kvk hτ，vi+2kwk hτ，wi- kv+wk hτ，v+wi=kτkD（v，w）- (1 - kτk）kv- 工作.24 R.Frongillo和I.A.KashThus，让c=1- kτk>0，我们有∧τ的强凸性。我们得出结论，L是强Lyconvex。当Y R是有界的，命题7给出{u（k）τ，Var（k）τ}∈ 这是我想要的。报表2。我们将证明包含单变量情况的多变量情况。屋顶将利用支撑函数和Hausdor ff度量；我们现在回顾必要的定义和标准结果。

支持功能hK:Sk-1.→ R∪ {∞} 一组K hK给出的RKIS（v）=supx∈Khv，xi。两个闭集A，B之间的Hausdor ff距离dH（A，B）Rk由dH（A，B）=max{supx定义∈广告（x，B），supx∈Bd（x，A）}，其中d（x，S）=miny∈天-xk是点x之间的距离∈ 还有一套 Rk。我们有以下事实。1.对于所有紧凸A，B Rk，maxv∈Sk-1 |公顷（v）- hB（v）|=dH（A，B）。对于所有紧凑型A、B Rk，dH（convA，convB）≤ dH（A，B）。尽管如此 Rk，我们有0∈ INTA<==> 五、∈ Sk-1dA（v）>0。第一和第三个事实可以在Urruty&Lemar’echal（2001年，定理C.3.3.6和定理EMC.2.2.3（iii））中找到。第二种方法是取元素ai的凸组合x=Piλiaiof∈ A、 并通过元素bi来近似dH（A，B）中的每个aid∈ B.为了显示语句2，我们必须建立0∈ int{Ep[V（x，Y）]：p∈ Gmix} 对于某些识别函数V和某些x∈ Rk。我们将V作为语句1中的识别函数，x=0。任何p∈ Gmix，我们有Ep[V（0，Y）]=Ep2Y+YkY-khτ，yi+kY-kτ. （17） 让f:P7→ EpV（0，Y）。因此，必须显示0∈ intφ（Gmix）。让Sk-1={x∈ Rk:kxk=1}是单位球面，定义为z:Sk-1.→ Rkby z:u7→ 2u+hτ，uiu+τ，这是当p充分集中在u周围时φ（p）的值。设Z=Z（Sk）-1） ={z（x）：x∈ Sk-1} C=convZ。对所有人来说∈ Sk-1.我们有HC（v）≥ hv，z（v）i=2hv，vi+hτ，vi-hv，vi+hv，τi=2+2hτ，vi≥ 2(1 - kτk）>0。允许 = 1.- kτk>0。Z是紧的，作为紧集的连续图像，因此存在一个有限子集Z Z与dH（Z，Z）<. 通过对Z的定义，我们可以为某些特定的元素写Z=Z（S） Sk-1.引理9∈ Swe有一些σ（u）>0，使得kφ（N（u，σ（u）I））- z（u）k<,其中N是多元高斯分布。现在取σ=minu∈Sσ（u）和定义P={N（u，σI）：u∈ S} Z=φ（P）。因此我们有dH（Z，Z）<.

让C=convZ，我们有（C，C）≤ dH（Z，Z）≤ dH（Z，Z）+dH（Z，Z）<2 .因此，对于所有v∈ Sk-我们有hC（v）>hC（v）- 2. > 2. - 2. = 0，给0∈ int C.当gmix是凸的，f是线性的，P Gmix，我们有C=convφ（P）=φ（convP） φ（Gmix）。我们得出结论0∈ intφ（Gmix），根据需要。引理9。无论如何∈ Sk-1.我们有limσ→0+EN（u，σI）[V（0，Y）]=z（u）。证据展开式（17），我们有Ep[V（0，Y）]=2Ep[Y]+Ephτ，Y，Y+ Ep[kY k]τ。（18） 统计性质的引出复杂性∈ Sk-设{σn}n∈Nbe收敛到零的正实数序列。定义Y（n）~N（u，σnI）。因此我们有Y（n）→ 概率微乎其微。固定坐标j∈ {1，…，k}，设fj（y）=hτ，yiyjkyk和g（y）=kyk，定义X（n）=fj（y（n））和Z（n）=g（y（n））。由于Fjan和g都是reals的连续函数，因此我们有X（n）→ fj（u）和Z（n）→ g（u）=1的概率。X（n）的一致可积性来自|X（n）|≤ |Y（n）j | kτk<|Y（n）j |，并呼吁Y（n）j的一致可积性~ N（uj，σN）。对于Z（n）的一致可积性，观察kY（n）k具有非中心χ分布，因此E|Z（n）|=EkY（n）k=kσn+kuk≤kσ+1；统一可积性现在由Billingsley（2008，等式（25.13））得出。因此我们有[τ、 Y（n）Y（n）kY（n）k]=E[X（n）]→ fj（u）=hτ，uiujand E[kY（n）k]=E[Z（n）]→ g（u）=1（比林斯利，2008，定理25.12）。我们得出limσ→0+EN（u，σI）[V（0，Y）]j=2uj+fj（u）+g（u）τj=z（u）j。报表3。我们首先说明直觉的单变量情况。让p∈ μτ（p）=0且Varτ（p）>0的GMIX。后者由非零方差表示。让X~ p、 λ>0，我们有[|10]≥λX- τ |(0 - λX）]=λE[|10≥十、- τ |(0 - 十） ]=0，表示μτ（pλ）=0，其中pλ是λX的定律；注pλ∈ Gmix。