退休时的最优股权下滑路径

如果用户在其特定场景中发现多个局部最优，则可以使用ametaheuristic来指导程序走向全局最优（见第II.I节）。我们研究了10种场景，对提款率、基础资产类别回报、费用比率以及最终提款的固定与随机时间进行了不同的假设。我们发现，最优静态下滑道随着这些参数的变化而变化，这并不奇怪。我们还发现，投资组合回报的顺序会以不同的方式影响最优解。当所使用的策略具有较高的成功概率时，SOR就会成为一种风险，并在最优解决方案中随着下滑路径的上升而减轻（参见场景1）。当战略成功的概率较低时，SOR将成为一种潜在的回报，并在最佳解决方案中被视为退休早期的重大股权投资（见情景8）。因此，下滑路径下降的T-D基金偏向于SOR回报，而以SOR风险为代价。这种方法与退出率高、费用高、成功概率低的策略是一致的。一个昂贵的T-D基金缺乏对退休人员退出率的了解，这可能是下滑趋势下降的理由，也许是因为错误的原因。与Young（2004年）、Moore和Young（2006年）、Bayraktar和Young（2007年）以及Rook（2014年）的研究结果一致，我们在这项研究中发现，当使用静态滑道最小化破产概率时，最优股权比在时间上不是常数。这与许多最大化预期效用的生命周期模型相冲突。这项研究的结果与现有关于静态滑翔道的文献有所不同。

最佳滑道的形状是基于潜在的假设而变化的，这使得人们很难主张一个滑道而不是另一个滑道。由于对未来收益的参数缺乏共识，每个用户都只能选择基于他们假设的最佳路径。此外，这些结果与第一节中回顾的许多发现没有直接可比性。例如，以预期效用为目标，通过回溯测试或自举历史数据构建的模型，或具有序列相关资产类别回报的模型，自然会与本文给出的结果不同。关于这一主题的未来研究将有两个方向。首先，我们将介绍扩展本文和Rook（2014）中开发的模型的技术。我们还将研究使用这些方法可以解决的退休人数减少问题的一般类别。其次，我们将尝试开发优化从业者退休启发的新模型。感谢：我非常感谢我过去和现在的导师，他们无私地分享了他们的知识。特别是欧文·古特曼博士，他是我在布法罗大学学习统计学时的研究生导师和论文顾问，以及吉列尔莫·加列戈博士，他是我在哥伦比亚大学学习统计学和收入管理课程时的研究生导师。从中我学到了很多，事实上，最小化退休破产概率的工具不过是应用于退休递减的动态定价模型。感兴趣的读者可以在Talluri和van Ryzin的收入管理理论和实践中找到所有细节。或者，他们可以与Gallego博士一起上课，学习如何构建、分解、编码和分析多个此类模型的时间复杂性。我还要感谢。

斯特文斯研究所的米切尔·克尔曼，我目前正在与他合作一个相关的研究项目，可以用来扩展这些模型。请注意，本研究和过去研究中的所有错误和错误都是我自己的错误，反映出我未能正确应用所学知识。例如，商业航空公司为其航班建立了一个网格，垂直轴上有起飞时间，水平轴上有剩余运力。在网格中的每个单元，选择票价以在随机需求函数下最大化预期收入。随着时间的临近，价格面临下行压力，随着产能的减少，价格面临上行压力。退休时，我们绘制的网格完全相同，但纵轴上有死亡时间，横轴上有资金状况。在网格中的每个单元，选择权益比率以最小化随机回报函数下的破产概率。随着时间临近死亡，权益比率面临下行压力，随着经济状况恶化，权益比率面临上行压力。这两个模型都是先向后求解，然后向前推进的。霍华德·安东，1988，《解析几何微积分第三版》（纽约州纽约市约翰·威利父子出版社）。Bayraktar、Erhan和Virginia R.Young，2007，《最小化破产概率和停止与控制的游戏》，工作论文系列<http://arxiv.org/abs/0704.2244>[q-fin.MF]。贝拉克塔尔、埃尔汉和弗吉尼亚R。

杨，2015年，最佳投资以实现遗赠目标，工作论文系列<http://arxiv.org/abs/1503.00961>[q-fin.MF]。William P.Bengen，1994，《利用历史数据确定提款率》，金融规划杂志7（4），171-180。威廉·J·伯恩斯坦，《如何思考退休风险——防范最大风险的最佳方式：资金耗尽》，《华尔街日报》，2014年11月30日<http://www.wsj.com/articles/how-to-think-about-risk-in-retirement-1417408070>David M.Blanchett，2007，《分销组合的动态分配策略：确定最优分销下滑路径》，金融规划杂志20（12），68-81。布兰切特，大卫·M.，2015，重新审视最优分配下滑路径，金融规划杂志28（2），52-61。Blanchett，David M.和Larry R.Frank，2009，《分配规划和监控的动态适应性方法》，财务规划杂志22（4），52-66。Boyd，Stephen和Lieven Vandenberghe，2004，凸优化（剑桥大学出版社，纽约州纽约）。乔治·卡塞拉和罗杰·L·伯杰，1990年，统计推断（沃兹沃斯&布鲁克斯/科尔统计/概率序列，加利福尼亚州太平洋格罗夫）。科恩、乔希、格兰特·加德纳和袁安凡，2010，日期辩论：目标日期基金下滑路径应该“到”还是“通过”退休？（罗素研究，罗素投资，华盛顿州西雅图），工作论文系列。Cooley，Philip L.，Carl M.Hubbard和Daniel T.Walz，1998，《退休储蓄：选择可持续的提取率》，美国个人投资者协会期刊10（3），16-21。Damodaran，Aswath，历史股票和债券收益的金融数据库（纽约大学，纽约）<http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/>。泰德·达夫曼和马修·奥哈拉，2015年，重新审视“对vs。

通过“：新研究告诉我们的关于一场古老辩论的内容，《退休杂志》2（4），30-37页。卢克·F·德洛姆，2015年，《确认上升股票下滑路径的价值：来自自闭模型的证据》，金融规划杂志28（5），46-52。埃斯特拉达，哈维尔，2015，《退休滑翔道：国际视角》，工作文件系列<http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2557256>Fan，Yuan A.，Steve Murray和Sam Pittman，2013，优化退休收入：基于资产和负债的自适应方法，退休杂志1（1），124-135。法兰德斯，哈雷，1973，《积分符号下的微分》，《美国数学月刊》80（6），615-627。Frank，Larry R.，John B.Mitchell和David M.Blanchett，2011，基于失败概率的决策规则管理退休序列风险，财务规划杂志24（11），44-53。Richard K.Fullmer，2014，《对近期目标日期研究的反思》（T.Rowe Price AssetAllocation Insights报告），工作论文系列。加德纳，R.，J.，2002年，《布伦-明考斯基不等式》，美国数学社会公报39（3），355-405。Jonathan T.Guyton，2004，《退休人员的决策规则和投资组合管理：“安全”的初始提款率是否太安全？财务规划杂志17（10），54-62。希利尔、弗雷德里克·S.和杰拉尔德·J·利伯曼，2010年，《运筹学第九版导论》（纽约州麦格劳·希尔）。黄华雄，Moshe A.Milevsky和Thomas S.Salisbury，2012，《具有随机死亡力的最优退休消费》，保险：数学与经济学51（2），282-291。Irlam、Gordon和Joseph Tomlinson，2014，《退休收入研究：我们能从经济学中学到什么？退休杂志1（4），118-128。詹森、保罗A和乔纳森F。

巴德，2003，《运筹学——模型和方法》（约翰威利父子公司，新泽西州霍博肯）。Johnson，Norman L.，Samuel Kotz和N.Balakrishnan，1994，连续单变量分布第1卷第2版（纽约州纽约市John Wiley&Sons公司）。Kall、Peter和Janos Mayer，2010，《随机线性规划——模型、理论和计算第二版》（斯普林格国际运筹学和管理科学系列，纽约州纽约）。Lovász，László和Santosh Vempala，2006，《对数凹函数的快速算法：采样、舍入、积分和优化》，第47届IEEEL计算机科学基础研讨会论文集，第57-68页。哈利·马科维茨，1952年，投资组合选择，金融杂志7（1），77-91。罗伯特·C·默顿，1969，《不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例》，经济学与统计学评论51（3），247-257。Milevsky，Moshe A.和Anna Abaimova，2006年，《退休废墟与回归顺序》，国际金融机构中心<http://www.ifid.ca/pdf_newsletters/pfa_2006feb_sequencing.pdf>Milevsky，Moshe A.和Huahaong Huang，2010，《在火神星球上度过退休生活：长寿风险规避对最优提款率的影响》，金融分析师期刊67（2），45-58。Moore，Kristen S.和Virginia R.Young，2006，《退休时财务破产概率最小化的最优、简单、近似最优规则》，北美精算杂志10（4），145-161。普福、韦德·D和迈克尔·E。

Kitches，2014，《通过提高权益来降低退休风险》，金融规划杂志27（1），38-45。Rook，Christopher J.，2014，《最小化退休破产概率》，工作文件系列<http://arxiv.org/abs/1501.00419>[q-fin.GN]。Ross，Sheldon M.，2009，《工程师和科学家概率统计导论》（纽约州爱思唯尔）。Samuelson，Paul A.，1969，《动态随机规划下的终身投资组合选择》，《经济学与统计学评论》51（3），239-246。Sigman，Karl，2005，投资组合均值和方差，IEOR 4700课程笔记（哥伦比亚大学）<http://www.columbia.edu/~ks20/FE Notes/4700-07-Notes-portfolio-I.pdf>。Stout，R.Gene和John B.Mitchell，2006，《动态退休退出计划》，金融服务评论15（2），117-131。明尼阿波利斯联邦储备银行，1913年至今的CPI-U数据<http://www.minneapolisfed.org/community_education/teacher/calc/hist1913.cfm>W.Van Harlow，2011，《退休时的最佳资产配置：下行风险视角》（普特南研究所，普特南投资有限责任公司，马萨诸塞州波士顿），工作文件系列。冯·诺依曼，约翰，1951年，《与随机数字有关的各种技术》，NBSAPPED数学系列，第12卷，pp。

36-38.冯·诺依曼、约翰和奥斯卡·摩根斯坦，1947年，《博弈论与经济行为定义》（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿）。韦尔塞马，乌博·F.，2008，《布朗运动演算》（约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯）。Yang，Janet和Laura Pavlenko Lutton，2014，2014年目标日期系列研究论文，晨星公司<http://corporate.morningstar.com/us/documents/MethodologyDocuments/MethodologyPapers/2014-Target-Date-Series-Research-Paper.pdf>杨，弗吉尼亚R.，2004，最小化终身破产概率的最优投资策略，北美精算杂志8（4），106-126。2015年6月27日(c)退休时的最优股票下滑路径Christopher J.ROOKINTERNET附录*此随附文档包括完整C++应用程序的衍生、证明和源代码。本互联网附录的所有参考资料可在主要论文的参考资料部分找到。内容表附录A.梯度的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.附录B.证明g（·）是有效PDF的证据。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.附录C.G（·）的CDF G（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4.附录D.Hessian对角线元素的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5.附录E.h（·）是有效PDF的证明。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8.附录F.h（·）是有效PDF的证明。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9附录G.H（·）的CDF H（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11附录H。

H（·）的CDF H（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13附录I.TD=2时的准凹反例。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15附录J.完整的C++实现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17附录A.梯度的推导对于PNR() = P（C）(≤ TD））梯度向量的每个元素=  （g，g，…，gTD）′要求评估以下衍生工具：α2.五、αE,,通过反复应用产品和链规则（Anton（1988）），可以得出：√2.五、αE,,Mαm′α五、α,Mαv′α2vαv′α五、αE,2.五、αE,v′α,Mα2vαm′α,Mα五、αv′α2vα.在因子分解后，添加完成（）平方所需的项,- m（αt））在[·]内，并使用f（）,) 代表其PDF（A.3）收益率：v′α,2vα,Mα2vαm′α,Mαv′α五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′αv′α,2vα,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α现在，我们通过将{·}中最右边的项[·]从整个表达式中分解并简化结果，来创建两个有效PDF的差：五、α五、αm′αv′αv′α,2vα,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α1.（A.1）（A.6）（A.5）（A.4）（A.3）（A.2）v′α2vαm′α2v′型αv′α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,= K*G,,,其中f（）,), K、 和g（）,) 分别如（4.10）、（4.13）和（4.14）所定义。

最后一步是将（4.11）中的（A.1）替换为（A.8）中刚推导出的术语，得到（4.12），这一步很简单，也没有显示出来。（4.12）中的数量被认为是2个成功概率的差值，因此可以估计/近似到任何所需的准确度。（A.7）（A.8）附录B.证明,有效的PDFA有效的PDF是任何函数w（x）≥ 0代表∞ < x<∞ 哪里1（Casella和Berger（1990））。考虑函数g（）,), 地点：g,五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,, 对于∞,∞.显然是g（）,)  ≥ 全部为0,因为比率的分子总是≥ 0，则去离子器为≥ 如果v（αt）>0，则为0。根据定义，v（αt）代表RV的方差,~ f（·）来自（4.6），它是非退化的。最后，f（·）≥ 0，因为它是有效的PDF。第二个条件要求g（）,) 在所有实数上集成到1.0，并且：五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,Mα五、α五、α五、α五、α,Mα,,2vαMα五、α,Mα,,m′α五、α,,,根据第二节（2.67）的规定。五十、 收益率：Mα五、α五、α五、α五、α五、α0m′α五、α1..自g（）,) 如果它是有效的PDF，则满足这两个条件。（B.1）（B.2）（B.3）（B.4）（B.5）附录C。