不完全Levy模型中的Radner均衡

（4.3）反过来，这允许我们定义康斯坦特=τ∑uD+IXi=1ui-ZRI+1IXi=1τie-τiθ*iσDz（0）-τiσiz（i）- τ∑+σDz（0）+IXi=1σiz（i）ν（dz）,（4.4）式中，τ∑=PIi=1τi。最后，我们可以用（4.4）定义的r定义年金A（t）（2.10），我们可以定义漂移u（t）=λsZRI+1（z（0））ν（dz）σDA（t），t∈ [0，T]。（4.5）定理4.2。假设2.1成立，letPIi=1θ（0）i0-= 0，PIi=1θi0-= 1，并通过（4.4）-（4.5）以及ψ来定义上述函数（r，u）*t（z）=ef-u（t）σDA（t）+RRI+1z（0）ν（dz）z（0）- 1，z∈ RI+1，t∈ [0，T]，（4.6），其中f是映射3u（0）的倒数→ZRI+1z（0）eu（0）z（0）ν（dz）。（4.7）然后（S（0），S）用（2.9）定义S（0），用t=EQ定义S（0）*中兴通讯-r（s）-t） DSD英尺, T∈ [0，T]，（4.8）其中Q*是通过Zψ定义的等价鞅测度*, 构成一种平衡。我们注意到ψ*由（4.6）定义的不依赖于时间，因为（4.5）确保uA-这是恒定的。5应用在本节中，我们将比较定理4.2的不完全平衡与基于代表性主体的相应完全平衡。在本节的第二部分中，我们将L’evy测度ν指定为广泛使用的带高斯跳变的复合泊松过程，并用数值说明了模型不完全性对结果参数的影响。5.1代表代理人的均衡众所周知，当所有投资者都具有指数效用时，描述代表代理人偏好的卷积也具有指数效用，风险容忍系数τ∑=PIi=1τi；例如，参见[13]中的第5.26节。因此，我们通过UREP（c）定义代表性代理的适用性函数-E-c/τ∑，c∈ R

（5.1）在[4]中开发的基于消费的资本资产定价模型（并在[11]中扩展到某些不完全模型）基于通过比例要求p（Dt+IXi=1Yit）应用代表代理人问题的最优一阶条件来构建价格过程∝ E-雷普茨雷普，t∈ [0，T]。（5.2）这里rrepis是利率，Zrepis是模型的（唯一）鞅密度。该模型（即rrepand Zrep）将作为我们进行比较的基础。It^o引理产生（5.2）dUrep（Dt+PIi=1Yit）Urep（Dt+PIi=1Yit）=ZRI+1左手侧的下列动力学E-τΣσDz（0）+PIi=1σiz（i）- 1.~N（dt，dz）-τΣuD+IXi=1uidt+ZRI+1E-τΣσDz（0）+PIi=1σiz（i）- 1 +τΣσDz（0）+IXi=1σiz（i）ν（dz）dt。默顿在他的经典论文[20]中首次在金融中使用了这种L’evy过程的几何形式。这也是贝茨在[3]中开发的资产定价模型的基础。通过将系数与（5.2）的右侧进行匹配，我们发现dzrept=Zrept-ZRN+1ψrep（z）~N（dt，dz），ψrep（z）=e-τ∑（PIi=1σiz（i）+σDz（0））- 1，（5.3）rrep=τ∑uD+IXi=1ui(5.4)-ZRI+1E-τΣσDz（0）+PIi=1σiz（i）- 1 +τΣσDz（0）+IXi=1σiz（i）ν（dz）。我们用qrept表示由dqrepdp=ZrepTon FT定义的度量。我们通过计算rept=EQrep的动态来找到描述股票动态的参数中兴通讯-rrep（s）-t） DSD英尺, T∈ [0，T]。（5.5）正如附录B中定理4.2的证明一样，我们发现（5.5）的动力学形式为（2.11），但r=rrep，A=Areandu=uRepwhereRep（t）=ZTte-rrep（s）-t） ds，（5.6）urep（t）=-σDArep（t）ZRI+1ψrep（z）z（0）ν（dz），（5.7）对于t∈ [0，T]。最后，基于代表性因素的夏普比定义为：λrep=urep（t）σDArep（t）qRRI+1（z（0））ν（dz），（5.8），它是（2.12）的类似物。5.2不完全性影响在一个数值例子中，在本节中，我们考虑了与高斯跳变（i.i.d）复合泊松过程相对应的L’evy度量。

具有协方差矩阵∑）和单位常数泊松强度的零平均法线。换言之，对于具有单位对角元素的对称正定义矩阵∑，我们考虑L′evy测度ν（dz）=p（2π）I+1det（∑）e-z∑-1zdz，z∈ RI+1。（5.9）该指标满足假设2.1。此外，函数fi和f（3.3和4.7的逆函数）可以通过高斯矩母函数η∑η，η表示∈ RI+1及其衍生物。在（4.4）和（5.4）的基础上，我们看到不完全性对平衡利率的影响由REP给出- r=ZRI+1IXi=1τiτ∑e-τiθ*iσDz（0）-τiσiz（i）- E-τΣσDz（0）+PIi=1σiz（i）ν（dz）。Jensen不等式与清除性typi=1θ*i=1（见4.5）可以用来证明这种差异始终是非负的（类似的观察见[7]和[8]）。另一方面，由于模型的不完全性，即λ，对瞬时夏普比的影响- λrep可以是正的，也可以是负的。这里λrep由（5.8）定义，不完全平衡中的（瞬时）夏普比λ由（2.12）定义，并通过求解σD+IXi=1τifi隐式找到-τiσi(-λ) = 0. （5.10）这是由（4.2）和ν（dz）的零均值和单位方差特性得出的。为了进行数值计算，我们将使用一个相关矩阵，即∑ij=ρ表示i6=j，而∑ii=1表示i，j=0，1。。。，Iρ在哪里∈ (-1, 1). 用于生成图1的其余参数为σD=.2I，σi=.1，τi=τ，i=1。。。，I.（5.11）图1：模型不完整对rrep的影响图-r（左）和λ-λrep（右）被视为相关系数ρ的函数。

我们考虑限制性经济（I→ ∞) 而（5.11）给出了各种风险容忍系数τ的剩余参数：τ=（-）、τ=（-–）和τ=（--）。从图1中我们可以看到，我们的模型可以同时对平衡（瞬时）夏普比率产生积极影响，对平衡最低比率产生消极影响。正如引言中所讨论的，这些影响在经验上是可取的，因为它们与[24]和[19]中的资产定价难题有关。最后，我们注意到↑ 1结果模型接近代表性代理的完整模型，两个不完整性影响消失。两个辅助引理A.1。假设假设假设2.1成立。然后是偏导数φi（u（0），u（i））=u（0）ZRI+1eu（0）z（0）+u（i）z（i）ν（dz），u（0），u（i）∈ R、 （A.1）是一个定义良好的函数，满足以下特性：1。函数φi表示为φi（u（0），u（i））=ZRI+1z（0）eu（0）z（0）+u（i）z（i）ν（dz），u（0），u（i）∈ R.（A.2）2。该功能是连续的。3.固定u（i）∈ R、 函数u（0）→ νi（u（0），u（i））严格地增加和增加。因此，反函数f（i）u（i）（·）存在，并且在R证明上是连续的。对于第一种说法，我们可以使用界| ehz- 1 | | h|≤ |z | e | z |，z（0）∈ R、 |h|≤ 1.（A.3）该界可由假设2.1的（2.2）和（2.3）积分。因此，支配收敛定理可用于产生表示（A.2）。第二项要求也与此类似。上一个声明中的严格单调性直接来自（A.2）。最后，（2.4）确保映射φi（·u（i））在R上。引理A.2。假设假设2.1成立。让r∈ R为常数，定义为（2.10）。

对于[0，T]上的任意两个连续函数（m，c），线性SDEdXt存在唯一解=R- A（t）-1.Xt+m（t）dt+A（t）c（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz），X∈ R、 （A.4）在[0，T]上用Xt→ 0，P-a.s.，作为t↑ T证据证明只需要对[7]中引理1的证明进行以下修改：对于b（t）=r- A（t）-我们声称鞅it=ZtZRI+1e-Rsb（u）duA（s）c（s）z（0）~N（ds，dz），t∈ [0，T]在L（P）中一致有界。在这种情况下，鞅收敛定理保证它将P-a.s.收敛到一个R值随机变量，即T↑ T我们可以表示（2.10）asA（t）=中兴-r（s）-t） ds=r（1）- E-r（T）-t） ）t∈ [0，T]。因此，RtA（美国）-1du↑ +∞ 作为t↑ 这意味着eRtb（u）duitt收敛到零，即T↑ T为了证明L（P）-有界性，我们计算t∈ [0，T）预期的二次变量eh[I]ti=ZtZRI+1e-2Rsb（u）duA（s）c（s）（z（0））ν（dz）ds≤ 喝一杯∈[0，T]e-2Rsb（u）duA（s）c（s）ZRI+1（z（0））ν（dz）。因为所有涉及的函数都是连续的，所以需要观察↑Te-2Rsb（u）duA（s）c（s）=lims↑TA（0）c（s）=A（0）c（T）<∞.第一个等式如下，因为助教（t）-2= -2A（t）-2b（t）而C的连续性产生了最后的平等。定理3.1的证明。证明分为几个步骤：第一步：我们首先验证（3.6）是否产生了等价的马丁格尔测度Q（i）。我们可以使用（3.4）将（3.6）重写为ψi（z）=efi-τiσi-u（t）σDA（t）+RRI+1z（0）ν（dz）z（0）-τiσiz（i）- 1，z∈ RI+1。（B.1）查看可积性属性yztzri+1ψi（z）ν（dz）dt<∞,需要注意的是-τiσi（·）是连续的，然后使用界| ez- 1| ≤ |z | e | z |，z∈ R、 以及假设2.1中的可积条件。Novikov对L’evy过程的条件（见[22]中的定理9]）确保了解Zψiof（2.13）是严格正鞅。

sigma鞅性质（2.16）来源于该表述（B.1）和反函数fi的定义（见3.3）。第二步：我们接下来验证θ的可容许性*由（3.4）和c定义*定义见（3.7）。对于t∈ [0，T），我们插入（θ）*i、 c*i） 进入财富动态（3.1）以产生动态CdX*它=R- A（t）-1.十、*信息技术- τiA（t）-1ZTte-r（s）-t） gi（s）- t） ds+θ*iu（t）dt+θ*iσDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz）。通过所有相关函数的连续性，这些动力学在[0，T]上得到了很好的定义。为了应用引理A.2，我们需要证明m（T）=A（T）-1ZTte-r（s）-t） gi（s）- t） ds+θ*iu（t）（B.2）是[0，t]上的连续函数。唯一的潜在问题是第一个术语whent=T。然而，洛比塔尔和莱布尼茨的规则产生了限制↑特莱特-r（s）-t） gi（s）- t） dsA（t）=limt↑特莱特-r（s）-t） （rgi（s）- （t）- gi）dsrA（t）- 1= 0.为了完成这一步，我们接下来将证明X*it/S（0）t+Rtc*iu/S（0）udu是Q（i）-鞅∈ [0，T]。Girsanov定理产生了Q（i）-动态CdX*其（0）t+c*其（0）tdt=θ*iσDA（t）S（0）tZRI+1z（0）N（dt，dz）-1+ψi（z）ν（dz）dt.所需的鞅性质来自Zri+1（z（0））1+ψi（z）ν（dz）<∞.该可积性源自ψi的定义（见3.6）和假设2.1中的可积性要求。第3步：我们需要验证这对（θ*i、 c*i） 在（3.2）中达到最高点。我们首先证明存在一个常数α>0，这样C*it+Yit= αZψitS（0）t，t∈ [0，T]。

（B.3）It^o引理产生左手边的动力学为：dUiC*it+Yit用户界面C*信息技术-+ 耶-=ZRI+1E-τiθ*iσDz（0）+σiz（i）- 1.~N（dt，dz）+ZRI+1E-τiθ*iσDz（0）+σiz（i）- 1+τiθ*iσDz（0）+σiz（i）ν（dz）dt-τiθ*iu（t）A（t）-1.- giτi+uidt=ZRI+1ψi（z）~N（dt，dz）- rdt，其中最后一个等式使用gi的定义（见3.5）以及ψi的定义（见3.6）。我们现在有了执行验证所需的所有成分：对于任何（θ，ci）∈ 我们所有的ZTUi（cit+Yit）dt≤ E“ZTVi（αZψitS（0）t）dt+αZTZψitS（0）t（cit+Yit）dt+αZψiTXiTS（0）t#≤ E“ZTVi（αZψitS（0）t）dt+αZTZψitS（0）tYitdt#+αXi0=E”ZTVi（αZψitS（0）t）dt+αZTZψitS（0）t（c*it+Yit）dt#=EZTUi（c）*it+Yit）dt.函数Vi是Fenchel共轭Vi（y）=supx>0用户界面（x）- xy, y>0。第一个不等式使用芬切尔不等式以及α和XiT的非负性。第二个不等式利用了可容许控制的Q（i）-超鞅性质。第一个等式使用步骤2和X中证明的鞅性质*它=0。[16]中的引理3.4.3（iv）证明了U（x）=V的关系U（x）+ xU（x）提供了最后一个等式。定理4.2的证明。我们首先注意到，要求（4.5）确保uA-这是恒定的。因为（2.10）定义的A是连续的，我们看到μ也是连续的[0，T]。因此，这对（r，u）满足假设2.2。对于ψ*由（4.6）定义，相应的指数（2.13）是一个严格的正系数。这源于ZTZRI+1ψ*t（z）ν（dz）dt<∞, （B.4）和L’evy过程的Novikov条件（见[22]中的定理9]）。可积性（B.4）源自ψ的定义*（见4.6）和假设2.1中的可积性要求。

因此，Q*是一个定义良好的等价鞅测度。Girsvanov定理和（4.6）将P-动力学（2.8）更改为以下Q*-动态=uD- u（t）A（t）-1.dt+σDZRI+1z（0）N（dt，dz）-1 + ψ*t（z）ν（dz）dt.为了确保随机积分是Q*-鞅有助于seeZRI+1（z（0））1 + ψ*t（z）ν（dz）<∞.这来自ψ*’s定义（4.6）和假设2中的可积性要求。1.条件期望的Fubini定理producesSt=ZTte-r（s）-t） 杜克*[Ds | Ft]Ds=A（t）Dt+ZTte-r（s）-t） duZstuD- u（u）A（u）-1duds。（B.5）本声明和财产A（t）=rA（t）- 1.产生动力（2.11）。去看看那个圣-= 0我们可以使用（B.5）来重新编写动力学（2.11）asdSt=R- A（t）-1.St+u（t）+A（t）-第一- Dtdt+σDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz）=A（t）-1ZTte-r（s）-t） duZstuD- u（u）A（u）-1duds（B.6）+R- A（t）-1.St+u（t）dt+σDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz）。（B.6）中漂移的确定部分，即m（t）=A（t）-1ZTte-r（s）-t） duZstuD- u（u）A（u）-1duds+u（t）是[0，t]上的连续函数。这与上文（B.2）中的论点类似。引理A.2然后产生ST-= 0.为了确保清算条件（4.1）成立，我们首先注意到（4.5）确保股票市场清算，即PIi=1θ*i=1。货币市场账户市场的清算相当于St=PIi=1X*信息技术对于t=0，这一点成立。我们可以使用（3.7）和Pii=1θ*i（t）=1以找到以下动态xi=1dX*它=R- A（t）-1.IXi=1X*信息技术-IXi=1τiA（t）-1ZTte-r（s）-t） gi（s）- t） ds+u（t）dt+σDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz）。因此，表述（B.6）产生了同等的要求-IXi=1τigi=uD- u（t）A-1（t），t∈ [0，T]。为了证明这种关系成立，我们可以插入gi的定义（见3.5）并使用r的定义（见4.4）。我们注意到，这一论点也产生了商品市场的清算，即PIi=1c*它=Dt，完成证明。参考文献[1]R.M.安德森和R.C。

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