不完全Levy模型中的Radner均衡

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英文标题：
《Radner equilibrium in incomplete Levy models》
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作者：
Kasper Larsen, Tanawit Sae Sue
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We construct continuous-time equilibrium models based on a finite number of exponential utility investors. The investors\' income rates as well as the stock\'s dividend rate are governed by discontinuous Levy processes. Our main result provides the equilibrium (i.e., bond and stock price dynamics) in closed-form. As an application, we show that the equilibrium Sharpe ratio can be increased and the equilibrium interest rate can be decreased (simultaneously) when the investors\' income streams cannot be traded.
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中文摘要：
我们建立了基于有限数量指数效用投资者的连续时间均衡模型。投资者的收益率和股票的股息率受不连续的利维过程控制。我们的主要结果提供了封闭形式的均衡（即债券和股票价格动态）。作为一个应用，我们证明了当投资者的收入流不能交易时，均衡夏普比率可以增加，均衡利率可以降低。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Radner_equilibrium_in_incomplete_Levy_models.pdf (414.68 KB)

2022-5-8 12:49:25 上传

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关键词：Radner Levy Mathematical SIMULTANEOUS Quantitative

美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学数学科学系不完全L’evymodelsKasper Larsender中的拉德纳平衡15213电子邮件：kasperl@andrew.cmu.eduTanawit美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学数学科学系，邮编15213，邮箱：tsaesue@andrew.cmu.eduJune2018年12月26日摘要：我们基于一定数量的指数效用投资者构建了连续时间均衡模型。投资者的收益率以及股票的股息率受不连续的L’evy过程控制。我们的主要结果提供了封闭形式的均衡（即债券和股票价格动态）。作为一个应用，我们证明了当投资者的收入流不能交易时，均衡夏普比率可以增加，均衡利率可以降低。第一作者获得了国家科学基金会的资助，资助号为DMS1411809（2014-2017）。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会（NSF）的观点。1导言我们构建了均衡模型，其中有限数量的异质指数投资者无法完全交易其未来收入流。我们证明了连续时间L’evy过程的框架以封闭形式产生了拉德纳均衡（即，最优策略、利率、漂移和波动结构以封闭形式可用）。

除了允许更多的模型灵活性，我们还表明，通过超越基于布朗运动的模型，我们可以产生以下经验上可取的特征：由于投资者的收入流被规划（即，由于模型不完整），纯跳跃L’evy模型类可以同时降低均衡利率并增加均衡夏普比率。[7]中给出了不完全连续时间模型的首次构造，该模型允许对拉德纳平衡进行明确描述。作为该模型的一个应用，[7]表明，模型的不完全性可以显著降低均衡利率。然而，（瞬时）夏普比不受模型不完整性的影响。除了具有数学意义外，我们将[7]中的布朗框架扩展到更一般的L’evy框架的动机是，在维持封闭形式均衡模型的同时，对利率产生负面影响，对夏普比率产生正面影响。我们想要构建具有这些特征的不完全均衡模型，当然是因为Weil的著名无风险利率之谜（见[24]）以及Mehra和Prescott的股权溢价之谜（见[19]）。调查中还详细讨论了这些和其他资产定价难题[5]。关于投资者收入流跨越的模型（即完整模型）中的连续时间拉德纳均衡理论的文献非常全面，更多信息请参考最近关于内生完整性的参考文献[1]、[14]、[12]和[18]。另一方面，具有连续时间交易和未经规划的收入流的模型（即不完整模型）的发展要少得多，直到最近几年才取得进展。

论文[26]、[25]、[6]和[17]考虑了具有指数效用、无股息（即只有金融资产）和离散时间消费的模型。这些论文不同于[8]中描述投资者定理4.1的基本状态过程的一般程度，表明当瞬时测量该比率时，任何基于指数效用、持续消耗和布朗运动产生的过滤的模型都不会对锐度产生不完全影响。通过限制投资者只在到期时消费，经济的利率无法确定。此外，通过仅考虑金融资产，资产的波动性结构也仍然是未知数。因此，在此类模型中，利率和波动率参数被视为外部特定的模型输入。离散时间收入流可以是：[26]考虑布朗运动和独立指标过程。[25]和[6]考虑了多重布朗运动（[6]也考虑了均值回归过程），而最近的论文[17]考虑了非马尔可夫布朗环境。本文更多地涉及[7]和[8]在布朗投资中，在指数型投资者持续时间消费的情况下，考虑金融资产和实际资产的人。实际上，本文可以被看作是[7]对不连续L’evy过程设置的直接扩展。本文的组织结构如下：下一节描述了基本的L’evyframework。第三部分为个人投资者问题的解决方案。第四部分包含我们的主要结果，它以闭合形式提供了平衡参数。最后一节从数值上说明了高斯复合泊松情形下由于不完全性而产生的平衡影响。

附录包含了所有的证据。数学设置。1基础L’evy过程我们让T>0表示时间范围，我们让I表示投资者的数量。(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）表示潜在的过滤概率空间，我们假设f=FT。对于一些潜在的RI+1维纯跳跃L\'evy过程η，我们表示[0，T]×RI+1上与η跳跃相关的随机计数测度为byN=N（dt，dz）。相应的补偿随机测度表示为N（dt，dz）=N（dt，dz）-ν（dz）dt，其中ν被称为RI+1上与η跳跃相关的L’evy度量，有关这些物体的更多细节，请参见，例如[2]和[23]。我们假设（Ft）t∈[0，T]是η产生的过滤（右连续且完成）。本文将对L’evy测度ν做出以下规律性假设：假设2.1。除了通常的性质ν（{0}）=0，ZRI+1（| | z）||∧ 1） ν（dz）<∞, （2.1）L’evy测度ν满足以下三个条件：Z | | Z | | |<1 | Z（0）|ν（dz）<∞, （2.2）Z | | Z||≥1eu（0）z（0）+u（i）z（i）ν（dz）<∞ 对于所有的u（0），u（i）∈ R和i=1。。。，一、 （2.3）ν（z（0）>0）>0和ν（z（0）<0）>0。(2.4)假设2.1需要几句话：[7]考虑带漂移的相关布朗运动的情况，这就是为什么我们只关注纯跳跃的情况。（2.3）适用于R中所有u（0）和u（i）的要求可以放宽到某个领域，代价是更麻烦的符号（这可以从附录B中的证明中看出）。条件（2.2）不是（2.1）所暗示的，因为它要求ν可以在单位球上积分z（0），而不是（z（0）），并且有很多含义；e、 （2.2）确保过程jt=Z | | Z | |<1z（0）N（dz，dt），t∈ [0，T]，（2.5）定义明确，变化有限。我们注意到，J仍然可以在有限的时间间隔内进行有限的活动。

最后一个条件（2.4）也可以放宽到要求一个特定的显式函数（见附录a引理a.1的最后一部分）。2.2假设投资者在运行消费上具有异质指数效用，即Ui（c）=-E-cτi，c∈ R、 τi>0，i=1。。。，I.（2.6）此处，投资者特定常数（τI）Ii=1称为风险承受系数。在债券价格、股票价格、收入和股息过程都以模型的单次消费为基础的情况下，我们考虑纯交换经济。在下一节中，过程J将与股票的股息过程D相关。好的第i个投资者的收益率过程由DYIT=uidt+σiZRI+1z（i）~N（dt，dz），Yi0建模∈ R、 （2.7）其中ui和σi>0是i=1的常数。。。，一、单只股票的股息率过程由Ddt=uDdt+σDZRI+1z（0）~N（dt，dz），D建模∈ R、 （2.8）其中uD和σD>0为常数。因为（2.5）是有限变异，我们也看到了D等位变异（上文（2.7）定义的可能不是）。我们注意到过程（2.7）和（2.8）不是独立的；实际上，D和yi之间的二次交叉特性由dhyi给出，Dit=ZRI+1σiσDz（0）z（i）ν（Dz），t∈ [0，T]，i=1。。。，I.2.3内生定价动态我们将限制金融市场仅由两种交易证券（一种金融资产和一种实物资产）组成。金融资产被视为零净供应货币市场账户。它的价格过程将显示为具有以下平衡动态Cds（0）t=S（0）trdt，S（0）=1，（2.9），其中r是一个常数。由于利率r是确定性的，货币市场账户相当于所有期限的零息债券。在下文中，我们需要相应的年金a（t）=ZTte-r（s）-t） ds，t∈ [0，T]。

（2.10）实际资产是支付股息流D的股票（见2.8）。这种安全性取决于单位净供应量，我们将证明其均衡价格动态由DST+Dtdt给出=rSt+u（t）dt+σDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz），ST-= 0，（2.11）括号h·，·i也被称为条件二次交叉变异；例如，参见【21】中的第III.5节。对于t∈ [0，T），其中u是一个确定性函数。为了定义T∈ [0，T]，我们明确定义为-（也就是说，定义为t=t时S没有跳变）。以下假设基于平衡输出参数，需要对任何候选参数集进行验证。假设2.2。函数u在[0，T]和uA上是连续的-这是恒定的。正如导言中所讨论的，我们感兴趣的是模型不完全性如何影响利率r和股票的夏普比率λ。股票的（瞬时）夏普比率定义为常数λ=u（t）σDA（t）qRRI+1（z（0））ν（dz。（2.12）夏普比率（2.12）衡量的是相对于噪声项标准偏差的股票回报率（扣除利息和分割成分）。夏普比已在文献中得到广泛研究和使用，我们参考[9]了解夏普比（2.12）在连续时间跳跃扩散环境中的应用。在本节的结尾，我们将介绍等价鞅测度集Q，它将在下面的内容中发挥关键作用。对于过程ψ=ψt（z），我们考虑线性形式dzψt=zψt的sigma鞅szψ-ZRI+1ψt（z）~N（dt，dz），t∈ [0，T]，Zψ=1。（2.13）为了确保（2.13）的唯一解存在，我们要求ψ是可积的，因为ψ是满足可积条件p的可预测流ZTZRI+1ψt（z）ν（dz）dt<∞= 1.（2.14）为了确保（2.13）的解是严格正的，我们需要ψt（z）>-1，P-a.s.，所有z∈ RI+1和t∈ [0，T]。

（2.15）在条件（2.14）和（2.15）下，（2.13）的唯一解是严格正局部鞅。我们还要求这个过程Zψ是鞅。这个鞅性质允许我们通过theRadon Nikodym derivativedQdP=ZψT定义FTF上的相关概率测度Q=Qψ。我们对被积函数ψ的最终要求是过程St/S（0）T+RtDu/S（0）udu，T的Q下的西格玛鞅性质∈ [0，T]。可以使用It^o的乘积规则来确定，对于所有t，该要求等同于性质u（t）σDA（t）+ZRI+1ψt（z）z（0）ν（dz）=0，P-a.s∈ [0，T]。（2.16）当ψ满足上述要求时，我们将相关测度Q=Qψ称为等价鞅测度。最后，我们注意到，由于模型（S（0），S）不完整，满足上述要求的被积函数ψ确实存在（下面的定理3.1和定理4.2明确地构造了此类被积函数）。3个人投资者的优化问题在本节中，价格动态（2.9）和（2.11）以及假设2.2被视为输入，我们考虑第i个投资者的效用最大化问题。因为S（0）=1，投资者的初始财富由Xi0=θ（0）i0给出-+ θi0-这里投资者的初始捐赠是θ（0）i0-货币市场账户的单位和θi0-股票的单位。在下文中，我们将让cidenote的消费率超过收入率Yi，即投资者i在时间t的累积消费∈ [0，T]由byRt（ciu+Yiu）du给出。接下来，我们描述第i个投资者的可接受策略集Ai=Ai（Q（i）），其中Q（i）是一些投资者特定的等价鞅测度（下面的定理3.1给出了特定的Q（i））。

投资者可以选择可预测的过程θ=（θt）t∈[0，T]和ci=（cit）T∈[0，T]产生自我融资收益动态退出=rXit- cit+θtu（t）dt+θtσDA（t）ZRI+1z（0）~N（dt，dz），Xi0∈ R、 （3.1）假设[0，T]上存在各种积分，并且假设左极限XiT-存在。在这种情况下，我们定义了终值XiT=XiT-为了让所有人∈ [0，T]。投资者被要求在到期时不留下任何金融义务，即退出≥ 最后，为了排除套利机会，我们需要过程Xit/s（0）t+Rtciu/s（0）uduis a Q（i）-t的超鞅∈ [0，T]。当满足这些要求时，我们编写假设2.1的条件（2.1）和（2.3），允许我们将柯西-施瓦茨不等式与（2.14）结合使用，以确定z（0）ψt（z）是可积的。（θ，ci）∈ 人工智能。投资者的最大化问题被放弃（θ，ci）∈艾伊ZTUi（cit+Yit）dt, （3.2）其中指数效用函数由（2.6）定义。本节其余部分将描述（3.2）的解决方案。为此，我们首先注意到附录A中的引理A.1确保函数3U（0）→ZRI+1z（0）eu（0）z（0）+u（i）z（i）ν（dz），u（i）∈ R、 （3.3）与域R有一个定义良好的连续逆fiu（i）（·）。然后我们可以定义常数θ*我∈ R by（这里我们使用（2.2）并假设uA-1是常数）θ*我=-τiσDfi-τiσi-u（t）σDA（t）+ZRI+1z（0）ν（dz）, （3.4）其中A是（2.10）定义的年金。这使我们能够确定常数gibygi=-r+τiA（t）-1θ*iu（t）+τiui-ZRI+1E-τiθ*iσDz（0）-τiσiz（i）- 1+τiθ*iσDz（0）+τiσiz（i）ν（dz）。（3.5）对于这些对象，以下结果提供了（3.2）的显式解；有关证据，请参见附录B。这表明[7]中的定理1从布朗框架延续到了L’evy过程的当前设置。定理3.1。假设2.1和2.2成立。

然后由ψi（z）=e定义的确定性被积函数ψ-τiθ*iσDz（0）-τiσiz（i）- 1，z∈ RI+1，（3.6）通过鞅密度（2.13）产生一个等价的鞅测度Q（i）。此外，对于相应的容许集Ai=Ai（Q（i）），过程（θ*i、 c*（一）∈ （3.2）中的上确界，其中θ*由（3.4）和C定义的iis*it=A（t）-1X*it+τiA（t）-1ZTte-r（s）-t） gi（s）- t） ds，t∈ [0，T]。（3.7）在（3.7）过程中*IDE注意到由（θ）产生的增益过程（3.1）*i、 c*i） 。定理3.1的证明证明了最优控制（θ*i、 c*i） 产生相应的增益过程X*我有房地产*它=0，P-a.s.，这意味着投资者最好不会留下财富。4拉德纳平衡本节包含我们的主要结果，以闭合形式提供拉德纳平衡。我们首先定义了我们在当前环境中所指的平衡：定义4.1（拉德纳）。我们称（2.9）和（2.11）给出的（S（0），S）为均衡，如果这些价格过程由满足假设2.2和if:1的一对（r，u）产生。存在等价鞅测度（Q（i））Ii=1和过程（θ）*i、 c*（一）∈ Ai=Ai（Q（i））在（3.2）中，当i=1。。。，I.2。市场清楚地表明，对于所有人（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 我们有Ixi=1c*it=Dt，IXi=1θ*it=1，IXi=1θ（0）*它=0。(4.1)我们的主要存在性结果（证明见附录B）用两个确定性函数（r，u）表示：首先，我们定义夏普比λ∈ R（常数）通过要求σD+IXi=1τifi-τiσi-λsZRI+1（z（0））ν（dz）+ZRI+1z（0）ν（dz）！=0，（4.2），其中逆函数（fi）Ii=1已在上一节中定义（见3.3）。莱玛。附录A中的1确保（4.2）唯一地确定λ。然后我们可以定义常数θ*如果i=1。。。，I除以θ*我=-τiσDfi-τiσi-λsZRI+1（z（0））ν（dz）+ZRI+1z（0）ν（dz）！。