GMWB的可变年金：是否退保，这是个问题

从QT开始，在时间上反复应用（11）和（12）-N（W（T）-), A（T）-)) = 最大值W（T）-), CN（A（T）-))（13） 为我们提供t=0时的年金价值。除了动态和静态策略外，本文还考虑了bang-bang策略，它是一种简单的辅助最优策略，在这种策略中，每个TN的保单持有人可以在合同日期Gn退出，不退出或放弃。3数值算法我们对GMWB退保定价所采用的算法进行了非常详细的描述，可在罗和舍甫琴科（2015a）中找到。下面我们将概述主要步骤。我们将资产领域离散化[Wmin，Wmax]X.Luo和P.V.舍甫琴科，GMWB的可变年金：投降与否，这是Wmin=W<W，WM=Wmax，其中wmin和Wmax分别为上下限。我们的想法是在t的每个时间步在所有这些网格点上查找年金值-nto t+n-1通过整合（11），从成熟期开始t=t-N=T-. 在每个时间步，我们通过高精度高斯-厄米特数值求积来评估每个网格点的积分（11）；它也可以通过使用我们为基准测试实施的有限差分法来解决相应的偏微分方程来实现。在时间步t-N→ t+n-1，t=t时的年金价值-仅在网格点Wm，m=0，1，M.为了从离散网格点的值近似连续函数Qt（W，A），我们使用一阶导数平滑、二阶导数连续的立方线插值。对于担保账户余额变量A，我们引入了一个辅助有限网格0=A<··<AJ=W（0），以跟踪剩余担保余额A，其中J是担保余额金额坐标中的节点总数。对于每个Aj，我们关联一个连续的解决方案Qt（W，Aj）。在每一次跳跃中，我们让一个tobe成为网格点Aj，1中的一个≤ J≤ J

对于任何W=Wm，m=0，1，M和A=Aj，j=1，J，鉴于提取金额只能取预先定义的值γ=Aj- Ak，k=1，2，j、 不考虑时间tn和账户值Wm，跳转条件（12）对于特定的数值设置qt采用以下形式-n（Wm，Aj）=最大值max1≤K≤j[Qt+n（最大值（Wm- Aj+Ak，0，Ak）+Cn（Aj）- Ak）]，Dn（Wm，Aj）. （14） 总的来说，我们有J个数值解（通过积分获得）要跟踪，对应于a J值，1≤ J≤ J.在时间上后退，我们发现Q（W（0），A（0））取决于政策费用α。最后，我们计算Q（W（0），A（0））=W（0）对应的α的公平费用值，这显然需要迭代过程。4数值结果下面我们给出了在最优和次优Malbang-bang退出策略下，具有放弃期权的GMWB公平费用的数值结果。为了方便起见，我们将不带退保选项的最优退保策略的结果表示为GMWB，并将退保选项表示为GMWB-S。正如罗和舍甫琴科（2015a）所讨论的，在文献中可以找到的动态保单持有人行为下GMWB的结果很少，这些结果是不带退保选项的GMWB的结果。出于验证目的，Chen和Forsyth（2008）可能得出了最准确的结果，这是在一项详细的收敛性研究中使用非常精细的网格获得的。如表1所示，我们的公平费用GMWB结果与Chen和Forsyth（2008）的结果相比非常好。两项数字研究之间公平收费率的最大绝对差异仅为0.3个基点（一个基点为费率的0.01%）。表1显示了GMWB、GMWB-S和bang-bang结果之间的一些非常有趣的比较。

在波动率σ=0.2时，GMWB-S的公平费用几乎与GMWB相同，这意味着放弃对最优策略的价值几乎没有增加；在高波动率σ=0.3时，GMWB-S的费用明显高于GMWB，按半年一次的频率高达50%。这可能表明，在高波动率下，在账户余额或担保水平较高的情况下放弃是最佳选择。此外，它还表明，频率越高，放弃期权的价值越高。与bang-bang和GMWB-S相比，费用低于预期的最优策略，但在两个波动率值下，价格都没有显著降低——最多只降低10%左右。图1显示了在σ=0.2、r=0.05和β=0.1的情况下，作为合同年提取率函数的费用曲线。它比较了四种情况：静态（无退保）、GMWB、GMWB-S和bang-bang，每季度退保一次，罚款10%，即β=0.1。该比较还显示，GMWB和GMWB的费用几乎相同，σ=0.2，bang bnag仅略低于GMWB-S，表1中的结果证实了这一点。然而，在相同的波动率σ=0.2的情况下，如果我们将额外费用从β=0.1降低到β=0.05，就会出现新的特征，如图2所示。当罚款减少且所有其他参数不变时，退保选项为GMWB增加了更重要的价值——事实上，在低至中等合同退保率（或相当于长期或中等成熟度）下，违规行为增加了一倍多，即GMWB-S的费用是GMWB的两倍多。在罚款减少的情况下，bang-bang的费用仍然接近于退保选项GMWB-S的最优策略。我们还对退保选项的静态退保进行了计算，这与bang-bang减去“不退保”选项相同。

我们发现，此类合同的费用仅比bang-bang策略低不到1%，这意味着“不撤回”选项对合同的价值几乎没有增加。最后，不同的启用函数可应用于退保（即退保现金流可不同于（6））。福克斯。Luo和P.V.Shevchenko，《GMWB的可变年金：退保与否》，这是一个问题示例，我们不必只处罚超过合同退保率的金额，而是可以处罚整个终止金额。在这种情况下，我们发现对于给定的β，GMWB-S和bang-bang只产生略低的费用——这也许并不令人惊讶，因为在最佳情况下，退保金额必须比合同利率高出很多，因此对全部金额的处罚并不比仅对超出部分的处罚严重多少。频率波动率Chen&Forsyth GMWB GMWB-S Bang Bang每年0.2 129.1 129.1 129.2 123.9半年0.2 133.5 133.7 134.0 125.6每年0.3 293.3 293.5 418.4 392.9半年0.3 302.4 302.7 456.5 410.7表1。比较GMWB、GMWBS和bang-bang的结果之间的公平费用α（基点为0.01%）。“Chen&Forsyth”下的结果是GMWB。输入参数为g=10%、β=10%、r=5%和σ=0.2。提取频率为每季度一次。1030507090101301501701902103 5 7 9 11 15 17没有投降具有投降图1。公平费用α是静态、GMWB、GMWB-S和bang bang ata季度提款率的年度担保率g的函数。固定输入参数为β=10%、r=5%和σ=0.2。106011010602102603103604104603 5 7 9 11 15 17没有投降具有投降图2。公平费用α是静态、GMWB、GMWB-S和bang bang ata季度提款率的年度担保率g的函数。固定输入参数为β=5%、r=5%和σ=0.2。十、

Luo和P.V.Shevchenko，GMWB可变年金：退保与否，这是问题5结论在本文中，我们开发了静态、动态（最优）和bang-bang保单持有人策略下，GMWB可变年金和退保特征的数值估值。结果表明，遵循简单的bang-bang策略不会导致价格或同等费用的显著降低。Wealso还观察到，退保期权增加的额外价值在很大程度上取决于波动性和滞纳金，以及其他因素，如合同利率和到期日。在高波动性或低罚款收费的情况下，退保功能为GMWB合同增加了非常重要的价值——在某些情况下增加了一倍多；强调了真实产品定价中考虑退保特征的重要性。我们假设投保人将一直生活在到期日之后，或者总有人在合同的整个期限内做出最佳取款决定。考虑在GMWB的基础上增加一些死亡福利并非难事，即将GMWB与某种人寿保险相结合，正如我们最近的论文罗和舍甫琴科（2015b）所做的那样，考虑到市场过程和死亡过程。进一步的工作包括承认其他随机风险因素，如随机利率或波动性。感谢感谢CSIRO莫纳什退休金研究集群提供的财政支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、华威大学以及退休系统的利益相关者合作，旨在为所有人带来更好的结果。参考Azimzadeh，Y.和P.A.Forsyth（2014）。gmxb合约最优bang-bang控制的存在性。滑铁卢大学的工作文件。巴西内洛，A.，P.米洛索维奇，A。

奥利维耶里和E.皮塔科（2011年）。可变年金：一种统一的估值方法。保险：数学与经济学49（1），285-297。Bauer，D.，A.Kling和J.Russ（2008）。保证最低福利不变年金的通用定价框架。ASTIN公告38（2），621-651。B–auerle，N.和U.Rieder（2011年）。马尔可夫决策过程及其在金融领域的应用。柏林斯普林格。陈振和P.福赛斯（2008）。具有保证最小提取收益（gmwb）的定价变量的脉冲控制公式的数值格式。数字是数学109（4），535-569。戴、M、郭国彦和宗俊彦（2008）。可变年金中保证的最低提款收益。数学金融18（4），595-611。黄，Y.和P.A.福赛斯（2012）。分析为保证最低提款收益（GMWB）定价的惩罚方法。《数值分析杂志》32，320–351。黄永和郭永康（2014）。分析退出担保产品中的最优动态退出策略。经济动力与控制杂志45，19-43。罗，X.和P.V.舍甫琴科（2014）。在三次样条插值上使用gausshermite求积为奇异期权定价的快速简单方法。金融工程杂志1（4）。内政部：10.1142/S2345768614500330。罗，X.和P.V.舍甫琴科（2015a）。最优退出策略下保证最小退出收益的可变年金定价的快速数值方法。预印本将发表在《金融工程杂志》上，网址为http://arxiv.org/abs/1410.8609.Luo，X.和P.V.舍甫琴科（2015b）。通过随机控制优化对保证最低提款和死亡福利的可变年金进行估值。保险：数学与经济学62，5-15。米列夫斯基，M.A.和T.S.索尔兹伯里（2006）。

保证最低提取福利的财务估值。保险：数学与经济学38（1），21-38。