GMWB的可变年金：是否退保，这是个问题

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英文标题：
《Variable Annuity with GMWB: surrender or not, that is the question》
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作者：
Xiaolin Luo and Pavel Shevchenko
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Under the optimal withdrawal strategy of a policyholder, the pricing of variable annuities with Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) is an optimal stochastic control problem. The surrender feature available in marketed products allows termination of the contract before maturity, making it also an optimal stopping problem. Although the surrender feature is quite common in variable annuity contracts, there appears to be no published analysis and results for this feature in GMWB under optimal policyholder behaviour - results found in the literature so far are consistent with the absence of such a feature. Also, it is of practical interest to see how the much simpler bang-bang strategy, although not optimal for GMWB, compares with optimal GMWB strategy with surrender option.   In this paper we extend our recently developed algorithm (Luo and Shevchenko 2015a) to include surrender option in GMWB and compare prices under different policyholder strategies: optimal, static and bang-bang. Results indicate that following a simple but sub-optimal bang-bang strategy does not lead to significant reduction in the price or equivalently in the fee, in comparison with the optimal strategy. We observed that the extra value added by the surrender option could add very significant value to the GMWB contract. We also performed calculations for static withdrawal with surrender option, which is the same as bang-bang minus the \"no-withdrawal\" choice. We find that the fee for such contract is only less than 1% smaller when compared to the case of bang-bang strategy, meaning that th \"no-withdrawal\" option adds little value to the contract.
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中文摘要：
在投保人的最优退出策略下，保证最小退出收益的可变年金（GMWB）的定价是一个最优随机控制问题。已上市产品中的退保功能允许在到期前终止合同，这也是一个最佳停止问题。尽管退保特征在可变年金合同中非常常见，但在最优保单持有人行为下，GMWB中似乎没有关于这一特征的公开分析和结果——到目前为止，文献中发现的结果与缺乏这一特征的情况一致。此外，看看简单得多的bang-bang策略（虽然对GMWB来说不是最优的）与带有放弃选项的最优GMWB策略相比，这也是一个实际的兴趣所在。在本文中，我们扩展了我们最近开发的算法（Luo和Shevchenko 2015a），将退保期权纳入GMWB，并比较了不同投保人策略下的价格：最优、静态和bang-bang。结果表明，与最优策略相比，遵循简单但次优的bang-bang策略不会导致价格显著降低或费用相当。我们观察到，退保期权增加的额外价值可以为GMWB合同增加非常重要的价值。我们还计算了带放弃选项的静态撤回，这与bang-bang减去“不撤回”选项相同。我们发现，与bang bang strategy相比，此类合同的费用仅减少不到1%，这意味着“不撤资”选项对合同的价值几乎没有增加。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Variable_Annuity_with_GMWB:_surrender_or_not,_that_is_the_question.pdf (167.54 KB)

2022-5-8 20:54:30 上传

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关键词：Calculations Quantitative significant derivatives QUANTITATIV

GMWB的可变年金：投降与否，这是问题X。Luoa and P.V.Shevchenkoacsiro风险分析集团，澳大利亚版本：2015年7月31日电子邮件：Xiaolin。Luo@csiro.auAbstract：具有最低取款收益保证（GMWB）的可变年金合同承诺，无论投资组合表现如何，在保单有效期内通过现金取款以及到期时的剩余账户余额来返还全部初始投资。我们假设市场存在完全的财务风险，也不存在死亡风险（如果投保人死亡，合同由受益人维持），因此年金价格可以表示为适当的预期。在投保人的最优提取策略下，基于GMWB的可变年金定价是一个最优随机控制问题。已上市产品中的退保功能允许在到期前终止合同，这也是一个最佳停止问题。尽管退保特征在可变年金合同中非常常见，但在最优保单持有人行为下，GMWB中似乎没有关于这一特征的分析和结果——到目前为止，文献中发现的结果与缺乏这一特征的情况一致。最近，Azimzadeh和Forsyth（2014）证明了保证终身提取福利（GLWB）合同的最佳bang-bang控制的存在。特别是，他们发现，GLWB持有人可以通过仅执行不提款、完全按照合同利率提款或完全退保来最大限度地增加损失。这大大减少了战略空间。然而，他们也证明了相关的GMWB契约不是保凸的，因此除了在某些退化情况下，不满足bang-bang原理。

对于GMWB欠最优退出假设，文献中似乎只有Dai等人（2008年）、Chen和Forsyth（2008年）以及Luo和Shevchenko（2015a）开发的数值算法，但他们都没有在最优退出策略的基础上使用放弃选项进行计算。此外，研究简单得多的bang-bang策略（虽然对GMWB来说不是最优的）与带有放弃选项的最优GMWB策略相比，这也是一个实际的兴趣所在。最近，在Luo和Shevchenko（2015a）中，我们为pricingGMWB合同开发了一种新的有效数值算法，在已知提取日期或其时刻之间标的资产的转移密度的情况下。该算法依赖于通过应用于三次样条插值的高阶Gauss-Hermite求积来计算预期合同值，并且比标准的偏微分方程方法快得多。在本文中，我们扩展了我们的算法，将退保期权包含在GMWB中，并比较了不同投保人策略下的价格：最优、静态和bang-bang。结果表明，与最优策略相比，遵循简单但次优的bang-bang策略不会显著降低价格或同等费用。我们还观察到，退保期权增加的额外价值在很大程度上取决于波动性和罚款，以及合同利率、到期日和利率等其他因素。在高波动性或低罚款的情况下，退保功能为GMWB合同增加了非常重要的价值——在某些情况下，所需的公平费用增加了一倍以上；因此，在实际产品的定价中，考虑退让特征至关重要。

我们还计算了带退保选项的静态退保，这与bang-bang减去“不退保”选项相同。我们发现，与bang bang Strategy相比，此类合同的费用仅减少不到1%，这意味着“不撤资”选项对合同的价值几乎没有增加。关键词：可变年金、最优随机控制、最优停止时间、bang-bang控制、保证最小提取收益、退保期权、高斯-厄米特求积、三次样条。X.Luo和P.V.Shevchenko，《GMWB可变年金：投降与否，这是问题1简介世界人口正在快速老龄化。因此，预计未来几十年，所有发达国家与年龄相关的支出都将大幅增加。发达国家的ZF越来越多地意识到他们支付不起足够的公共养老金，并正在寻找退休收入产品市场的创新。在本文中，我们考虑了一个具有保证最低提取收益的可变年金合同（GMWB），该合同具有在到期前放弃合同的选择权。本合同承诺，无论投资组合表现如何，在保单有效期内，通过现金提取以及到期时的剩余账户余额，归还全部初始投资。因此，即使保单持有人的账户在到期前降至零，GMWB功能仍将继续提供担保现金流。此外，我们允许在到期前放弃合同，这是市场上真实产品的标准特征。GMWB允许投保人在低于或按照合同利率的情况下提取资金，而无需支付罚金，并在高于合同利率的情况下支付一定罚金。

如果投保人的行为是被动的，并且在合同开始时预先确定了每个提款日期的提款金额，那么投保人的行为称为“静态”。在这种情况下，可以模拟账户的路径，并使用标准的蒙特卡罗模拟方法对GMWB进行定价。另一方面，如果投保人在每个退保日期以最佳方式决定退保金额，则投保人的行为称为“动态”。在投保人最优退出策略下，带有GMWB的可变年金定价成为非最优随机控制问题；而加入投降特性也使其成为一个最优停车问题。在过去十年中，许多论文都考虑了动态和静态退出策略下具有GMWB特征的可变年金，例如Milevsky and Salisbury（2006）、Bauer等人（2008）、Dai等人（2008）、Huang和Forsyth（2012）；黄和郭（2014），Bacinello等人（2011）。最近，Azimzadeh和Forsyth（2014）证明了保证终身提取收益（GLWB）合同的最优bang-bang控制的存在性。特别是，他们发现，GLWB的持有人只能通过不提款、完全按照合同利率提款或完全退保来最大限度地减少合同作者的损失。这大大减少了最优策略空间。然而，他们也证明了相关的GMWB契约不是保凸的，因此除了在某些退化情况下，不满足bang-bang原理。对于最优提取假设下的GMWB，Dai等人开发了数值算法。

（2008）和Chen和Forsyth（2008）似乎是文献中唯一发现的，它们都基于通过有限差分法求解相应的偏微分方程（PDE）。在提取日期或其时刻之间的潜在财富过程的转移密度以封闭形式已知的情况下，通常可以更方便、更有效地利用直接积分方法，在反向时间步程序中计算所需的年金价值预期。罗和舍甫琴科（2014、2015a）开发了这种分析算法，用于解决GMWB可变年金定价中的最优随机控制问题。这允许在标准台式PC上获得典型GMWB年金价格的几乎即时结果。在本文中，我们采用该算法，在静态、动态和简单的bang-bang取款策略下，使用带退保选项的GMWB对可变年金进行定价。据我们所知，目前还没有任何出版物同时提供GMWB的最佳退出和放弃功能。在下一节中，我们将描述具有离散取款的GMWB产品、基础随机模型和优化问题。第3节描述了用于定价的数值算法。第4节给出了一系列GMWB合同条件下公平费用的数值结果。第5.2节模型给出了结论性意见。我们假设市场在财务风险方面是完全的，并且不存在死亡风险（如果投保人死亡，则由受益人维持合同），因此，年金价格可以表示为标的资产风险中性过程下的预期。

设S（t）表示在无套利条件下遵循风险中性随机过程D（t）=r（t）S（t）dt+σ（t）S（t）dB（t），（1）其中B（t）是标准维纳过程，r（t）是无风险利率，σ（t）是波动率。为了简单起见，我们假设模型参数是时间离散的分段常数函数0=t<t<·t<·tN=t，其中t=0是今天，t是年金合同到期日。表示对应的X。Luo和P.V.Shevchenko，《GMWB的可变年金：是否退保，即S（t）资产价值的质疑》，S（tN）；以及无风险利率和波动率，r和σ，σ。也就是说，ris是指时间teriod（t，t）的利率；ris是指（t；t）等的利率，类似于波动率。投保人在tis提前支付的溢价投资于风险资产的参考投资组合S（t）。将该可变年金账户（以下简称财富账户）在t时的价值表示为W（t），即投保人支付的预付保费为W（0）。GMWB保证退还特优ViaN≥ 在时间tn时允许0，n=1，N.让Nw表示一年的取款次数（例如，每月取款Nw=12），然后取款总数N= Nw×T.提款总额不得超过担保W（0），且提款可能不同于合同（担保）提款Gn=W（0）（tn）- tn-1） /T，如果γn>Gn，将处以罚款。用g=1/T表示年合同费率。将担保在时间t的价值表示为A（t），以下简称担保账户。显然，A（0）=W（0）。为清楚起见，将t之前（即退出前）的时间表示为t-,在t之后（即。

退出后）作为t+。然后担保余额演变为asA（t+n）=A（t-n）- γn=A（t+n）-1) - γn，n=1，2，N（2）与A（T+）=0，即W（0）=A（0）≥ γ+··+γ与α（t+n）-1) ≥PNk=nγk。账户余额A（t）在区间（tn）内保持不变-1，tn），n=1，2，N在参考投资组合过程（1）的情况下，财富账户W（t）演变为asW（t）-n） =W（t+n）-1） S（tn）-1） S（tn）e-αdtn=W（t+n）-1） e（注册护士）-α-σn）dtn+σn√dtnzn，（3）W（t+n）=最大值W（t）-n）- γn，0, n=1，2，N、 （4）式中，dtn=tn- tn-1，zn是iid标准正态随机变量，α是保险公司收取的年费。如果账户余额变为零或负，那么它将保持零直到到期。投保人在取款时收到的现金流由CN给出（γn）=γn，如果0≤ γn≤ Gn，Gn+（1）- β） （γn）- Gn），如果γn>Gn，（5）其中GNI为合同提款。也就是说，如果退出γ超过Gn，即β，则适用罚款∈ [0,1]是对高于Gn的提款部分的处罚。如果投保人在时间段τ决定退保∈ （1，…，N.）- 1） 然后投保人收到现金流τ（W（tτ），A（tτ））并终止合同。例如，我们假设dτ（W（tτ），A（tτ））：=Cτ（max（W（tτ），A（tτ））；（6） 其他标准投降条件也可以很容易地实施。将时间t的可变年金价值表示为Qt（W（t），A（t）），即它由财富和担保账户W（t）和A（t）的价值决定。到期时，如果未提前退保，投保人将在扣除违约金后的剩余担保提取额和个人账户的剩余余额之间取最大值，即最终收益为qt-N（W（T）-), A（T）-)) := hN（W（T）-), A（T）-)) = 最大值W（T）-), CN（A（T）-)).

（7） 在上述假设/条件下，年金在tisQt（W（t），A（t））=maxτ，γ，。。。，γfNEtB（0，τ）Dτ（W（t）-τ） ，A（t）-τ） I{tτ<t}+B（0，N）hN（W（t-), A（T）-))(1 - I{tτ<t}）+eNXj=1B（0，j）Cj（γj）,eN=min（τ，N）- 1，（8）式中B0，n=exp(-Rtnr（τ）dτ）是贴现因子，I{·}是指标函数。请注意，年金政策Q（W（0），A（0））的当前值是政策费α的函数。这里，τ是停止时间和x。罗和P.V.舍甫琴科，GMWB的可变年金：投降与否，这是个问题，γN-1是为最大化贴现现金流的预期价值而选择的控制变量，预期E[·]是在以Wand A为条件的风险中性过程下得出的。α的公允费用价值对应于Q（W（0），A（0））=W（0）。需要注意的是，对于基础过程的不同实现，控制变量和停止时间可能不同，而且控制变量γn影响基础财富过程从tn到tn+1的转换规律。总的来说，评估具有投降特征的GMWB就是解决具有最优停止的最优随机控制问题。表示时间tnas Xn=（W（t）时的状态向量-n） ，A（t）-n） ）。鉴于X=（X，…，XN）是马尔科夫过程，很容易认识到，最优提取策略（8）下的年金估值是马尔科夫过程的最优随机控制问题，可以递归求解，以确定年金价值Qtn（X）attn，n=n- 1.0通过反向感应qtn（x）=maxsup0≤γn≤A（t）-n）Cn（γn（Xn））+e-rn+1dtn+1ZQtn+1（x′）Ktn（dx′|x，γn）, Dn（x）！（9） 从最终条件QT（x）=max（W（T）开始-), CN（A（T）-))). 这里，Ktn（dx′|x，γn）是随机核，表示在时间tn+1时，如果退出（动作）γnis应用于时间tn时的状态x，则在dx′中达到状态的概率。

关于金融中随机控制问题的良好教科书处理，seeB–auerle和Rieder（2011年）。明确地说，这种向后递归可以如下解决。固定a（t）在任何时间t的年金价格仅是W的函数。注A（t+n）-1） =A（t）-n） =周期内的Ais常数（t+n）-1，t-n） 。因此，在反向时间步长设置中（类似于有限差分模式），t=t+n时的年金值-1可按以下预期进行评估qt+n-1.W（t+n）-1） ，A= Etn-1他-rndtnQt-NW（t）-n） ，A|W（t+n）-1） 哎。（10） 假设W（t）的条件概率分布密度-n） 给定W（t+n）-1） 被称为aspn（w（tn）|w（tn）-1） ），则可以通过qt+n来评估上述期望-1.W（t+n）-1） ，A=Z+∞E-rndtnpn（w | w（t+n-1） ）Qt-n（w，A）dw。（11） 在财富过程（3）的情况下，转移密度pn（w（tn）|w（tn）-1） ）以闭合形式已知，我们将使用高斯-厄米特求积来评估有限域上的上述积分。所需的连续函数Qt（W，A）将通过W空间中离散网格上的三次样条插值来近似。A（t）的任何变化仅在提款日期发生。在tn提取γ后，财富账户从W（t）减少-n） 到W（t+n）=最大值（W（t-n）- γn，0），保证余额从A（t）下降-n） toA（t+n）=A（t-n）- γn.因此，Qt（W，A）跨越tn的跳跃条件由Qt给出-n（W（t）-n） ，A（t）-n） ）=max0≤γn≤A（t）-n） [Qt+n（最大值）W（t-n）- γn，0），A（t-n）- γn）+Cn（γn）]，Dn（W（t-n） ，A（t）-n） ）！。（12） 对于最优策略，我们选择了限制条件0下的γ值≤ γn≤ A（t）-n） 最大化函数值Qt-n（W，A）in（12）。