论增长最优税率与财富不平等问题

我们将重新分配率f乘以极限φ，并将g展开→ 0，其中结果与相关时间τ的值无关。利用小参数Kν（z）的渐近性，即：Kν（z）≈Γ(ν)Z-ν+Γ(-ν)Zν、 ν6=0，（12）一次结束，当√fφ<< ∑：他-我≈sφfΓ（|ν）- 1|)Γ(|ν|)√fφ∑|ν|-|ν-1|. （13） 当em>eu和φ→ 0，参数ν必然为正。然而，我们需要分别考虑两种情况：o0<ν<1，即差异em- eu小于∑/2- f（此处假定为正）。在这种情况下，我们发现：g≈φ→0em- φ +Γ(1 - ν)Γ(ν)(Σ/2)1-这是φ对小φ的一个增函数。这意味着，尽管个人比ZF更擅长创造财富，但开征财富税仍然是最佳选择！这种反直觉的影响是本文的主要结果，将在下文进行更详细的讨论ν>1，即差异em- eu大于∑/2- F现在，g的小φ展开式是：≈φ→0em+2f（ν）- 1)Σ- 1.φ=em+eu- em+∑/2em- eu+f- Σ/2φ、 （15）这表明只要em- eu<Θ+：=∑/2，对于小φ，增长率仍然是财富税率的递增函数，因为括号之间的项总是正的。但是当差异- eu超过了一个随着全球经济波动而增长的阈值∑最好不对私营部门征收任何财富税。

只有在效率非常高的私营部门，或表现良好的功能性公共部门，最优税率才会变为零。特殊情况ν=0导致K（z）≈Z→0- ln（z/2）- 0.577....g的小φ展开式中的下一项是φmin（ν，2）阶，具有负系数，因此，当em- eu→ Θ+.私人部门减公共部门增长率00。20.40.60.81最佳财富税率φΘ- Θ+0图1：最优税率φ的依赖关系示意图*作为私人/ZF诱导增长率的函数- eu。财富税税率应为零的上限为Θ+=∑/2，即私营或公共部门（或两者）的增长率波动越大，非零财富税有利的地区就越大。到目前为止，我们主要关注φ的极限→ φf变得很大的另一个极限很容易分析，因为在这种情况下（t）≈ *+ （t），带（t）<< 1.动力学方程 这样就成了线性的，并且可以对任意噪声相关器进行积分。最终的结果是，在这个极限下，g的生长速度r ate g呈现出一种简单的形式，可以被预先猜测：g≈ff+φem+φf+φeu，（16），即公共和私人增长率的加权平均值。上述分析结果表明——数值模拟[25]证实了这一点——当eu<em<eu+Θ+时，增长率g（φ）首先增长，达到最佳税率φ的最大值*, 然后下降到公式（16）给出的渐近值，该值始终低于此处考虑的情况下的免税增长率g（φ=0）=em。φ的值*可从式（14）中获得，前提是它很小（实际提供2√fφ*<< Σ).

将g（φ）相对于φ的导数设为零，则得到：（2φ）*/Σ)1-ν=νΓ(1 - ν） Γ（ν）（2f/∑）ν，（17）其中最佳增长率g*超过私营部门的增长率em（ν-1.- 1)φ*. 这些公式只是渐进式的，需要2f/σ非常小，且距离0和1非常远，否则等式（12）中的次前导校正变得相关。特殊情况ν=1/2是有趣的，因为在这种情况下-1（z）≡ 因此，平均增长率变得非常简单，读数为：g=em- φ+pfφ，（ν=1/2），（18），φ的最大值*= f/4，即最优增长率比私人增长率em高出f/4，即使ZF诱导的增长率小于em，也是如此。不过，财富税对全球经济的影响更好。最优税率φ的行为*作为em的函数- eu如图1所示。我们现在来看看私人投资不如公共部门的效率的情况，要么是因为ZF通过（有风险的）公共研究[22]促进杰出的创新，要么是因为个人短视（投资于糟糕的项目）或规避风险（并将其现金持有在非生产性资产中），将em降低到eu以下- F在这种情况下-1<ν<0，则得到：g≈φ→0eu- f+Γ（1）- |ν|)Γ(|ν|)(Σ/2)1-2 |ν| f |ν|φ|ν| |，（19）其中我们保留了次前导项以保持对φ的依赖，否则它将消失为前导顺序。因此，我们可以看到，正如本案所预期的，小税率会提高经济增长率。但是请注意，φ中的线性项已经消失，这意味着最优税率不再在小φ区域。通过分析φ，可以确定最优税率的存在性→ ∞ 极限，其表现为：g≈φ→∞eu+φΣ4τ- f（eu- 相对长度单位- f）.

（20） 如前所述，就固定税率而言，经济由公共部门主导，并以eu的速度增长。然而，当eu较大时，即eu，则从下方接近该渐近极限- em>Θ-:= f+∑/（4τf）（在这种情况下，理论上的最佳税率实际上是φ=∞), 当eu- em<Θ-, 表明非平凡最优税率φ的存在性*在这种情况下，它不再是小的，而是τ级的-1.综上所述，我们找到了四种状态（另见图1），其中Θ+=∑/2和Θ-= f+∑/（4τf）：1。em>eu+Θ+（强大的私营部门/功能失调的公共部门）：财富根本不应该征税，对吗*= 0（右翼/保守派传说）。然而，请注意，如果没有财富税（或所得税），私营部门的财富将以更快的速度增长，并逐渐与国民财富脱钩，导致类似于皮凯蒂[1]所讨论的“r>g”困境的不可持续状况。eu<em<eu+Θ+（私营部门比公共部门好，但不多）：应该对财富征税，当再分配变得更严重时，所有这些都更应该征税：φ*∝ fν/1-ν.3. eu-Θ-< em<eu（公共部门比私营部门好，但不是很多）：财富应该被更严厉地征税，但一些财富仍应该留在私营部门。最优税率是这样的：在投资项目的典型持续性规模τo期间，私人财富得以保留，即φ*τ ~ 1.4.

eu>em+Θ-（非常强大的公共部门/功能失调的私营部门）：财富应该为非最佳经济增长率（共产主义假设）征税。虽然这两种极端情况（在我们的模型中）是非常明显的，但中间的两种情况并不是直接直观的；例如，当个人比政府机构更有效率时，为什么要向富人征税，这又如何导致经济增长大于私营部门本身？该机制实际上与一般勘探/开采贸易密切相关，大致如[19,20]所述。这种想法只是时间上的多样化：尽管公共部门的效率可能平均低于个人，但一些项目将非常成功，政府必须有办法为它们融资，前提是所产生的增长在私营部门得到有效的再分配。相反，从长远来看，一些私人投资可能会被证明是不好的，并且分配给它们的资金不足是个好主意。这就是为什么风险随着投资的不确定性而增加：私营部门和公共部门绩效之间的差异必须弥补零财富税率成为最佳税率的风险。如果私营部门的效果不如政府机构，那么整个论点就会发生逆转：保持大量的私人投资对经济还是有好处的。让我们最后讨论一下人口中的财富不平等问题，这可以在samemodel[8,14]中解决。如[8,11,12]所示，等式（1）一般会导致稳态下财富分布的帕累托（幂律）尾。尾部指数α可以在几种情况下显式计算[8、11、12]，并与基尼系数G相关≈ (2α - 1)-1.

基尼系数是衡量不平等的标准指标[27]；对于平等主义社会来说，它等于零，而当总财富的一小部分掌握在少数公民手中时，它等于团结。大多数发达国家的基尼系数在0.3之间- 0.5，对应于e 1.5范围内的帕累托尾指数α- 2.人们预计，随着一些财富税的引入，αs应该增加（因此基尼系数降低），这一点从直觉上看是显而易见的。在简单的平均场情况下，所有Jijin公式（1）都等于J/N，事实上，我们发现：α（φ）=1+2（J+φ）（1）- ρ） s；=> G（φ）≈(1 - ρ） s4（J+φ）+（1）- ρ） s, （21）例如，对应于对称情况eu=em和φ=f的特殊情况ν=0本身就很有趣，并导致了与[19]中发现的非常相似的异常税率。利用K（z）的渐近性→ 0），一个查找，到主要订单G≈φ→0em- φ+σ/2（ln（pfφ/σ））-1，这确实是一个（强烈的！）小φ时φ的增函数。有关di-screte tim e模型中的类似讨论，请参见[26]。虽然不是很明显，但他们的随机乘法模型实际上与[8]中研究的模型有着深刻的联系。这里有一个微妙之处：一个人应该接受N的极限→ ∞ 在t之前→ ∞ 要获得无标度财富的合理分配，请参见[10]。事实上，该模型可以精确地映射到德里达的随机能量模型[28]，并可以导致有限的财富凝聚。当每个代理与大量伙伴进行交易时，这个等式仍然近似为真。（对于少数贸易伙伴，见参考文献[12]中的等式（16））。请注意，在没有税收的情况下，财富不平等是由代理人在他们的投资上有不同（随机）的成功水平这一事实产生的，由他们的异质性方差（1）参数化- ρ） 美国。

方差越大，基尼系数就越大（请记住，假设所有代理的平均增长率m都是相同的——因此不考虑系统技能差异，也不负责造成不平等：随机性就足够了！）。另一方面，交换强度J与帕累托指数（或基尼系数）上的税收具有相同的再分配效应，正如最初在[8]中提到的那样。上述分析的结论是，根据上述四种情况中哪一种最适合一个国家的经济，征收非零财富税可能是最佳选择*, 这将起到减少不平等、促进增长的作用，正如数据所表明的那样[7]。然而，由此产生的财富分配仍将是高度倾斜的帕累托分布，具有基尼系数*≈ （2α（φ*) - 1)-1.仅在案例4中。以上（具体税率）将是消除社会所有不平等的最佳选择。但在所有其他情况下，我们的模型表明，我们应该接受这样一个事实，即某种程度的财富不平等实际上在经济增长方面是最优的。在这方面，任何人都应该注意到，如果再分配政策是公平的（即系数κi均匀分布在人口上，或者至少不集中在一小部分代理人上），那么人口中的每一个成员都会在自己的水平上受益于最佳经济增长*以上计算。从更专业的角度来说，这意味着财富的整体分配是由财富的总体水平W（t）来衡量的。在这种情况下，最大限度地提高总体增长率似乎对每个人都是最佳的；然而，其他考虑可能会导致政府进一步减少财富不平等。

除了道德方面的考虑之外，严重的不平等也会带来经济代价：社会动荡和不安全确实可能导致经济生产率大大降低（见[7]中的讨论），即较小的新兴市场反过来会有利于提高税率，并引导系统朝着降低不平等的方向发展。换句话说，基尼系数应该在增长率的基础上加入政府希望在φ和f上优化的社会福利函数。然而，我们应该注意到，在我们的模型中，不增加税收的情况下，实际上可以减少不平等，例如通过更有针对性的再分配政策（通过κi），或更好的交换网络，例如，通过增加竞争，以消除与具有局部收敛的Jij（即世界苹果）的节点相关的财富“过剩”。尽管我们的经济模型显然是高度程式化的（但并没有比经济学文献中的模型更彻底），但我们相信它有助于揭示税收和再分配的非直觉效应，这是经济增长随机乘法性质的一个小经济序列。我们关于最优财富税率存在的结果，即使在个人比政府机构更擅长创造增长的情况下，也是非直觉的，但这是根据最近关于类似情况下存在剥削/剥削贸易效应的研究得出的[19–21]。我们相信，在一定程度上，这是一个详细（冷静）的实证调查问题，以确定一个国家的经济最有可能处于上述四个“阶段”中的哪一个，然后再决定财富税的水平（还考虑到逃税和/或人才外流的问题，这可能需要征收全球财富税）。

换句话说，em是大于还是小于eu不能从理论上确定，需要特别仔细检查。很可能是个人比公共机构更有创造力，或者更愿意冒险，在这种情况下，非常小的财富税将使所有人受益。相反，人们可能会发现富人倾向于在银行账户中囤积现金，对在哪里进行最佳投资缺乏远见，或者过度消费，从而浪费资源，减少增长机会[22]。它应该是一个高效的金融行业的角色，帮助储蓄流向生产性投资。我们倾向于相信，标准经济模型假设的理性经济人并不能描述个人，即使是富人，但更容易产生一系列严重的偏见，这在行为学文献[29,30]中有充分的记载。明智的、增长最优的投资是困难的，需要时间；富有的人可能需要帮助和/或灵感来实现这一目标。模型有助于指导人们的直觉，但以上得出的所有结论当然都应以s alt的阿格兰为准。我们坚持认为，在提出任何严肃的政策建议之前，尝试确定模型的一些参数是一个先决条件。然而，在我们的框架之外还有许多影响，特别是时间尺度这一关键问题，我们已经把这些影响掩盖起来了。至于大多数阶级经济学模型，我们的结果关注的是经济的长期增长率，真正的乘数效应在其中发挥作用。对于年增长率和税率为几%的情况，这意味着我们在考虑可能的非线性影响之前的几十年时间尺度，例如em对φ的负依赖性（即。

高税收扼杀创新的激励[6]）也应该考虑在内。套用一句俗语：如果你这么富有，为什么你不聪明？，尤其是当应用于继承财富时。在这方面，不同的税率可能会刺激更倾向于增长的高风险投资，进而增加em。达到上述平稳状态[31]。在这些长时间尺度上，人们应该预计模型的参数，尤其是增长率本身，肯定会发生变化，例如，由于规模政策本身对基础设施质量、公共和私人激励的反馈，或其他政治和社会因素的组合[32]。不平等、教育、腐败等因素对这些增长率的影响不容夸大[7]。尽管忽略了这些有趣的复杂因素，我们希望我们的模型基于最小的假设和稳健的多元化，有助于理解为什么可能需要一定数量的财富税来提高长期经济增长，以及为什么一定程度的财富不平等可能——也许矛盾地——对社会有益。致谢：这项工作是由G.Bonnechère、a.Carton、a.Gourdon、J.Guillaud、E.Pouille和Y.Zhang在Ecole Polytechnique作为一个非常有成效的学生项目（“PSC”）开始的。与Alexander Dobrinevski和Thomas Gueudré就勘探/开采贸易，特别是两个地点的问题进行了重要讨论，这些讨论一直激励着我，并引导我提出了本文的想法。我还要感谢乔·纳森·多尼尔、奥古斯丁·兰迪亚、马克·波特、马特奥·斯默拉克和大卫·塞斯马对这些国际空间站的研究提出了非常有趣的见解。