最大限度地减少按比例下降时的预期寿命

我们使用推论2.1从命题3.1和3.2证明这个定理。事实上，由于（3.8）中定义的ζ解BVP（2.4），因此推论2.1得出ψ（w，m，x）=ζ（w/m）+x和π*（w，m）=-u-rσmζz（w/m）/ζzz（w/m）。为了z∈ [0，α]，我们可以显式地计算^ζ的勒让德变换，得到ζ（z）=λ+1- γγαyαzα-γ1-γ;因此，我们得到了ψ和π的第一个表达式*分别在（3.10）和（3.11）中。为了z∈ （α，1），我们不能显式计算^ζ的勒让德变换，但我们有ψ和π的隐式（第二）表达式*分别在（3.10）和（3.11）中，就双变量y而言。具体而言，对于w∈ （αm，m]，y=y（z）∈ [y，yα）唯一地解出^ζy（y）=w/m，这相当于（3.12）。作为y的函数∈ [y，yα），ψ（w，m，x）=x+^ζ（y）- y·w/m，在我们将（3.12）中的w/m和（3.2）中的第一个表达式中的^ζ（y）替换后，它成为（3.10）中的第二个表达式。类似地，作为y的函数∈ [y，yα），π*（w，m）=-u-rσm y^ζy（y），在我们从（3.7）中的第一个表达式替换^ζy（y）后，它成为（3.11）中的第二个表达式。备注3.2请注意，风险资产的最佳投资金额与Y无关。事实上，解决方案yy∈ （3.12）的[1，yα/y）独立于y，一旦我们有了y，那么π的表达式*（w，m）对于αm<w≤ m独立于y.3.3最优投资策略在本节中，我们比较π*针对三个相关的目标追求问题，给出了最优投资策略。首先，Young[12]表明，在比例消费下，当破产水平wr>0时，使终身破产概率最小化的最优投资策略由πr（w）=u给出- rσ（1）- γ） w，（3.13）代表w≥ wr，其中γ如（3.3）所示。注意πris与破产水平wr无关。第二，陈等人。

[6] 确定了最优投资策略，以最小化比例消耗下寿命下降的可能性。通过使用第3.1节和第3.2节的方法，我们可以证明，使寿命下降概率最小化的最佳投资策略由πd（w，m）=u给出- rσm（1）- γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-1.-yyγ-1#，（3.14）表示w>αm，其中≥ 1（3.12）。第三，Cohen和Young[7]解决了最小化破产低贫困概率的问题（包括恒定消费和比例消费）。人们可以把他们的问题看作是财富占据给定时间间隔的最小化的概括；关于恒定消耗的占用时间问题的解决方案，请参见[4]。作为[7]的特例，πo（w）给出了使区间[0，αm]的预期占用时间最小化的最优投资策略，其中m>0固定且独立于财富过程=u - rσ（1）- γ） w，0<w<αm，u- rσ（1）- γ） w，w>αm，（3.15），其中γ和γ分别在（3.3）和（3.4）中给出。在下面的定理中，我们比较了最优投资策略π*在（3.11）中给出了这三种策略。定理3.2≤ w<αm，wr>0小，π*（w，m）=πo（w）>πr（w）。（3.16）对于αm<w≤ m、 π*（w，m）=πd（w，m）<πo（w）=πr（w）。（3.17）特别是π*（αm）-, m） >π*（αm+，m）。证据对于0<w<αm，π*（w，m）>πr（w），由1- γ> 1 > 1 - γ. 对于αm<w≤ m、 π*（w，m）<πr（w）等价于（1）- γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-1.-yyγ-1#< (1 - γ） wm。将（3.12）中的w/m代入并简化后，该不等式被视为等价于γ<γ，这显然是正确的，因为γ<0<γ。从四种投资策略的表达式中可以清楚地看出（3.16）和（3.17）中的等式。

在提款时，最小化预期提款时间的个人或最小化预期占用时间（相同间隔）的个人进行相同的投资，这是一种短视投资，这并不奇怪，因为当一个人处于提款时，她所做的任何事情都不会影响其最大财富，并且在提款或占用期间产生的时间惩罚是相同的。两种策略（π）*与最小化终身破产概率时相比，πo）在风险资产中的投资更大，因为在内向时，前者持续产生时间惩罚，而后者仅在破产发生时产生时间惩罚。当不在提款期时，最小化预期提款时间或最小化提款发生概率的个人投资相同，这是近视的另一个例子。这种对应关系一开始似乎令人惊讶，因为前者直到财富在αm以下花费正的时间才产生惩罚，但后者在财富达到αm的瞬间产生最大惩罚。然而，如果财富达到αm，那么它将在αm以下花费正的时间，概率为1。此外，当不处于下降状态时（或当不占用[0，αm]时，我们将αm视为独立于占用者的财富过程），最小化占用时间或最小化任何正破产水平的破产概率的个人进行相同的投资，即第三个近视样本。如前一段所述，这种对应关系一开始似乎令人惊讶，因为前者在财富在αm以下花费正的时间之前不会产生惩罚，但后者在财富达到毁灭水平（我们可以将其设置为αm）时会产生最大惩罚。

然而，如前一段所述，如果财富达到αm，那么它将在αm以下花费正时间，概率为1。最后，当没有下降时，π*= πdare小于πo=πr因为最小化预期提款时间的个人会进行投资，以使最大财富不会增加到当前水平以上，但如果财富增加到任意大的规模，最小化短期（独立于财富过程）占用时间的个人会感到高兴。我们观察到在其他目标寻求问题上的短视投资。Bayraktar和Young[3]发现，在持续消费和无借贷投资约束的情况下，最佳投资策略可以最小化终身破产的可能性，也就是说，个人在风险资产上的投资不得超过其当前财富。在这种约束下，当约束没有约束时（特别是在更高的财富水平上），个人投资就好像约束不存在一样。最近，Bayraktar等人[2]和Bayraktar及Young[5]分别确定了最佳投资策略，以最大限度地提高在有人寿保险和无人寿保险的情况下实现遗赠目标的可能性。在那些最好不要购买人寿保险的财富地区（特别是在较低的财富水平），个人投资就好像没有人寿保险一样。我们推测，这种关于约束和机会的短视是目标寻求问题中的规则，而不是例外。参考文献[1]巴赫曼·安戈什塔里（Bahman Angoshtari）、埃尔汉·贝拉克塔尔（Erhan Bayraktar）和弗吉尼亚·R·杨（Virginia R.Young）。在恒定消耗下最小化寿命下降的概率。工作文件，米希根大学，2015年。[2] Erhan Bayraktar、S.David Promislow和Virginia R.Young。购买人寿保险以在消费时达到遗赠目标。

工作文件，密歇根大学，2015年。[3] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。在借贷约束下最小化终身破产的概率。保险：数学与经济学，41（1）：196–2212007。[4] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。最佳投资策略，最大限度地减少占用时间。运筹学年鉴，176（1）：389-4082010。[5] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。最佳投资以达到遗赠目标。工作文件，密歇根大学，2015年。[6] 陈新福、大卫·兰德里奥、李斌和李东辰。最大限度地降低终身投资的提款风险。工作文件，滑铁卢大学，2015年。[7] 阿萨夫·科恩和弗吉尼亚·R·杨。最大限度地减少贫困带来的终生破产的可能性。工作文件，密歇根大学，2015年。[8] Jaksa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。关于提款约束下的投资组合优化。IMA数学与应用课程讲稿，65:77–881995。[9] 桑福德·J·格罗斯曼和周仲泉。控制提款的最佳投资策略。数学金融，3（3）：241-2761993。[10] 康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯、扬·奥布·洛伊和埃克哈德高原。对于资金缩减受限的投资，num’eraire属性和长期增长最优性。数学金融，2014年。[11] 王婷和弗吉尼亚·R·杨。最小化终身破产概率的最优可交换年金。保险：数学与经济学，50（1）：200-2162012。[12] 弗吉尼亚·R·杨。最小化终身破产概率的最优投资策略。《北美精算杂志》，8（4）：106–126，2004年。[13] 张洪忠。占用时间、提取和一维常规差异提取。《应用概率的进展》，47（1）：210–230，2015年。