严格局部鞅模型中的隐含波动率

特别令人感兴趣的是完全协同调用CS（x），它与Madan和Yorin[41]提出的严格局部鞅模型的欧洲调用价格一致：let（τn）n≥1.停止时间增加到一定程度的任何顺序，例如停止的过程∧τn）t≥0是每个n的一致可积鞅≥ 1.然后将Madan Yor Eu ropean期权价格定义为CMYS（x）：=limn↑∞情商（ST）∧τn- ex）+。命题2.3（文献[41]中的命题2]）。对于任何x∈ R、 以下等式成立：CMYS（x）=（1- ex）+EQ（LxT）=CS（x）+πST，其中（LxT）t≥0表示X级S的本地时间，其中校正项为πST=limz↑∞zQsup0≤U≤TSu≥ Z非零修正项πSt对应于[9，定理3.4，等式（5）]中给出的价格泡沫的必要和有效条件。在[9，附录]中还表明，实际上π与鞅缺陷Mt相同，因此Madan Yor买入价CMYS（x）与完全共同买入价CS（x）一致。[24]在严格的局部鞅模型背景下讨论的买入价格和买入价格分别精确地对应于无抵押和完全抵押的买入价格CS=CS和CS。第38章，完全讨论的价格。

插入（2.4）和（2.5），我们看到（2.8）CS（x）- PS（x）=1- ex和min（mT，1- （前）≤ CS（x）≤ 1，即对于完全抵押的看涨期权价格，恢复看涨期权平价，且定价边界始终在无静态套利区域内。最后，让我们计算一下大罢工的以下限制，这将在以后需要。利克斯↑∞CαS（x）=limx↑∞CS（x）+αmT=limx↑∞情商（ST）- ex）+αmT=αmTlimx↑∞[PS（x）- ex]=limx↑∞情商（例如- （圣）+-ex）=- 利克斯↑∞EQmin（前、后）=mT- 1、（2.9）严格局部鞅模型7中的隐含波动率，其中我们使用支配收敛和S的超鞅性质来评估极限。由于MTA的出现是明确的，看跌期权和看涨期权价格的大执行限额可以用来描述S严格的本地martin gale属性，另见[9，Th eorem 3.4（iv）]2.3。关于质量为零的真鞅的对偶性。与正严格局部鞅有关的一个重要概念是它们与massat为零的真鞅的对偶关系。定义2.4。设Q和P为过滤测度空间上的概率测度，T>0为固定时间范围。设S为严格正局部Q-鞅，M为[0，T]上的非负trueP鞅。用τ：=inf{t>0:Mt=0}表示零的第一次击中时间（M），并假设τ是可预测的，τ>0，P-a.s。如果qi在FT上对P绝对连续，且dqdpFT=mt和St=MtP-a.s.{t<τ∧ T}。请注意，上述定义要求S是一个三正局部鞅，这是一个比第2.1节中的非负性假设稍强的假设。

在金融建模中，Q可以被解释为与P下的股价M相对应的“股票度量”，或者在货币模型的上下文中，Q可以被解释为与国内度量P和汇率过程M相对应的“国外度量”[5，第17章]。还要注意的是，由于M是一个真正的非负P-鞅，所以0必然是吸收[26，第三章，引理3.6]，因此对于所有t，Mt=0≥ τ. 对于对偶模型，（2.10）mt=1- 等式（St）=1- EP（11{t<τ}）=P（τ）≤ t） =P（Mt=0），即S（Q下）的鞅亏等于M（P下）的质量。下面的结果是深刻的，但现在已经很好地理解了。可以在[34]中找到证据；类似版本请参见[43,48]。引理2.5。让（Ft）t≥0是正确的连续标准系统，T>0是固定的时间范围。对于满足定义2.4假设的任何对（S，Q），存在一个双对（M，P）。相反，对于满足定义2.4假设的任何对（M，P）和相关停止时间τ，存在一个对偶对（S，Q）。让我们注意到，在S是严格局部鞅的情况下，困难方向是从（S，Q）到（M，P）；P的必要构造依赖于F¨ollmer退出措施，该措施首次在[18]中介绍，并在[42]中提到。从（M，P）到（S，Q）更容易，在连续性假设下的早期证明可以在Delbaen和Schachermayer[12]中找到。就我们而言，（Ft）t的技术条件≥通过将这种过滤视为对合作流程自然过滤的正确连续修改，可以满足正确连续性和标准系统的要求8 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER在斯科罗霍德空间D（R≥0，R∪{+∞}), i、 例如，c`adl`ag函数的空间可能会在有限时间内爆炸为一体。有关详细信息，请参见[34]和[18]中的讨论。

对于对偶模型，我们给出了S un der Q.引理2.6的严格局部边缘性质的以下简单刻画。设（M，P）和（S，Q）是时间范围T>0的二元市场模型。以下是等价的：（i）S是[0，T]上的严格局部Q-鞅；（ii）MT质量为零，即P（MT=0）>0；（iii）mT>0；（iv）在FT证明中，Q与P不相等。从定义2.4可以清楚地看出，S是局部鞅，因此S的严格局部m鞅性质等价于mT=1-等式（ST）>0。根据等式（2.10），这表明前三种断言是等价的。最终QDPFT=mt，因此Q不等于P，当且仅当ifMT=0且P-概率为正时，这正是断言（ii）。例2.7。现在我们继续E x示例2.1，即我们考虑由dMt=σ（Mt）dWt给出的M，其中σ满足与之前相同的条件。此外，假设∞xσ-2（x）dx<∞, 这样M是P-鞅的（2.3），τ表示M的第一次击中时间为零。现在通过qdp构造度量QFt=Mt，设置St=M-1t{t<τ}。很容易看出，S满足随机微分方程dSt=eσ（St）dWQt，其中S=1，eσ（y）=yσ（1/y），其中WQI定义为时间τ之前的Q-布朗运动。注意以下等式成立：（2.11）Zyeσ（y）dy=Z∞xσ（x）dx和z∞yeσ（y）dy=Zxσ（x）dx。第一个积分是通过假设确定的，根据例2.1中的积分条件（2.2）和（2.3），s为Q-a.s.严格正。如果第二个积分是有限的，则根据相同的条件，M也是P-a.s.正的，s是真Q-鞅。如果第二个积分不确定，那么M的质量为零，S是严格的局部鞅。

根据引理2.6，其他情况是不可能的。对偶模型中期权价格之间的关系在S和M都是零质量的真鞅[16,20]的情况下是众所周知的，h在[34,48]的严格局部鞅情况下已经描述过。我们回顾欧洲看跌期权和看涨期权的关系。除了上面描述的看跌期权和看涨期权价格Ps和CαS之外，我们还写了PM（x）：=EP（ex- MT）+和CM（x）：=EP（MT）- ex）+适用于P.提案2.8下标的M的欧洲看跌期权和看涨期权。设（M，P）和（S，Q）是时间范围T>0的二元市场模型。那么对于任何x∈ R和任意α∈ [0,1]，看跌期权和看涨期权价格之间的关系如下：（2.12）CαS（x）=exPM(-x） +（α）- 1） M和PS（x）=exCM(-x） 。严格局部鞅模型中的隐含波动率。对于看跌期权，我们计算（x）=EQ（ex- ST）+=EPMτT（ex- （圣）+= EPMτT前任-MT{T<τ}+= 埃克塞夫{T<τ}+11{T≥τ }MτT- E-x{T<τ}+i=exEPh{T<τ}机器翻译- E-十、+i=艾克塞夫1.- 11{T≥τ }机器翻译- E-十、+i=exCM(-x） 。调用的结果来自P-鞅M的Put调用奇偶性和局部Q-鞅S的“修改的Put调用奇偶性”（2.4）。3.每个x的严格局部鞅的隐含波动率∈ R、 给定买入价格C（x）的隐含波动率定义为方程CBS（x，σ）=C（x）的唯一非负解，其中CBS代表到期日为T、履约日为Ex且波动率σ：CBS（x，σ）：=N（d+（x，σ））- exN（d）-（x，σ），其中d±（x，σ）：=-xσ√T±σ√T，N代表高斯累积分布函数。众所周知，隐含效用是[0]中定义明确的实数，∞) 当且仅当C（x）位于无静态套利界限（由mT=0的界限（2.5）给出）内，并且在这种情况下，它是唯一的e。

如果看跌期权平价成立，则使用欧洲看跌期权的定义等同于使用看涨期权的定义。Hencein-tr-ue鞅模型中，隐含波动率总是唯一定义的，看涨期权和看跌期权隐含波动率之间没有区别。到目前为止，这类模型中隐含波动率的行为已经相当清楚，见[19]。然而，在严格的局部鞅情形下，存在着非常少的结果（除了[50]之外，它研究了大时间行为）。结果表明，在严格的局部鞅条件下，即使隐含波动率的存在也是不确定的，不能等价考虑看涨期权和看跌期权。在本节中，我们通过提供关于严格局部鞅模型中隐含波动率的存在性、唯一性和渐近行为的结果来填补这一空白。3.1. 看跌期权隐含波动率。如上所述，在严格的局部鞅设置中，看跌期权奇偶性失败（除非看跌期权完全抵押），因此必须将看跌期权隐含波动率与看跌期权隐含波动率区分开来。我们用IpS（x）表示对应于对数走向x的put的价格PS（x）的混合波动率，写在局部鞅S上，用IαS（x）表示对应于α-抵押调用CαS（x）的隐含波动率，即对于每个x∈ R、 方程CBS（x，IαS（x））=CαS（x）的唯一非负解（无论何时存在）。我们从下面的结果开始讨论IpsiαS的存在性。定理3.1。

设为非负局部鞅。（i） 看跌期权的隐含波动率在整条实线上定义良好；10 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER-Restel（ii）隐含波动率是指充分定义在R上且与看跌期权隐含波动率一致的期货抵押看涨期权的隐含波动率：IS（x）=IpS（x），对于所有x∈ R（iii）对于α∈ [0,1）存在x*(α) ≤ 0，从而在[x]上明确了α-抵押贷款的隐含波动率Iα*(α), +∞), 但不是在电视上(-∞, 十、*(α)). fu nc tion x*（α） 这是严格意义上的满意（3.1）对数（（1- α） mT）<x*(α) ≤ 日志（1）- αmT）。每x∈ R函数α7→ IαS（x）严格地在其定义的区间上增加，并且IαS（x）<IpS（x）对所有α都成立∈ [0,1）和x∈ [x]*(α), +∞).备注3.2。通过原木打击和设置K重新参数化*（α） =exp（x）*（α） （3.1）中的边界简化为（1）- α） mT<K*(α) ≤ (1 - αmT）。即使没有为S指定具体的模型，区域D:={（α，x）：α∈ [0,1），x∈ R} 可以写成不相交的并集D=DA∪ DN∪ DM，其中da:={（α，x）∈ D:x>log（1- αmT）}，DN:={（α，x）∈ D:x≤ 日志（（1）- α） mT）}，DM:={（α，x）∈ D:日志（（1）- α） mT）<x≤ 日志（（1）- α） mT）}，因此隐含波动率IαS（x）始终在DA中定义，而不是在DNand中定义，可能是也可能不是inDM。通过证明IαS（x）未定义的区域恰好是买入价格CαS（x）违反无静态套利下限的区域，也将变得清晰。证据看跌期权的价格和完全抵押的看涨期权的价格始终在（2.5）和（2.6）的无息套利区域内。因此，对于所有x，相应的隐含波动率IpS（x）和Is（x）均已明确∈ R

完全抵押看涨期权和布莱克-斯科尔斯价格收益率的看跌期权平价（2.8）=CS（x）+ex-1=CBS（x，IS（x））+ex- 1=PBS（x，IS（x））。由于PS（x）=PBS（x，IpS（x）），隐含波动率的唯一性意味着所有x的（x）=IpS（x）∈ R、 权利要求（i）和（ii）如下。现在让我们来看看∈ [0，1）.当且仅当CαS（x）在无静态套利区域内[（1）]时，CαS（x）的隐含波动率Iα（x）存在- ex）+，1）。从（2.5）我们导出了（3.2）（1）的界- mT- ex）+αmT≤ CαS（x）<1+（α- 1） 因此，CαS（x）处于非静态套利区域当且仅当CαS（x）≥ (1 - ex）+或等价的ifFα（x）：=CαS（x）- (1 - （前）+≥ 0.为了找到Fα（x）的零点，需要考虑x<0，因为Fα（x）>0表示所有x≥ 0.为x重写Fα≤ 0 asFα（x）=EQ（ST- ex）+αmT- (1 - ex）=EQ（最大值（ST，ex））+αmT- 1，严格局部鞅模型中的隐含波动率11我们可以看到Fα是连续的，并且随着时间的推移而增加(-∞, 0]带边缘↓-∞Fα（x）=mT（1）- α). 设置X*（α） ：=inf{x≤ 0:Fα（x）≥ 0}，因此[x]上存在隐含波动率*(α), ∞ ) 但不是在电视上(-∞, 十、*(α)). 同样清楚的是，对于固定x，函数α7→ Fα（x）严格递增，因此*（α） 必须严格减少。此外，考虑到Fα（x）在-∞ 接下来是x*(α) = -∞ 对于α=1和x*(α) > -∞ 对于所有其他α∈ [0，1）。在后一种情况下，它保持CαS（x*(α)) = 1 - 前任*(α). 将右侧插入边界（3.2）并重新排列weget（3.1）。3.2. 隐含波动率的渐近行为。对于大的冲击，下面的结果提供了看跌期权隐含波动率的渐近行为。定理3.3。设我们是一个鞅亏m的非负严格局部鞅，假设α>0。

然后，随着x趋于完整，以下扩展适用：IpS（x）=IS（x）=r2xT+N-1（公吨）√T+o（1）和IαS（x）=r2xT+N-1（αmT）√T+o（1）。备注3.4。o（1）项可以通过对斯大龙分布的右尾进行更进一步的假设而变得更精确，如[10,22]所示。事实上，正如我们将在第3.5节中展示的那样，在S严格为正的温和附加假设下，[10,22]的结果可以直接转化为IpS（x）和IαS（x）的更高阶展开式，使用第2.3节中关于无抵押看涨期权的隐含波动率的杜氏方法，在真鞅模型中，以下互补结果成立：推论3.5。如果α=0，则为limx↑∞IS（x）-r2xT！=-∞.如果mT=0，那么对于所有α∈ [0,1]，极限↑∞IpS（x）-r2xT！=利克斯↑∞IαS（x）-r2xT！=-∞.备注3.6。定理3.3和推论3.5共同表明，严格局部鞅模型和真实鞅模型中大罢工的隐含波动率行为之间存在着明显的区别。这种观测可用于从观测到的隐含波动率中检测严格的局部鞅性质，见下文第3.4节。证据根据定理3.1，IpS（x）=是（x），因此有必要考虑α的调用隐含波动率IαS（x）∈ [0, 1]. 通过相同的结果，至少对于所有x，IαS（x）都有很好的定义∈ (0, ∞). 由（2.9）可知，IαS（x）必须满足yLimx↑∞Nd+（x，IαS（x））- exND-（x，IαS（x））= 利克斯↑∞CBS（x，IαS（x））=limx↑∞CαS（x）=αmT.12 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER Restelth算术几何平均不等式产生d-（x，σ）≤ -√2x和hencelimx↑∞exND-（x，IαS（x））≤ 利克斯↑∞exN-√2x≤ 利克斯↑∞exφ(√2x）√2x=0，其中我们使用了经典界N(-x） /φ（x）≤ 十、-1.磨坊比率。

亨塞利姆↑∞Nd+（x，IαS（x））= 利克斯↑∞CαS（x）=αmT，倒置N我们得到（3.3）limx↑∞d+（x，IαS（x））=N-1（αmT），其中我们设置了N-1(0) = -∞ 和N-1(1) = +∞.现在假设，对于x>0和σ≥ 我们有上下限≤ d+（x，σ）≤ u、 对于一些l，u∈ R.使用d+的显式形式并求解q uadratic方程，这意味着（3.4）l+pl+2x≤ σ√T≤ u+pu+2x。如果αmT>0，则将该估计与（3.3）相结合，并对平方根进行扩展，我们得到iαS（x）=r2xT+N-1（αm）√对于大x，T+o（1）和定理3.3如下。对于推论3.5，我们必须考虑退化情形αmT=0，或等价于N-1（αmT）=-∞ . 在这种情况下，我们仍然可以应用（3.4）中的上限，它适用于任意u∈ 因此，limx↑∞IαS（x）√T-√2x≤ 利克斯↑∞- u+p2x+u-√2x= -任意的∈ R、 和推论的3.5倍。3.3. 与Lee[37]和Benaim-Friz\'[3]渐近性的关系。Roger Lee[37]率先在真鞅框架下分析了隐含波动率的尾部行为。对于给定的严格正P-鞅X，隐含效用IX的大罢工行为由（3.5）lim supx给出↑∞IX（x）Tx=ψ（p*) ∈ [0,2]，其中p*:= sup{p≥ 0:EP（XT）<∞} 和ψ（p）≡ 2.- 4（pp（p+1）- p） 。同样的结果也适用于使用XT负力矩的小撞击行为。随后，Benaim和Friz[3]通过提供充足的条件将lim sup强化到Agenue极限，从而定义了（3.5）。然而令人惊讶的是，文献[3]中并未明确提到鞅假设，尽管它在综述文献[4]中也有提及。