严格局部鞅模型中的隐含波动率

（3.5）（或其在[3]中的锐化版本）的直接结果是，当X是P鞅时，严格局部鞅模型13中总隐含方差IX（X）T/xIMPLIED波动率的大走向斜率等于2，当且仅当P*= 1，也就是说，不存在严格大于1的力矩，所以XT的分布有一条肥尾巴。在严格的局部鞅框架下，尾部权重和隐含波动率斜率之间的一一对应关系被打破。例如，考虑从S=1开始的str ict局部鞅dSt=StdWQt，其密度在附录ix的（4.1）中给出。一个简单的泰勒表达式表明，随着S趋于完整，以下渐近行为适用于任何p≥ 0:spP（圣彼得堡）∈ ds）=rπTe-1/（2T）sp-4.1+O（s）-2)D和p*S:=sup{p≥ 0:EP（ST）<∞} = 3.如果Lee（或Benaim Friz）的公式成立，thenlim supx↑∞Iαs（x）T/x=ψ（p*S） <2，带α∈ （0，1）。这与T heorem 3.3相矛盾，T heorem 3.3指出lim supx↑∞Iαs（x）Tx=2。这个例子表明，对于严格的局部鞅，Lee[37]和Benaim Friz\'[3]的结果不能成立。3.4. ε-隐含价格波动性的影响。正如本文开头所讨论的，严格局部鞅模型被提倡作为股票价格泡沫的模型。在这方面，我们有兴趣测试这些泡沫出现的经验数据。在连续马尔可夫差异的背景下，此类测试由[29]提出并实施（关于类似的想法，另见[25]），基于历史可利用性的统计估计。一旦股票价格的差异被估计并外推到整个半线，例2.1中讨论的积分标准被[29]用来决定基础是否是严格的局部鞅。

作为对[29]统计方法的补充，我们的结果提出了基于隐含（与历史相反）波动率的不同方法来测试股票价格泡沫的出现。首先，注意到在非完全抵押调用（α<1）的情况下，有简单的标准根据隐含效用区分真鞅和严格局部鞅。从上面给出的结果来看，除非看涨期权被完全抵押，否则下面的陈述是等价的：o股票价格过程s是定价测度Q下的严格局部鞅；o看跌期权和看涨期权的隐含波动率是不同的对于足够小的罢工，不存在隐含波动性。然而，对于完全抵押的调用（α=1），这些标准失败。相反，我们从定理3.3推导出以下标准：o隐含波动率满足度为（x）=q2xT+nT√某些nT的T+o（1）∈ R.注意，最后一次检查是必要且有效的。必要部分来自定理3.3，适用于mT=0的推论3.5。此外，可以通过设置mT=N（nT）来提取鞅缺陷mT。该标准的缺点是，它是一种无症状测试，仅对大x有效。这一缺点与[29]的统计测试相同，该测试还需要对估计的扩散系数进行交感推断。这一特性限制了实际应用中测试的价值，因为隐含波动率（或叫价）只能在14 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER-Restel有限的罢工次数下观察到。

然而，一个简单的论点表明，任何从P ut隐含（或完全担保的调用隐含）波动率确定严格局部鞅性质的测试，在使用任意大的str-ike值作为输入的情况下，都必然是无符号测试：设S为具有局部序列（τn）n的非负局部Q-鞅∈N、 所以停止的进程Snt:=St∧τnaretrue Q-鞅。S和SNS的看跌期权价格之间的差异可以在时间走向矩形RT，~x:=[0，T]×上统一估计(-∞, ~x），对于任何~x∈ R、 bysup（t，x）∈RT，~x | PS（x）- PSn（x）|=sup（t，x）∈RT，~x | EQ（ex- （圣）+- 情商（前）- SnT）+|≤ exQ（τn）≥ T）。通过选择足够大的n，边界可以任意变小。由于看跌期权隐含的波动率持续依赖于看跌期权价格，这表明对于任何非负严格局部马丁盖尔S，时间走向矩形RT，x*ε>0我们可以找到一个真正的鞅模型Sε，使得Put隐含的效用（以及完全抵押的C ALL隐含的效用）在RT，x上ε-闭合，均匀*.3.5. 隐含波动率的对偶性和对称性。我们考虑第2.3节中关于隐含波动率的研究结果。定理3.7。设我们是一个严格正严格局部Q-鞅，在对偶中，质量为零的真p鞅M。用IM（x）表示对数走向x和标的M在P下的隐含波动率。那么，为了所有的x∈ R、 （3.6）IpS（x）=IS（x）=IM(-x） 。证据对于任何x∈ R、 隐含波动率IpS是方程PS（x）=PBS（x，IpS（x））的唯一解。因此，使用（2.12），我们可以编写eXn(-D-（x，IpS（x）））- N(-d+（x，IpS）(-x） ）=PS（x）=exCBS(-x、 即时通讯(-x） ）=exN（d+(-x、 即时通讯(-x） ））- N（d）-(-x、 即时通讯(-x） ）=exN(-D-（x，IM）(-x） ））- N(-d+（x，IM）(-x） ））。该定理证明了在无静态套利区域中卖出微笑的存在性和唯一性。

利用上述定理，我们可以将[10]中关于质量为零的真m artin gale模型中隐含波动率的左翼行为的结果直接转化为关于严格正严格局部鞅模型中隐含波动率的右翼行为的结果：推论3.8。设S为严格正严格局部Q-鞅，T>0，且S.集G（x）：=EQ（ST{ST）≥ex}）和nT:=N-1（公吨）。（i） 如果G（x）=o（x-1/2）当x趋于一致时，则ips（x）=IS（x）=r2xT+nT√T+nT√2T x+exp（新台币）√2T xψ（x），因为x趋于完整，其中函数ψ为0≤ lim supx↑∞ψ（x）≤ 1.严格局部鞅模型中的隐含波动率15（ii）如果G（x）=O（e）-εx）当x趋于一致时，对于一些ε>0的情况，则ips（x）=IS（x）=r2xT+nT√T+nT√2T x+Φ（x），因为x趋于完整，其中Φ函数满足lim supx↑∞√2T x |Φ（x）|≤ 1.证据。设F表示MTP下的累积分布函数。ThenG（x）：=EQST{ST≥前}= EP{MT≤E-x} {T<τ}= F（e）-十）- F（0）。其余的主张来自二元关系IM(-x） =IS（x）和[10，定理1.1]。在[10，Cor.5.2]中，作者证明，如果基础是由massat为零的真鞅给出的，那么隐含的波动率微笑就不能是对称的（在IM（x）=IM的意义上）(-x） ）。应用对偶关系(-x） 我们得到以下结果。推论3.9。如果S是严格正的严格局部Q-鞅，那么Put微笑是不对称的。备注3.10。对于Call隐含的波动率IαS，微笑永远不会对α对称∈ [0，1），因为定理3.1的简单原因，IαS（x）对于足够小的冲击不存在。在完全抵押的情况下，α=1，调用隐含波动率与P ut隐含波动率一致，推论3.9适用。再次看一维d效应的例子是有指导意义的：例3.11。

我们继续E x示例2.1和2.7，并考虑由dmt=σ（Mt）dwp定义的P-鞅和由dSt=＠σ（St）dWQt给出的对偶Q-鞅，其中＠σ（y）=yσ（1/y）。如果σ=～σ，则对偶模型（S，Q）和（M，P）h具有相同的分布。在这种情况下，从2.11和例2.7中的讨论可以看出，S和d M要么都是质量为零的真鞅，要么都是质量为零的严格局部鞅。作为质量为零的真鞅或质量为零的严格局部鞅，与对称性假设σ=~σ不相容，符合[10，Cor.5.2]和推论3.9.3.6。大时间行为。在[50]中，Tehranch i研究了隐含波动率的大时间行为，或者更准确地说，研究了总方差IS（x，T）T，其中IS（x，T）现在强调了隐含波动率对到期日T的依赖性。然而，他对隐含波动率的定义（当基础股价是真鞅时有效）并不完全适用于严格的局部鞅。因此，我们在这里将其理解为看跌期权隐含波动率IpS，或等价地，从定理3.1，理解为完全抵押看涨期权隐含波动率。他的主要结果如下：定理3.12（文献[50]中的定理3.1]）。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）是一个给定的概率空间，S是一个负的Q-局部鞅，从1开始，使得Q（St>0）>0f或全部t≥ 0

如果当t趋于整数时，几乎可以肯定stt收敛到零，那么对于任何实数x，以下公式成立：IpS（x）t=-8对数均衡器（ST∧ （前）- 4 logh-对数均衡器（ST∧ i+4x- 4 log（π）+ε（x，T），16 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER Restelas T趋于一致，其中误差ε（·，T）随着T的增加满足一些关于紧的统一界限。STX几乎几乎几乎收敛到零的假设相当于看跌期权价格收敛到行使价（通过主导收敛），或完全抵押的看涨期权价格收敛到一致性。在[46，引理3.3]中，我们发现，如果S是Q-鞅，那么对于所有x，这也等价于is（x，T）T收敛于整数∈ 一个imm-ediate计算表明，如果S是（非负）严格的局部Q-鞅，这一点仍然成立。在股票价格过程的矩母函数行为的一些假设下，Tehranchi[50]进一步用矩母函数表达了定理3.12的右侧。然而，我们不会追求这种特征，因为我们不会对基础股价过程的瞬间生成功能进行任何假设。现在让我们做一个非负Q-超鞅。由于S在L（Q）中有界，鞅收敛定理[47，定理69.1]确保极限S∞:= 极限↑∞几乎肯定存在于[0，∞). 然而，目前尚不清楚这是否意味着∞= 对于一般的非负严格局部Q-鞅，几乎可以肯定为0，如定理3.12所要求。

在S在S ome区间[0]上有连续路径的特殊情况下，∞), 在自然尺度下，原点要么是自然吸收的（参见[35，第15章，第6节]了解端点的详细信息，但简单回顾一下，这个假设本质上意味着S是严格的局部m artin gale），然后[25]中的定理3.21保证了S∞= 几乎可以肯定，因此定理3.12成立。最近，Gu shchin、Urusov和Zervos[23]证明了，如果S是随机微分方程dSt=σ（St）dWt的弱解，则S=S∈ (0, ∞), 式中σ：[0，∞) → R是满足σ（s）=0的Borel可测函数，且仅当s=0和∑-2（s）ds是每个非空有限间隔A的有限值 (0, ∞), 那么S是严格局部鞅当且仅当limt↑∞等式（St）=0。因为S是非负的，所以几乎可以肯定地说，这等于S收敛到零，定理3.12适用。3.7. 实线上的严格局部鞅。到目前为止，我们假设astrict局部鞅的框架取非负半线上的值。原则上可以考虑局部鞅取整条实线的值。这种考虑的动机是（在某些给定的概率空间上）唯一的强解(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）到随机微分方程dSt=P（St）dWt，从S开始∈ R、 其中P（s）≡ as+bs+c是一个二阶多项式。这类模型首先由Rady[45]提出，然后在[1,39,52]和其中的参考文献中进一步研究。很明显，这一类包含标准布朗运动（a=b=0）、几何布朗运动（a=c=0）和三维贝塞尔过程的倒数（b=c=0，另见第4.2节，β=1）。

过程S显然是一个连续的局部鞅，P的根的局部化和起点充分地刻画了它的鞅性质。设τ表示零的第一次击中时间乘以S，Sτ：=S·∧τ对应的停止过程。我们将Andersen[1]的结果总结如下：（i）S是真Q鞅当且仅当a=b=0或P有两个实根l和u满足l≤ s≤ U严格局部鞅模型中的隐含波动率17（ii）Sτ是真鞅当且仅当a=0或P的唯一实根大于或等于S；（iii）如果P有两个实根l<u，那么（a）如果S>u，S是一个S紧超鞅；（b） 如果S<l，则S是严格子鞅；（iv）如果P有一个实r oot l=u，如果S>u，S是严格上鞅，如果S<u，S是严格下鞅；（v） 如果P h不是真根，则S是无界严格局部鞅。这些结果直观地很清楚，因为P的任何实根都是吸收界元，而sincea局部martin gale在下有界时是上鞅，在上有界时是下鞅。安达信[1]进一步提供了每种情况下欧洲看涨期权和看跌期权价格的定价公式。让我们更仔细地看案例（三）。在第（iii）（a）种情况下，如果股票价格的界限低于u，那么卖出价格（行使价ex>0）显然在0和（行使价ex）之间- u） +，因此是一个真正的Q-鞅。这是我们到目前为止考虑的框架（u=0）。显然，如果履约价格在0和u之间，那么卖出价格总是等于零。同样地，考虑案例（iii）（b）；在这种情况下，股票价格在l上有界，因此买入价格有界，因此是真Q鞅。我们可以在以下命题中收集这些结果（并将其转化为隐含波动率）：命题3.13。

让我们成为严格的局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q），其分布在某个区间I上受支持 勒特尔≤ u是两个实数，记住x*（α） 在OREM 3.1中定义。（i） 如果i=[l，u]，那么隐含波动率总是很明确的；（ii）如果I=[u+∞), 那么看跌期权的隐含波动率总是很明确的；对于任何α∈ [0,1]，共同看涨隐含波动率仅在[x]上定义*(α), +∞);（iii）如果我=(-∞ , l] ，那么（完全抵押的）看涨期权隐含的波动性总是很明确的；此外，存在x>0，因此x的看跌期权隐含波动率没有很好地定义≤ x、 但是如此（x+∞).无论何时/∈ 一、 隐含波动率存在时为零；间隔可以是打开的，而不是关闭的。证据在案例（i）中，欧式看涨期权和看跌期权的价格都是有界的，因此它们都是真鞅，结果很简单。案例（ii）：股票价格是一个严格的上鞅，这是上面分析的框架，其结果来自定理3.1。案例（iii）：在这种情况下，股票价格是一个严格的子鞅。调用p rice是有界的，因此是真正的鞅，且CallImpled波动率总是很好地定义。显然，看跌期权是无约束的，所以不是真正的鞅。该证明与定理3.1中的调用情况是对称的，因此被省略。4.例子18安托万·杰奎尔和马丁·凯勒-4。1.具有确定性端点的严格局部鞅。设T>0，μ≥ 0，W是标准布朗运动，和（Mt）t≥0be随机微分方程的唯一强解Dmt=Mt- u√T- tdWtM=1。立即可以看到Mt=（1-u）expfWφt-φt+ u，其中fw是标准布朗运动，φt≡ -日志（1）- t/t）。那么，f或u6=1，M是[0，T]上的一个非负局部鞅，几乎可以肯定mt=u。

该示例显示了（2.5）和（2.6）中下限的实现。设置u=0，我们可以创建一个严格的局部鞅，其质量在时间T为零，即不在du-ality方法范围内的过程示例。4.2. CEV模型。关于概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）支持布朗运动W，随机微分方程d St=σS1+βtdWt，当S>0时，得到一个唯一的强解，当且仅当β<0时（见[32，第6.4章]），这是一个真正的鞅。在β>0的情况下，S是严格局部鞅，过程Y:=S-β/（σβ）是指数1/（2β）（相当于维数2+1/β）的贝塞尔过程。根据Feller对边界点的分类[35，第15章，第6节]，理论在有限时间内是无法实现的，对于任何t>0的情况，StreadsP的过渡密度∈ ds）=S1/2s-2β-3/2σβtexp-s-2β+s-2β2σβt！I1/（2β）（Ss）-βσβtds，其中I·（·）是第一类修正贝塞尔函数。期望值可以用封闭形式计算为EQ（St）=SΓ-2β，S-2β2σβt, 式中Γ（a，x）：=Γ（a）-1Rxua-1e-udu是（标准化的）不完全伽马函数。在β=1的情况下，密度简化为（4.1）P（St∈ ds）=Sdsσs√2πt经验-（1/s）- 1/S）2tσ- 经验-（1/s+1/s）2tσ,E（ST）=S（1- 2N(-1/（S）√T）））。在图1中，我们对定理3.3进行了数值说明。关于看跌期权隐含波动率微笑的大时间行为，定理3.12收益率（参见alsoTehranchi[50，示例5.9]）为（x，T）T=4 log（T）- 4对数对数（T）+4x+ε（x，T），对于所有x∈ R随着T趋于一致。参考文献[1]安徒生。二次波动率下的期权定价：再探讨。《金融与随机》，15（2）：191-2192011。[2] J.Az\'ema、R.F.Gundy和M.Yor。《国际统一鞅》仍在继续。《概率论》第十四卷：53-611980年。[3] S.Benaim和P.K.Friz。有规律的变化和微笑。