近似相关对数正态和：一个实现

这意味着对数正态RV的MGF不存在。Casella和Berger（1990）将其称为“有趣的性质”，即对数正态RV的所有力矩都存在且有限，但尽管如此，MGF并不存在。D.6逼近对数正态矩生成函数let X~N（μX，σX）和=10/是第III.D.2节定义的对数正态RV的替代形式。使用（14）中的PDF，的MGF为：MEEE*E*θ√2.σE.在（30）中的RHS积分中，我们进行以下U-代换：θ自然对数μ√2σ→θ√2σ**,和E√.像→ 0，u→ -∞, 作为→ ∞, U→ ∞.  将（30）中的积分以u表示，得出以下表达式，即MGF为：M√E*√E G*WD.这里，权重函数wE是高斯-厄米特求积所要求的形式，具有适当的积分极限，因此（30）中的MGF可以使用表1中提供的权重和根（n=12）进行近似（对于t<0）。即，（29）（30）（31）（32）（33）（34）M√E√EW*√E√.回想一下，对数正态RV的MGF并不存在，这是我们在第III.D.5节中展示的，尽管（35）。这一点是用单一对数正态RV近似相关对数正态RV之和，这将通过将给定t<0（如果存在）的近似MGF相等来实现。米切尔（Mitchell，1968）提供了这方面的理由，他证明了一个对数正态RV比任何其他被检查的分布都能更好地逼近总和，这一特性被称为“永久性”D.7将SumLet S=α+β的矩母函数近似为两个相关对数正态RVs与二变量DF的加权和，,, 如（20）所示。

S的MGF由以下公式得出：MEEEEE,.我们将评估M分两步进行。首先，我们做以下U型替换：让θ自然对数,1,2→θ,1,2,和E.像→ 0, → -∞, 作为→ ∞, → ∞.  该变换的雅可比矩阵在非对角上有零，项θe因此，在对角线上，雅可比行列式等于θEE, （36）中的右边积分可以用（20）表示为：（35）（36）（37）（38）（39）ME2.σσ1.ρ*EE,.我们已经写信给我了作为函数相对于U的期望值~  N（μ）, σ) 安度~ N（μ）,σ) 用Corr（U）, U) = ρ.  在（41）中，,是一个联合二元正态PDF，格式如（15）所示。在矩阵表示法中，该PDF可以表示为（Guttman[1982]）：,2.|∑|/E∑,∈,哪里,μμ,,σσσσσρσσρσσσ.这里，∑被称为我们假设它是对称的，正定的。因此，它的逆矩阵∑-1是存在的。此外，∑-1将是对称且正有限的，这意味着存在矩阵L和D（其中L是下三角形，1在对角线上，D是对角线，正实轴），因此（Meyer[2000]）：1.*0*1..这是的LDU分解.

我们通过如下所示的相等项（使用2x2矩阵逆的标准公式）并求解, , 和:σσ1.ρσρσσρσσσ→σ1.ρ,ρσσ,,σ.因此，LDU因子分解产生：（40）（41）（46）（45）（44）（43）（42）ρσσ*σ1.ρσ*ρσσ..ρσσ*σ1.ρσ*σ1.ρ*ρσσ.方差协方差矩阵 可以类似地表示为：ρσσ*σ1.ρ0σ*ρσσρσσ*σ1.ρ0σ*σ1.ρ0σ*ρσσ.U你呢源于和之间的相关性，并阻止直接将高斯-埃尔米特求积应用于S=α+β的MGF，如（40）所示。为了解决这个问题，进行了另一个转换，将U你呢（Mehta等人[2007]）使用分解如（47）所示。一种基于LDU分解的解相关变换是：让我们√.,哪里.随机向量的方差-协方差矩阵是：V.五、........由于方差-协方差矩阵，V, 对于转换后的变量Zand Zis对角线，我们基于.  这个变换的矩阵是上三角的，参见（57）。类似的解相关变换可以使用′, 也就是说，让我们√.  这个变换的矩阵，, 然后是下三角形。（48）（47）（50）（49）（54）（53）（52）（51）（即（ 1/2 ）i），Zand Zare不相关。

最后，为了计算这个变换的雅可比矩阵，我们首先表示依据使用（51），即：√2..→√2.ρσσ*σ1.ρ0σ*,→√2.σ1.ρρσ0σ*,因此√2.σ1.ρρσμ,和√2σμ.该变换的雅可比行列式的绝对值为：|J|德特√2σ1.ρ√2ρσ√2σ2σσ1.ρ.应用解相关变换，我们将（40）中S的MGF表示为Z安兹as:ME**√E**√,,哪里,σσ1.ρ||/Eσσ1.ρ||/EEEE,∈.因此，来自（40）的S=α+β的MGF可以用Z表示还有Zas:ME**√E**√EE(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)→M,EE,哪里,E**√E**√.M的表示in（65）是高斯-厄米求积所需的形式，使用表1中的权重和根。因此，S=α+β的MGF可以在两个步骤中近似。在步骤1中，我们将求积规则应用于Z用和替换积分，然后对Z重复这个过程在第二步。步骤1：将高斯-厄米特求积规则（n=12）应用于Z→MW*T,E第2步：将高斯-厄米特求积规则（n=12）应用于Z→MW*W*T,T→MW*W*T,T功能,在（66）中给出，最后一步是等于M从（68b）到单变量对数正态RV M的近似MGF, 如（35）的右图所示，并对2个未知数进行了求解和.

假设μ,  μ,  σ,  σ, ρ都是已知的常数。由于需要两个方程来获得这两个未知数的解，我们使用t<0的不同实数值来生成这些方程（Mehta等人[2007]）。（65）（66）（68a）（67）（68b）IV.对数正态和与对数正态RVs的近似在本研究中，我们将对数正态RVs和与Cov（，）=σ关联起来,.  均值和方差已知，并由E[]=μ给出, E[]=μ, V[]=σ, 和V[]=σ.  和都是以非标准形式定义的，因此存在正态分布的RVs X~N（μ, σ) 和X~N（μ）, σ) 使得=10/=10/式中，Corr（X，X）=ρ。我们将不提供这些基本正常RVs的均值和方差，但它们将使用（24）、（25）和（26）中的表达式进行计算。最后，我们将得到常数α和β，并对近似S=α+β的概率分布感兴趣。基于Mitchell（1968），使用单变量对数正态RV来近似S的分布是可取的。我们将首先计算基本正常RVs的参数，然后设置M从（68b）等于M从（35）中求出μ和σ.  正态分布和正态分布的基本形式分别是。最后一步是使用（12）和（13）中的表达式计算近似单变量对数正态分布的相应均值和方差。A.一个例子，让和be（非标准形式）带μ的对数正态RVs= 1.0, μ= 2.0, σ= 3.0,σ= 4.0和σ,= 1.73以便Corr（，）=σ,σσ/= 0.5.  此外，定义常数α=1.5和β=2.5，并对近似S=α+β=（1.5）+（2.5）的概率分布感兴趣。

使用第III.D.4节中的（24）、（25）和（26），基本正态分布的参数如下所示：→从…起方程式:θ自然对数1自然对数1.313.0103θ自然对数2自然对数1.421.5051→从…起方程式:θ自然对数1.3126.1471(69)(70)(71)θ自然对数1.4213.0736→从…起方程式:,θ自然对数1.1.73|1.0*2.0|11.7554因此，Corr（X，X）=ρ.√.*.= 0.635811和1ρ= 0.595744.  使用该函数,从（66）变成：,E.√.√....E.√..当需要求和S的CDF值时，Mehta等人（2007）使用constantst=-1.0和t=-0.2得出了良好的结果，以生成所需的方程。使用这些值，并设置从（68）等于M从（35）中，我们求解以下两个关于单个μ的非线性方程和σ, 这是方程式（75）和（76）中仅有的两个未知量。表1提供了正交权重和根、wi、wj、ti和tjare。方程#1：W*W*E.*√.√....*E.*√..√W*E.*√方程式#2：W*W*E.*√.√....*E.*√..√W*E.*√这些值适用于MGF中定义的数量t，它不同于表1中提供的用于计算高斯-埃尔米特求积根的tiand Tj值。（72）（73）（74）（75）（76）B.实施细节（75）和（76）中的公式1和2必须同时求解μ和σ但请注意，这两个方程的左边都是已知常数。每个都是12=144项总和，不涉及未知量。

因此，可以减去左侧，并将方程表示为联立非线性方程组，其值等于零。此外，方程是用t生成的∈ {-1.0，-0.2}如Mehta等人（2007）所建议。总的来说，让t∈{τ，τ}，并让C和C分别表示（75）和（76）的LHS。因此，这些方程可以表示为：方程#1：√W*E√C0方程式#2：√W*E√C0常数Cand Cin（77）和（78）特定于正在解决的问题，{τ，τ}也可能特定于应用。如果我们用M表示（77）和（78）的LHSμ,σ安德姆μ,σ, 然后我们分别求出μ的以下非线性系统和σ:Mμ,σMμ,σ.在最优化问题中，牛顿法常被用来求解一组类似的非线性方程，即梯度向量等于零的方程。它也适用于这里，并通过近似向量进行操作通过它在给定初始点附近的1storder-Taylor展开式μ,σ, 即：Mμ,σMμ,σμM,σM,μM,σM,*μμσσ.（77）（78）（79）（80）中所示的矩阵由在初始起点计算的两个函数的相应1阶偏导数组成，因此，一旦计算了导数，就知道了。

通过设置在μ,σ（即。，),等于零并求解μ,σ), 我们得出：<->μM,σM,μM,σM,*μμσσMμ,σMμ,σ这是一个简单的线性系统，由两个方程和两个未知数组成，我们求解向量：μμσσ.该解决方案立即产生μ,σ) 我们给它贴上标签μ,σ然后使用μ,σ作为新的起点μ,σ, 等等当满足客观标准时，例如当函数Mμ,σ 安德姆μ,σ 两者都变得小于某个预定阈值ε。实现牛顿方法的唯一步骤是推导（80）中所示的部分导数的2x2矩阵的元素。利用链式法则以及asum的导数等于导数之和的事实，这些量由下式给出：Mμ,σ√W*μE√θ*τ√W*E√*E√对于1,2,及（81）（82）（83）（84a）（84b）σMμ,σ√W*σE√θ*τ*√√W*T*E√*E√对于1,2.上述1阶偏导数在每次迭代的起始点进行评估，因此它们是完全已知的，并构成（80）中的2x2矩阵。（82）中的2线性方程组中的所有量已知，除了μ,σ) 我们将使用所描述的技术解决这些问题。求解一个由两个未知量的两个方程组成的线性系统非常简单。

在此基础上，S=α+β的近似单变量对数正态RV的均值和方差，即Es和Vs, 使用（12）和（13）导出。B.1牛顿法的初始值牛顿法要求选择初始值，即μ,σ, 选择更接近实际解的值可以减少实现收敛所需的迭代次数。由于我们对S=α+β之和感兴趣，受F-W近似的启发，一个明显的选择是使用与E[S]和V[S]相对应的值，这两个值都是已知的。也就是说，EsEαYβYαμβμ五、s五、αβ*YYαβ五、YYαβαβσσ,σ,σαβ.然后使用（24）和（25）得出初始值：μθ自然对数Es自然对数1.五、sEs,σθ自然对数1.五、sEs.（85a）（85b）（86）（87）（88）（89）V.对Financer的申请让R成为任意投资组合的总年度回报。对于前几年，我们可以将R的值计算为：终止均衡开始平衡启动均衡.从（90）中，投资组合的期末余额可以使用R as:End导出均衡开始均衡*1.R.未来未观测到的R值将被视为遵循某种概率分布的RVs。数量R由通货膨胀分量I和实际收益分量R组成，可按如下方式组合：1.R1.我*1.R.在这里，I和r都是RVs，但通货膨胀率可能很难建模，因为它具有非确定性成分。通货膨胀率受到央行通过货币政策的严重影响，这可能会使将其视为纯粹的货币政策成为问题。此外，中央银行通常有一个目标通胀率，保持目标通胀率的过程会增加观测值的序列相关性。

为了将其从模型中移除，我们将（91）的两侧除以（1+I），其中包括：1.R1.R1.我.数量r指的是投资组合的实际（或经通胀调整的）年度回报，它可以是正的，也可以是负的。该值（1+r）是复合实际年回报率，必须为≥ 0，因为我们的投资组合可能在一年内失去所有价值，但不能出现负余额。如果我们将r视为正态分布的RV，那么（1+r）也是正态分布的，取负值的概率非零。因此，最好假设（1+r）为对数正态分布。对数正态分布也可以通过将年度复合收益视为每日复合收益的乘积来证明。早些时候注意到，通过CLT，30多个IIDRV的产品接近对数正态。为了找到（1+r）的最佳拟合对数正态分布，我们检查历史记录。例如，如果我们将我们的投资组合投资于标准普尔500指数基金或10年期国债，那么历史记录将显示年度总回报率R（90）（91）（92）以及通货膨胀率I, 构造r是一件简单的事情时间点t=1，2，…，N，as:r1.R1.我1..价值观（1）R 可以使用假设检验（如安德森-达林（a/D）检验）拟合对数正态分布。零假设是收益来源于给定的非正态分布，并生成一个p值。