近似相关对数正态和：一个实现

例如，利用标普500指数（股票）和10年期国债（债券）的历史数据，以及1928年至2013年的相应通胀率，股票和债券的实际复合收益率（1+rs）和（1+rb）分别通过以下对数正态（μ，σ）分布进行最佳拟合：1.R~对数正态分布1.0837,0.2153A/DP价值01.R~对数正态分布1.0214,0.0825A/DP价值0.559如图所示，标准普尔500指数的实际复合收益率（1+rs）有一个P值，该P值导致对其来源于对数正态分布的无效假设的否定，这可能表明每日收益率不是iid。10年期国债收益率的相应假设不能在任何合理的显著性水平上被拒绝。请注意，这两种假设（1+r）相似 和1.R 关于正态分布，不能在任何合理的显著性水平上进行预测。无论如何，我们将接受这种差异，以便使用具有与实际应用一致的域的RVs。最后，在阿吉文时间点，这些实际复合收益之间的样本相关性和协方差被测量为：Corr1.R,1.R0.04387Cov1.R,1.R0.00078设RSA和RBB分别为上述股票和债券投资的总年回报率。一个多元化的投资组合将α投资于股票，1-α投资于债券。该投资组合的总年回报率为αRs+（1-α）RB，相应的组合&P 500指数和10年期国债总回报率从纽约大学教授Aswath Damodaran的财务数据库中检索，该数据库可访问：http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/。相应的通货膨胀率作为CPI-U，并从美国检索。

明尼阿波利斯联邦储备银行网站，可访问：http://www.minneapolisfed.org/community_education/teacher/calc/hist1913.cfm.（93）（94）（95）（96）（97）返回为（1+αRs+（1-α）Rb）=α（1+Rs）+（1-α）（1+Rb）。通过将每个总回报分解为通货膨胀和实际成分，复合回报可以写成α（1+rs）（1+I）+（1α）（1+rb）（1+I）。为了获得复合实际收益，我们除以（1+I），得到α（1+rs）+（1-α）（1+rb）=（1+αrs+（1-α）rb）。这是相关对数正态RVs的加权和，见（94）和（95）。由于α是投资于股票的比例，它通常被称为equityratio。使用本文介绍的技术，可以近似计算出多元化股票和债券组合的实际复合收益CDF。考虑由权益比率α组成的多元化投资组合∈ {0.25, 0.50, 0.75}.复合收益率S=（1+αrs+（1-α）rb）的概率将使用提出的MGFTE技术推导，并与模拟概率和矩匹配（M-M）对数正态分布推导的概率进行比较。我们将从头部和尾部以及接近平均值的概率中检查概率。这里介绍的方法将使用t∈ {（-1.0，-0.2），（-0.001，-0.005）}由Mehta等人（2007）提出，他们注意到一些t-集在S分布的头部和尾部工作得更好。

该分析的结果如表2所示。表2使用不同方法的CDF概率比较平均（α）CDF概率P（S≤ s） 0.01 0.05 0.10 0.30 0.50 0.80 0.90 0.95 0.99模拟B0。250.8589 0.9063 0.9327 0.9906 1.0322 1.1061 1.1463 1.1811 1.24980.500.8202 0.8778 0.9108 0.9861 1.0434 1.1463 1.2063 1.2591 1.36830.750.7536 0.8280 0.8721 0.9735 1.0530 1.1982 1.2840 1.3605 1.5198M-M0。250.8568 0.9052 0.9321 0.9908 1.0336 1.1062 1.1462 1.1802 1.24690.500.8084 0.8718 0.9077 0.9871 1.0461 1.1483 1.2057 1.2552 1.35360.750.7407 0.8218 0.8685 0.9747 1.0558 1.2002 1.2834 1.3565 1.5049MGF（1）c0。250.8569 0.9053 0.9322 0.9908 1.0336 1.1062 1.1461 1.1801 1.24680.500.8093 0.8725 0.9082 0.9873 1.0462 1.1480 1.2051 1 1.2544 1.35240.750.7418 0.8226 0.8693 0.9751 1.0559 1.1997 1.2826 1.3553 1.5029MGF（2）c0。250.8568 0.9052 0.9321 0.9908 1.0336 1.1062 1.1462 1.1802 1.24690.500.8084 0.8718 0.9077 0.9871 1.0461 1.1483 1.2057 1.2552 1.35360.750.7407 0.8218 0.8685 0.9747 1.0558 1.2002 1.2834 1.3565 1.5049概率为S=a+（1-α）其中～LogNormal（1.0837,0.2153）和normal00。单元格值代表对数正态域值s，产生P（s≤ s） 。B模拟在C++中运行，样本量为N=200000000。cMGF（1）使用t∈ {-1.0，-0.2}和MGF（2）使用t∈ {-0.001, -0.005}.矩匹配对数正态分布的均值和方差分别等于E[S]和V[S]，并在（86）和（87）中推导。它是由独立RVs和的F-W方法驱动的。表2中通过模拟生成的CDF值可视为真实概率的最佳表示。

表2中的第一项值得注意的是，使用M-M对数正态近似和MGF技术的CDF概率与t∈ {-0.001，-0.005}是相同的。当使用接近零的t值时，来自（77）和（78）的方程立即得到满足，无需迭代，程序收敛到初始值。要了解这一点，请注意∈ {0.0, 0.0}, ,from（66）等于1，C，Cbecome:CCW*W.此外，等式（77）和（78）是相同的，它们都简化为：√WW*W0.但是自从，W√,和W*W,（99）中的方程自动满足，因此收敛于初始值。因此，不建议使用两个接近零的t值，因为任何初始值都满足方程，并且程序会立即收敛到这些值。证明（100）的结果很简单。请注意，标准正常RV下的面积等于1，因为它是有效的DPDF。设z~N（0,1），然后：√2.ED1..让你=√, 然后杜=√D, 这个表达变成：√E杜1.→ E杜√箭头右侧的积分现在是高斯-厄米特求积所要求的形式，其中（6）中的非权函数g（u）等于1。因此，可以使用高斯谢尔米特求积通过以下公式进行估算：（98）（99）（100）（101）（102）√ E杜W,这是（100）中的LHS标识。对于（100）中的第二个实体，考虑两个独立的rvs zi~N（0,1），i=1,2。

他们的联合PDF也必须集成到1中，因此：2.EEDD1..让用户界面=√, 然后酒后驾车=√D, 对于i=1，2，所以（104）可以写成：  EE杜杜E杜E杜WW,其中（103）中的标识应用了两次。如表2所示，使用α=0.25的权益比率，最佳执行方法为isMGF（1），该方法使用了本研究中提出的技术和t∈ {-1.0, -0.2}.  当权益比为α=0.50时，本研究中提出的方法在t∈ {1.0，-0.2}表示头部概率，选择上部尾部，而∈ {-0.001，-0.005}对于分布中心和上尾的某些概率更有效。因此，如果投资者对股票/债券权重相等（即α=0.50）的投资组合感兴趣，则使用Mehta et al.（2007）所述的优化技术将有助于使用t∈ {τ，τ}以及一些直观的标准或度量来确定性能最佳的t-集。最后，当α=0.75时，MGF（1）方法通常在分布的头部更准确，而MGF（2）在尾部更准确。这些结果再次表明，需要对两成员t-集进行优化，并确定哪些值表现最好。我们在附录B中提供了执行此优化的DECODE。为了使用附录A中提供的代码实现这些结果，我们在函数main（）中输入了lognormal参数，函数main（）是应用程序的入口点，存在于代码文件LnSum中。cpp。

以下排列用于推导表2中α=0.25的MGF（2）的近似对数正态均值和方差。（103）（104）（105）//声明/初始化局部变量//======================================向量<double>uniMuVar；长双tvals[2]={-0.001，-0.005}；//下面是输入对数正态随机变量的方差-协方差矩阵（V）、平均向量（m）//和求和常数（c）。将三项总和改为V（3,3）、M（3）和C（3），等等//========================================================================本征：矩阵V（2,2）；特征向量M（2），C（2）；//设置矩阵和向量的值//=======================================V<0.04635409,0.00078,0.00078,0.00680625；M<1.0837,1.0214；C<<0.2500,0.7500；//调用函数来近似加权对数正态和//===========================================================uniMuVar=lnsumAbrox（M，V，C，tvals）；六、 扩展到两个以上项的和，考虑到和S=a+a+…+ann，其中Ai为已知常数，且i~对数正态（μ,σ) Cov（i，j）=σ,, 因为我 j=1，2，…，n。与两项求和一样，S的分布将通过求解（77）和（78）中的同时方程，用一元对数正态RV近似。无论有多少项构成了总和，对于两个未知参数，将有两个方程需要求解。未知数是正态分布的均值和方差，近似对数正态RV基于正态分布（使用比例因子）。在（77）和（78）中，只有常数Cd和Cw会发生变化，并且它们表示在不同的t<0值下S的MGF的两个近似值。

在向量表示法中，SA.A.…A.YYY.和S的期望值和方差已知，并由E给出sA.A.…A.μμμ,（106）（107）声明一个名为uniMuVar的2元素向量，以保持近似对数正态均值和方差。设置定义（77）和（）中必须求解的两个非线性方程的T值。声明并填充构成总和的对数正态RVs的2x2方差协方差矩阵，以及包含均值的2元素向量和包含总和常数的2元素向量。调用函数并检索近似对数正态分布RV的均值和方差。还有，Vs五、A.A.…A.YYYA.A.…A.五、YYYA.A.A.A.A.…A.σσ,…σ,σ,σ…σ,σ,σ,…σA.A.A..给你，Es和Vs将用于计算牛顿方法的起点，如（88）和（89）中所示，用于两项求和。对于n项，常数C和C将由包含12个单位的数组成。为了推导出C和C，我们完全按照（36）中的步骤来计算两项和。来，让我 是ui的方差协方差矩阵，其中，θ自然对数,对于1,2,…,,是潜在的相关正常RVs。此外，让我们是它的Cholesky分解，其中L是下三角的，唯一的，并且有正的实支点。将（40）中的PDF解相关为两项求和的转换现在变成：Let√2.,哪里,,,μμμ.然后√.为了证明这种转换在子的，.请注意，因为L是具有正实轴的下三角形，所以它具有以下一般形式：（108）（109）（110）（111）（112）（113）00…00…0…0…,其中lii>0，i=1，2，…，n。

这意味着from（111）由以下元素组成：√2.μ√2.μ√2.···μ.这里，i=10/X在哪里~ Nμ,σ, 因此，i遵循标准形式的对数正态分布，具有潜在的正态RVsθX~ Nθμ,θσ, 对于i=1，2，…，n。通过进行这种解相关变换，我们用zi表示S的MGF，正如（61）中对两项总和所做的那样。每个zi，i=1，2，…，n出现所需的权重函数，然后根据（36）中的i给出非权重函数：E….就用户界面而言，非权重函数变为：E….最后，就zi而言，非权重函数由下式给出：,,…,E√√…√···.n项和S的常数Cnd Cfrom（77）和（78）通过对h（·）的n维积分应用高斯-埃尔米特求积来构造，使用两个t<0的值。如前所述，每个Ci的总和将由12个单位组成，每个单位代表n维上重量和根对的唯一组合。例如，总和中的第一项将使用表1中每个n维的第一个权重，每个Z将被表1中相应的第一个根替换。重复这一过程，直到所有唯一的（114）（115）（116）（117）（118）组合都被表示出来。对于两个期限的情况，如（75）和（76）的左手侧所做的那样，权重相互相乘。

Ci，i=1，2的形式表达式是：C…WE√√…A.E√….这里，（w，r）是表1中的第1个tweight/根对，（w，r）是第2个，依此类推。七、总结/结论对数正态RVs的总和在许多学科中自然出现，因此必须在复杂系统中精确建模。两种常见的建模方法是F-W（Fenton[1960]）和S-Y（Schwartz和Yeh[1982]）。每种方法都有各自的优点和缺点，例如，在某些地区效果良好，但在其他地区效果不佳。Mehta等人（2007年）提出了一种新的、新颖的、可参数化的方法，允许用户在特别感兴趣的区域自定义DF精度。与学术研究一样，论文假设了高水平的技术专业知识，这可能不是所有能从中受益的人都能掌握的。因此，我们填补了这些空白，并以教学法的形式呈现了材料。我们逐步让读者了解了解（相关）两项总和的方法所需的所有技术细节，并提供足够的技术细节，以全面了解涉及两个以上（相关）项的总和。为了强调这种程序的重要性，我们提供了一个金融经济学的应用程序，特别是在离散时间内，对不同股票和债券组合的复合收益的CDF概率进行近似。在退休计划等金融经济学领域，此类模型非常重要，在这些领域，资产配置和提取率的关键决策是定期（如每年）而非连续做出的。

我们还提供了一个C++实现的原始源代码，该实现使用牛顿法求解所需的非线性方程组，初始值由F-WA近似值驱动。Mehta等人（2007年）利用了MATLAB内置的非线性求解器。在一个经过几十年规划期优化的大型金融应用程序中，这样的实现可能会遇到运行时效率低下的问题。较低级别的编程（119）语言可能更适合此类实现。我们使用的技术可以快速收敛，只需要少量的迭代。如表2所示，当使用任意MGF值生成两个所需方程式时，改进是适度的。Mehta等人（2007年）建议用户优化t集，并找到适合其应用的值。例如，一组SUM值的CDF概率将通过模拟感兴趣的区域或整个sumdomain生成，如表2所示。然后，对二元t-集进行优化，计算模拟值和近似值之间绝对偏差的（加权）和，并为该特定应用选择性能最佳的t-集。性能最好的tset是产生最小和值的tset。为了在对数正态和域的局部区域实现更高的精度，可以为每个绝对%偏差引入权重（见Mehta等人[2007]）。可以说，F-W方法可以使用各种均值/方差组合进行类似的优化，但有一个区别。根据Mehta et al.（2007）的框架，最优tset可能适用于各种相关和，然而，只要和发生变化，就需要重复F-W优化。我们在附录B中包含了模拟求和值和优化t集的C++源代码。