效率与信用评级：排列信息理论分析

这种特定的信息并不是通过随机性的度量来揭示的。Rosso及其同事介绍了一种有效的统计复杂性度量（SCM），它能够检测动力学的基本细节，并区分不同程度的周期性和混沌[27]。该规范提供了有关潜在概率分布概率的重要附加信息，通过标准化香农熵[P]=S[P]/Smax，（3）Smax=S[pe]=ln M，（0）的乘积cj S[P]=QJ[P，pe]·HS[P]（2）定义≤ HS≤ 1） 和Pethe等概率分布，以及所谓的不平衡QJ。后一个量化器是根据连接两个PDF的广泛（热力学意义上）Jensen-Shannon发散[P，Pe]定义的。我们有qj[P，Pe]=Q·J[P，Pe]，（4）供应链的这种功能性产品形式是由于[29]。其中j[P，Pe]=S[（P+Pe）/2]- S[P]/2- S[Pe]/2。（5） Qi是一个归一化常数，等于J[P，Pe]的最大可能值的倒数。当P的一个值（例如pm）等于1且其余的Pi值等于0时，即Q=-2.米+1米ln（M+1）- 2平方米+平方米-1.（6）Jensen-Shannon散度量化了两个（或更多）概率分布之间的差异，尤其适用于比较不同序列的符号组成[25]。我们强调，上面定义的统计复杂性是两个归一化熵（香农熵和詹森-香农散度）的乘积，但它是熵的一个非平凡函数，因为它取决于两个不同的概率分布，即对应于系统状态P的概率分布和等概率分布Pe，作为参考状态。

此外，已经表明，对于给定的HS值，可能的SCM值范围在最小Cmin和最大Cmax之间变化[31]。因此，复杂度的评估提供了对系统概率分布细节的额外洞察，它不受熵等随机性度量的区分。它也有助于揭示与所研究物理过程各组成部分之间的相关结构相关的信息[46,47]。A.2复杂性熵平面在统计力学中，一个通常被用于以n个初始、任意和离散概率分布为特征的孤立系统，其主要目的是描述其向平衡的演化。在均衡状态下，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假定该状态由等概率分布Pe给出。统计复杂性度量（SCM）的时间演化可以用CJ Sversustime t的二维（2D）图来分析。然而，热力学第二定律指出，对于孤立系统，熵随时间单调增长（dHS/dt）≥ 0). 这意味着，HSS可以被视为时间之箭，因此，研究SCM时间演化的等效方法是通过分析CJ Sversus HS。复杂性熵平面已被用于研究由某些特征参数的修改引起的系统动态变化（参见Instanc e[49]、[66,65,63]和其中的参考文献）。A.3概率分布函数的估计当使用基于信息论的量化器（如HSS和CJ S）时，应事先提供与所分析时间序列相关的概率分布。人们提出了许多方法来正确估计它。

我们可以提到：（i）频率计数[49]，（ii）基于振幅统计的程序[14]，（iii）二进制符号动力学[34]，（iv）Fourier分析[40]，以及（v）小波变换[44]，等等。它们的适用性取决于数据的特定特征，如平稳性、时间序列长度、参数变化、噪声污染水平等。在所有这些情况下，可以以某种方式捕捉动力学的全局方面，但不同方法在识别所有相关物理细节的能力上并不相同。将原始序列离散化并将其转换为符号序列的时间序列符号分析方法构成了一个强大的工具。它们能有效地分析非线性数据，对噪声的敏感性较低[22]。然而，找到对原始系列有意义的象征性表现可能是一项微妙的任务[10]。不同的符号序列可分配给给定时间序列[13]。在这方面，一个非常重要的问题是确定是否考虑了不同时间序列值的时间顺序。在第一种情况下，有人说已经考虑了因果信息。如果只为时间序列的每个值分配一个单位表a的符号a，则随后的符号序列可被视为所考虑的时间序列的无n因果粗粒度描述。从时间序列中提取的PDF不会包含任何因果信息。通常的直方图技术对应于这种赋值。如果一个有限字母表a的一个符号被分配到一个（相空间）轨迹的部分，即我们为每个轨迹部分分配“单词”，则因果信息可能会被纳入构建过程中。

从时间序列中提取aPDF的Bandt和Pompe（BP）方法[9]对应于因果分配类型，由此产生的概率分布P构成了系统的因果粗粒度描述。“划分”是通过比较相邻关系值的顺序来设计的，而不是根据不同的水平来分配振幅。合适的SYMBOL序列是从时间序列中自然产生的。不需要基于模型的假设。给定时间序列S（t）={xt；t=1，…，N}，嵌入维数D>1（D∈ N） ，以及一个嵌入延迟τ（τ∈ N） ，由7生成的顺序D的BP模式→xs，xs+τ，xs+（D）-2） τ，xs+（D-1)τ, （7） 被考虑在内。对于每个时间s，BP分配一个D维向量，该向量由时间s，s+τ，…，的时间序列的评估结果得出，s+（D）- 2） τ，s+（D）- 1)τ. 显然，D值越高，后续向量中包含的“未来”信息就越多。通过与时间s相关的有序排列模式，BP表示排列π=（rr…rD）-2rD-1） of（01…D）- 二维- 1） 定义为xs+rτ≤ xs+rτ≤ . . . xs+rD-2τ≤ xs+rD-1τ. （8） 通过这种方式，等式（7）定义的向量被转换为定义符号π。为了得到唯一的结果，考虑ri<ri+1if xs+riτ=xs+ri+1τ。如果XT的值具有连续分布，因此等值xX32x1D=4D=3D=2D=1X0，则这是合理的。图4：长度顺序模式的构造原理说明[36]。对于D=4，整圈和连续线表示sequencex≤ 十、≤ 十、≤ 这导致了模式（0321）。这很不寻常。

为了所有的D！可能的顺序（排列）πi当嵌入维数为D时，其相关的相对频率可以根据在时间序列中发现该特定顺序序列的次数除以序列总数自然计算。因此，诺丁模式概率分布P={P（πi），i=1，…，D！}来自时间序列。为了说明BP方法，考虑一个简单的例子：一个时间序列，有七个（N=7）值x={4,7,9,10,6,11,3}，我们评估D=3和τ=1的BP PDF。Tr iple ts（4,7,9）和（7,9,10）表示置换模式（012），因为值是按递增顺序排列的。另一方面，（9,10,6）和（6,11,3）对应于自xs+2以来的排列模式（201）≤ xs≤ xs+1，而（10，6，11）具有xs+1的置换模式（102）≤ xs≤ xs+2。然后，相关概率结果为：p（012）=p（201）=2/5；p（102）=1/5；p（021）=p（120）=p（210）=0。图4图解说明了长度D={2，3，4}[36]的顺序图案的构造原理。考虑序列{x，x，x，x}。福特=2，从xto x只有两个可能的方向，上下。ForD=3，从x（向上）开始，图案的第三部分可以在x上方，在x和x之间的xor b下方，如图4所示。从x（向下）开始得到类似的情况。对于D=4，对于x的6个可能位置中的每一个，我们将有4个可能的x位置，以这种方式最终导致D！=4! = 24种不同的顺序模式。与D={3,4,5}对应的所有可能模式的图形表示可在[36]的图2中找到。一旦我们确定嵌入维数D和嵌入延迟τ，就得到了BP生成的概率分布P。

由于D决定了D！给出的可访问状态的数量，所以f参数在评估适当的概率分布时起着重要作用！。此外，已经确定时间序列的长度n必须满足条件n>> D为了在随机和确定性动力学之间实现可靠的统计和适当的区分[45,55]。关于参数的选择，BP在他们的基础论文[9]中建议使用3≤ D≤ 7，时滞τ=1。然而，τ的其他值可能会提供额外的信息。[64]和[53,54]最近表明，当该参数与所分析的系统的内在时间尺度相关时，它与该系统的内在时间尺度密切相关。很明显，应用这个公式来表示时间序列，原始振幅信息和可变性的细节就会丢失。然而，它提供了一种将复杂系统有意义地简化为其基本固有结构的方法。借助于连续点（τ=1）或非连续点（τ>1）的比较，时间序列的符号表示允许对基础相空间进行精确的经验重建，即使在存在弱（观测和动态）噪声的情况下[9]。此外，与PDF相关的顺序模式对于非线性单调变换是不变的。因此，测量设备引入的任何非线性漂移或标度都不会改变q值的估计，如果处理实验数据，这是一个有用的特性（参见[50]）。这些优点使得BP方法比基于范围划分的传统方法更方便。

该方法的其他优点在于其简单性（我们需要的参数很少：模式长度/嵌入维度D和嵌入延迟τ）以及相关计算过程的极快性质。在这项工作中，非恶意化的香农熵HS（公式（3））和SCM，CJ S（公式（2））使用置换概率分布进行评估。通过这种方式定义，这些量化器通常被称为置换熵和置换统计复杂性[48]。它们分别描述了复杂时间序列中存在的顺序的多样性和相关结构。复杂性熵因果平面（CECP）定义为二维（2D）图，通过绘制给定系统的置换统计复杂性（纵轴）与置换熵（横轴）得到[45]。有关置换量估计的更多详细信息及其主要生物医学和经济物理学应用的详尽列表，请参阅[61]。参考文献[1]Pilar Abad、Antonio Diaz和M.Dolores Robles Ferniandez。信用评级公告、交易活动和收益率预测：西班牙证据。《货币经济与金融国际期刊》，5（1）：38-632012年。[2] 何塞·阿尔瓦雷斯·拉米雷斯、耶稣·阿尔瓦雷斯和爱德华多·罗德里格斯。原油市场的短期可预测性：趋势分析法。能源经济学，30（5）：2645-26562008年9月。[3] 何塞·阿尔瓦雷斯·拉米雷斯、耶稣·阿尔瓦雷斯和里卡多·索利斯。原油市场效率和建模：来自多尺度自相关模式的见解。能源经济学，32（5）：993-1000，2010年9月20日。[4] 何塞·阿尔瓦雷斯·拉米雷斯和拉斐尔·埃斯卡雷拉·佩雷斯。电力市场中的时间相关关系。能源经济学，32（2）：269-277，2010年3月。[5] 何塞·阿尔瓦雷斯·拉米雷斯、爱德华多·罗德里格斯和耶稣·阿尔瓦雷斯。

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