批量加权平均价格最优执行

动态解（29）需要估计10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间0。00.51.01.52.02.53.03.5%总体积mt/V的历史值（百分比）图3:E的估计值mtV使用数据集的第一个W=20天，以百分比表示。挥发物σt，我们使用平方价格变化的样本平均值σt\'Pi-1j=i-WPKk=1（p（j，k）t+1- p（j，k）t）/p（j，k）tW k对于每t=1，T在图4中，我们展示了这种估计的一个例子（在数据集的第一天）。然后，我们从§5.2中定义的参数族中选择体积分布fm（m，…，mT）（使用附录B.1中描述的特殊程序）。我们以样本平均值e[V（i，k）]Pi估计每种股票的预期日交易量-1j=i-WV（j，k）wf每k=1，K.我们用它来选择模拟订单的大小。最后，我们考虑参数s，交易成本模型（2）的sT和α。由于我们需要额外的数据、价差的市场报价以及α执行订单的专有数据（出于财务原因的保密），因此我们不以经验方式对其进行估计。相反，我们将它们设置为外生值，在所有库存和天数中保持不变（以简化执行成本的比较）。为了简单起见，我们假设分数分布在时间上是常数，等于2个基点，s=····=sT=2b.p.（一个基点为0.0001）。这对于道琼斯工业平均指数等流动性股票来说是合理的。我们根据交易成本的经验法则选择参数α：交易一天的交易量成本与交易日的波动率近似[KGM03]。我们对前20天的10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间246810121416b进行了经验估算。p、 ^σt的历史值（以基点为单位）图4：在数据集的第一个W=20天内，周期波动率的估计值^σt。

估计的价格增量为每分钟一点的标准偏差。在数据集中，我们的股票从开盘到收盘的波动率大约等于90个基本点，因此，从方程（2）中，我们设定了α=90.5.5，每天用VWAP解决方案算法模拟执行i=W+1，N且每只股票k=1，我们模拟了一个命令的执行。我们确定的订单规模等于给定库存在给定日期的预期日销量的1%：c（i，k）=E[V（i，k）]/100。这样的订单很小，对股票价格的影响可以忽略不计[BFL09]，因为我们需要（2）持有。我们用不同的求解方法重复模拟：静态解（16）和动态解（29），风险规避参数λ=0,1,10,100,1000，∞. 我们使用符号a来索引求解方法。对于每次模拟，我们都会求解一组适当的方程，将所有历史估计的参数设置为按照§5.4的程序获得的值。对于每一种求解方法，我们得到一个模拟交易计划u（i，k，a）t，t=1，t上标a为解决方案方法编制索引。然后，我们使用（4）S（i，k，a）=PTt=1p（i，k）tu（i，k，a）t来计算进度计划引起的延误- C（i，k）p（i，k）VWAPC（i，k）p（i，k）VWAP+TXt=1α（u（i，k，a）t）C（i，k）m（i，k）t-u（i，k，a）tC（i，k）！。（31）请注意，我们正在模拟交易成本。直接测量它们需要实际执行u（i，k，a）t。这种交易成本优化测试对于静态解决方案（16）和动态解决方案（29）之间的比较具有价值。我们的交易成本模型（2）与文献中的其他作品（如[FW13]）相似，但涉及市场交易量。

静态解决方案仅使用市场开放前已知的市场容量分布，而动态解决方案使用SHDP程序整合实时信息并改进市场容量的建模。在下文中，我们展示了动态解决方案比静态解决方案实现更低的交易成本，这种收益是由于更好地处理市场容量信息。实际上，经纪人会使用不同的交易成本模型，可能比我们的模型更复杂。我们认为一个好的模型应该将市场容量作为一个关键变量[BFL09]。因此，我们的测试表明，在该设置中，动态解决方案的性能也会优于静态解决方案。我们在图5中展示了一个样本市场日的模拟结果，使用λ=0和λ=0的静态解（16）和动态解（29）∞. 我们还绘制了市场交易量m（i，k）t.5.6聚合结果我们报告了为订单模拟服务的所有日期的VWAP执行模拟的聚合结果（减去用于交叉验证的结果）。对于任何一天，i=W+WCV+1，N、 股票k=1，K、 解方法a（对于λ的各种值，静态解（16）或动态解（29））我们使用（31）获得模拟滑移（i，K，a）。然后，对于每种求解方法a，我们确定了S asE[S（a）]=PNi=W+WCV+1PKk=1S（i，k，a）（N）的经验预期值- W-WCV）和经验方差Var（S（a））=PNi=W+WCV+1PKk=1（S（i，k，a））- E[S（a）]（N- W-WCV）K- 1.在图6中，我们在风险回报图上显示了这些值。（为了简单起见，我们显示了方差的平方根，因此两个轴都用基点表示）。

我们观察到，动态解决方案在VWAP跟踪（S的方差）和交易成本（S的预期值）方面都比静态解决方案有所改善，我们可以通过选择不同的λ值来选择不同的行为。10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间0。00.20.40.60.81.0厘米。VWAP解决方案与市场容量的总容量比较。2012-11-27日股票JPM静态解动态解λ=∞动态解决方案，λ=0市场容量图5：模拟样本市场日的订单执行情况。我们将所有体积过程报告为其总体积的累积分数。每次τ我们为市场容量Mt绘制pτt=1MTv，为各种解决方案ut绘制pτt=1Tc。我们只显示λ=0和λ=∞ 因为对于λ的所有其他值，解介于两者之间。我们在§2.2中引入了近似值，即与（9）相比，（10）的值可以忽略不计。实证结果验证了这一点。对于静态解，（9）的经验平均值为4.45e-07，而（10）是6.34e-09，约1%。对于λ=∞ （10）的平均值为3.60e- 07和（9）是1.92e- 08，约5%。对于λ=0的动态解，（10）的平均值为4.76e- 07和（9）是5。50e- 09，约1%。λ的其他值的动态解介于两者之间。因此，近似值通常是有效的，对于λ的高值，近似值变得不那么紧。

实际上，在图6中，我们可以看到，对于λ=∞ 比λ=10000的大多少，可能是因为（9）的贡献。（我们可以将其解释为偏差-方差权衡，因为从λ=∞ 为了λ=10000，我们有效地引入了解的正则化。）6结论我们研究了VWAP基准下的最优执行问题，并开发了两大类解决方案。§3的静态解，尽管是在与经典[Kon02]1.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 S、b.p.6.06.26.46.66.87.0Std的预期值（样本平均值）类似的假设下得出的。S的偏差（样本），b.p.静态λ=0λ=1λ=10λ=100λ=1000λ=∞动态解与静态解的最佳边界静态解动态解图6：我们在真实市场数据上模拟的总体结果的风险-回报图。每个点代表一种求解方法，静态解（16）或动态解（29），风险规避参数λ=0,1,10,100,1000，∞.我们展示了模拟滑动的样本平均值（代表执行成本）和样本标准偏差，即跟踪VWAP的均方根误差（RMSE）。订单量相当于预期日产量的1%。动态解在两个维度上都优于静态解，我们可以通过选择风险规避参数λ来选择偏好行为。与文献中的可比静态解决方案相比，更灵活，可以适应更复杂的模型（买卖价差和交易量）。通过将问题表述为一个二次规划，可以很容易地添加其他凸约束（参见[MS12]以获得一个好的列表），并保证有一个简单快速的解决方案[BV09]。§4的动态解是这项工作的最大贡献。

一方面，我们将问题转化为线性二次随机控制的标准形式。另一方面，我们在优化控制的近期结果的基础上，以原则性的方式对总市场容量的不确定性进行建模（我们在文献中发现的所有类似作品中都对其进行了描述[SBZ10]。§5的经验测试基于使用良好统计实践设计的真实数据进行的模拟（§5.3的滚动测试确保所有结果都是从样本中获得的）。我们比较了贸易行业标准的静态解决方案和动态解决方案的性能。动态解决方案是围绕市场容量联合分布的模型构建的，我们在§5.2中提供了一个简单的模型（以及使用该模型的方法）。这应该是一个概念证明，因为在实践中，经纪人应该有一个更复杂的市场交易量模型，这将进一步提高动态解决方案的性能。即使使用我们的市场容量模型，我们的动态解决方案也显著提高了静态解决方案的性能。结果验证了推导动态解所涉及的所有近似值，从而显示了其价值。我们的模拟量化了我们的动态解决方案相对于标准静态解决方案的改进。一方面，我们可以将VWAP跟踪的RMSE降低10%。这一点非常重要，可以通过更复杂的市场容量模型加以改善。另一方面，我们可以将执行成本降低25%左右。在我们的测试中，这与~ 100万美元的订单可以节省50美元（VWAP执行每天价值10亿美元）。附录A动态规划方程A。1 LQSCW的Riccati方程推导出（19）和（20）的递推公式。我们知道最终条件vt+1（xT+1）=gT+1（xT+1），所以DT+1=QT+1，DT+1=DT+1，bT+1=0。

现在对于感应步骤，假设vt+1（xt+1）的形式为（20），已知Dt+1、Dt+1和bt+1。那么，根据（18），在时间t的最佳动作是ut=argminuE[gt（xt，u，wt）+vt+1（at（wt）xt+Bt（wt）u+ct（wt））]=Ktxt+lt，其中kt=-E[Bt（wt）TDt+1At（wt）]（E Rt（wt）+E[Bt（wt）TDt+1Bt（wt）]lt=-rt+2E[Bt（wt）TDt+1c（wt）]+dTt+1E Bt（wt）2（rt+E[Bt（wt）TDt+1Bt（wt）]。因此，时间t的值函数也是（20）的形式，它的值vt（xt）=E[gt（xt，Ktxt+lt，wt）+vt+1（at（wt）xt+Bt（wt）（Ktxt+lt）+ct（wt））=xTtDtxt+dTtxt+btwithDt=E Qt（wt）+KTtERt（重量）+Bt（重量）TDt+1Bt（重量）Kt+E[At（wt）TDt+1At（wt）]+KTtE[Bt（wt）TDt+1At（wt）]+E[At（wt）TDt+1Bt（wt）]Ktdt=E qt（wt）+KTtE rt（wt）+2E KTtRt（wt）lt+E[At（wt）+Bt（wt）KTT+1（Bt（wt）lt+EC（wt））]Bt=Bt+1+E rt（wt）lt+E rt（wt）lt+E[（Bt（wt）lt+c（wt）lt+1+Bt（wt）]。因此，我们完成了归纳步骤，因此值函数是二次函数，并且在每个步骤t=1，T只要我们知道问题参数的函数形式和扰动的分布wt.A.2 SHDP解，就可以解决递归问题。我们推导了（27）和（28）的递归公式。这些方程与我们在附录A.1中推导的Riccati方程相当，但预期值在边缘条件密度^fwτ| t（·）上。我们写信来表达这样的期望。此外，由于我们的问题有At（wt）=I，Bt（wt）=e，qt=0，以及rt（wt）=rtfor t=1，…，所以这些方程稍微简单一些，T

最终条件由（25）DT | t=EtQT（wT）+eEtRT（wT）eTdT | t=-rTeT- 2C EtRT（wT）eT，bT | t=rTC。递归方程为kτ| t=-eTDτ+1 | tEtRτ（wτ）+eTDτ+1elτ| t=-rτ+dTτ+1 | te+2eTDτ+1 | tEtc（wτ）2（EtRτ（wτ）+eTDτ+1 | te）Dτt=EtQτ（wτ）+KTτtEt[Rτ（wτ）]+eTDτ+1|te“t t”t+t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t，，，（1）t）t）t）以及（t）t）t）以及以及（t）t）以及其他（t）t（t）以及（t）t（t）以及（t）以及（t）t）t）t）t）t）t）t）t）t））t）t）t）t）t）t）t）t）t）t）t）））t）t）t）t）t）t）t）t）））t t）t t t）t t）））t t t t）））t t t t t t t）））））t t t t t t））））））））））t t t t t t t t t））））））））））））））））））））））t t t t t t t t））））））））））））））））））））））））））t t t t t t t t t））））））））））[c（wτ）Dτ+1 | tc（wτ）]+dTτ+1 | tEtc（wτ），对于τ=t，T- 1.A.3 SHDP简化解（不含值函数）如果我们对τ=t，…，的成本函数vτ| t（xt）不感兴趣，则附录A.2中导出的方程部分非常复杂，T-1.（事实上，我们只想计算最优动作（29）。）我们忽略常数项bτ| t，我们只计算从Dτ|和Dτ| t得到的三个标量元素。对于任何t=1，T和τ=T，T- 1我们需要τ| te≡ βτ| tetDτ| te=etDτ| te≡ γτ| tetdτ| t≡ Δτ| t其中e=（1，0）和e=（0，1）是单位向量。最终值为βT | T=λσTC+αsT2CEt[1/mT]γT | T=-λσTCEt[1/V]δT | T=sT2C- αsTEt[1/mT]。政策kτt=-（βτ+1 | t，γτ+1 | t）（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | tlτ| t=--sτ/（2C）+Δτ+1 | t+2γτ+1 | tEtmτ2（（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | t）。我们将Riccati方程限制为这三个标量。

它们独立于递归的剩余部分，我们得到βτ| t=λστC-βτ+1 | t（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | t+βτ+1 | t=λστC+（αsτ/2C）Et[1/mτ]βτ+1 | t（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | tγτ|t=-λστCEt[1/V]-βτ+1 | tγτ+1 | t（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | t+γτ+1 | t=-λστCEt[1/V]+（αsτ/2C）Et[1/mτ]γτ+1 | t（αsτ/2C）Et[1/mτ]+βτ+1 | tΔτ| t=Δτ+1 | t+2βτ+1 | tlτ| t+2γτ+1 | tEtmt。A.3.1我们研究的情况是，对于所有t=1，T，相当于极限λ→ ∞. 从上面的方程中，我们得到了所有t=1，T和τ=T，Tβτ| T=λστCγτ| T=-λστCEt[1/V]Δτ| t=0。所以每t=1，TuT | T（xt）=Kt | txt+lt=-（βτ+1 | t，γτ+1 | t）xt- Etmtγτ+1 | tβt+1 | t=C Et[1/V]t-1Xτ=1mτ+Etmt！-T-1Xτ=1uτ。换句话说，在每一个时间点，我们都会观察我们执行的订单量与市场每日交易量之间的差异（使用我们对总交易量的最新估计）。我们将预期分数与下一个周期的Etmt[1/V]进行交易，再加上这一差异。B容积模型我们在这里解释容积模型（30）的细节，我们使用容积模型进行动态VWAPsolution。在§B.1中，我们描述了用于根据历史数据估计模型参数的特殊程序。然后在§B.2中，我们详细说明了模型特定特征的交叉验证。最后，在§B.3中，我们推导了体积中某些函数的预期值的公式，这是我们求解（29）所需要的。B.1历史数据估计我们考虑使用daysi的数据估计体积模型参数B（k）、u和∑- W我- 1（我们在第一天解决问题）。

我们将上标（i，k）附加到任何涉及市场日i和股票k的数量上。bk的估计我们首先估计每个股票k的b（k）值，如下所示：^b（k）=Pi-1j=i-WPTt=1log m（j，k）tT WWe在表1中显示了在数据集的前几天获得的^b（k）值。每个观测记录m（j，k）后的u估计值-1b（j，k）作为多变量高斯分布，我们使用该经验平均值作为u：^ut=Pi的估计量-1j=i-WPKk=1log m（j，k）t-^b（k）W k.我们在图（7）中绘制了在数据集的前几天获得的^u的值。股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票股票（1）数量模型中的每种库存组成部分，使用第一个W=20天的数据。∑的估计我们最后转向协方差矩阵∑的估计∈ ST++，使用历史数据。一般来说，协方差矩阵的经验估计是一个复杂的问题。通常，人们无法获得足够的数据来避免过度拟合（协方差矩阵有O（N）个自由度，其中N是样本的维数）。计量经济学和统计学文献中已经发展了许多近似方法。受[FLM11]等作品的启发，我们设计了一个特别程序。我们寻找形式为∑=ffT+S的矩阵，其中f∈ R和S∈ ST++是稀疏的。我们首先建立经验协方差矩阵。莱克斯∈ RT×（wk）是矩阵，其列是形式为logm（j，K）的向量- 1^b（k）- ^u每天j=i- W我- 股票k=1，那么经验协方差矩阵是∑=wk- 1xxx吨。我们对XX=U·diag（s，s，…）进行奇异值分解。