批量加权平均价格最优执行

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英文标题：
《Volume Weighted Average Price Optimal Execution》
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作者：
Enzo Busseti and Stephen Boyd
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the problem of optimal execution of a trading order under Volume Weighted Average Price (VWAP) benchmark, from the point of view of a risk-averse broker. The problem consists in minimizing mean-variance of the slippage, with quadratic transaction costs. We devise multiple ways to solve it, in particular we study how to incorporate the information coming from the market during the schedule. Most related works in the literature eschew the issue of imperfect knowledge of the total market volume. We instead incorporate it in our model. We validate our method with extensive simulation of order execution on real NYSE market data. Our proposed solution, using a simple model for market volumes, reduces by 10% the VWAP deviation RMSE of the standard \"static\" solution (and can simultaneously reduce transaction costs).
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中文摘要：
我们从风险规避经纪人的角度研究了成交量加权平均价格（VWAP）基准下交易指令的最优执行问题。问题在于以二次交易成本最小化滑动的均值方差。我们设计了多种方法来解决这个问题，特别是我们研究如何在日程安排期间整合来自市场的信息。文献中的大多数相关作品都回避了对总市场容量不完全了解的问题。我们将其纳入我们的模型中。我们通过对纽约证券交易所真实市场数据的大量订单执行模拟来验证我们的方法。我们提出的解决方案使用了一个简单的市场容量模型，将标准“静态”解决方案的VWAP偏差RMSE降低了10%（并且可以同时降低交易成本）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Volume_Weighted_Average_Price_Optimal_Execution.pdf (654.51 KB)

2022-5-9 06:02:14 上传

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关键词：平均价格 平均价 Quantitative Stephen boyd Applications

交易量加权平均价格最优执行Enzo Busseti Stephen Boyds 2015年9月30日摘要我们从风险规避者的角度研究了交易量加权平均价格（VWAP）基准下交易指令的最优执行问题。问题在于以二次交易成本最小化滑动的均值方差。我们设计了多种方法来解决这个问题，特别是我们研究如何在日程安排期间整合来自市场的信息。文献中的大多数相关作品都回避了对总市场容量不完全了解的问题。我们将其纳入我们的模型中。我们通过对纽约证券交易所真实市场数据的大量订单执行模拟来验证我们的方法。我们提出的解决方案使用了一个简单的市场容量模型，将标准“静态”解决方案的VWAP偏差降低了10%（并可以同时降低交易成本）。1简介大多数关于最佳执行的文献都集中在执行短缺（IS）目标上，将执行价格相对于提交订单时的市场价格降到最低。开创性论文[BL98]、[AC01]和[OW05]推导了各种风险偏好和市场影响模型的最优时间表。然而，股票市场上的大部分交易量都是以交易量加权平均价格（VWAP）为基准，以执行期内的平均市场价格为基准[Mad02]。从随机控制的角度来看，使用这个基准使这个问题更加引人注目，并促使开发更丰富的市场动态模型。VWAP执行的优化调度问题最初是在静态优化设置中研究的[Kon02]（日程安排在一天开始时确定）。这在直觉上是次优的，因为它忽略了随着进度而来的新信息。

最近的一些论文[HJ11][MK12][FW13]扩展了该模型，并纳入了市场上出现的新信息，但它们依赖于一个关键假设，即市场总量是事先已知的。其他著作[BDLF08]采取了不同的路线，侧重于市场容量的实证建模。最近的一篇论文[GR13]研究了包含市场影响项的随机控制问题，而李[Li13]的工作采用了不同的方法，研究了市场和限制订单的最优配置，以实现VWAP目标。我们的方法与文献中最新的作品（[FW13]，[GR13]）相匹配，并添加了一个关键的补充：我们不假设总市场容量已知，而是将其视为随机变量。我们还提供了大量的实证结果来验证我们的工作。我们在§2中定义了问题和所有相关变量。在§3中，我们导出了一个“静态”最优交易解决方案。在§4中，我们开发了一个“动态”解决方案，以尽可能最好的方式使用计划期间从市场获得的信息：随着我们对市场总交易量的估计提高，我们相应地优化了我们的交易活动。在§5中，我们使用VWAP解决方案算法，详细介绍了我们在纽约证券交易所真实市场数据上进行的交易模拟。我们在§6.2问题公式中得出结论，从经纪人的角度来看，我们考虑执行客户发出的交易指令的问题。客户决定交易C∈ 在一个交易日的过程中，Z+股票k的份额。通过假设C>0，我们将分析限制在“购买”订单上。如果我们对“卖出”订单感兴趣，我们只需要更改相应的标志。Wedon没有探究客户订单的原因（可能是为了重新平衡她的投资组合，进行新的投资等）。经纪人接受订单，并在市场上进行所有交易以完成订单。

经纪人有执行订单的自由（可以决定何时购买以及购买金额），但必须在一天中累计交易C金额。提交订单时，客户和经纪人就执行基准价格达成一致，该价格规定经纪人的报酬和风险分担。客户向经纪人支付的金额等于交易的股票数量乘以执行基准，再加上费用（我们忽略了这一点）。反过来，经纪人为自己在市场上的交易活动买单。基准价格的一些选择是：o交易计划开始时的股票价格。这导致执行不足（[BL98]，[AC01]），客户不承担风险（因为基准价格是固定的）收盘时的股价。这种类型的执行可能会使代理和客户对象不一致。经纪人可能会利用其交易的市场影响，通过推高或推低成交价格来从其执行中获利成交量加权平均价格（VWAP），按市场成交量加权的全天平均股价。这是最常见的基准价格。它鼓励经纪人在整个交易日平均执行，最大限度地减少订单的市场影响和可检测性。它将与市场价格变动相关的大部分风险分配给客户，因此经纪人可以专注于优化执行。在本文中，我们推导了VWAP基准下的最优执行算法。2.1定义我们致力于简化离散时间。我们考虑给定股票的一个交易日，以相同长度的间隔分割。在下列情况下，T固定为390，因此每个间隔为一分钟。成交量我们用“成交量”一词来表示整数数量的已交易股份（由整个市场或单个代理人）。我们定义了∈ 对于t=1。

，T，整个市场在区间T内交易的股票数量，非负。我们注意到，事实上，市场容量是整数，而不是实数。这种近似是可以接受的，因为交易的股票的典型数量远大于1（如果间隔时间为1分钟或更长），因此整数舍入误差可以忽略不计。这些市场容量根据联合概率分布Fm1:T（m，…，mT）分布。在§5.2中，我们提出了这种联合分配的模型。我们还定义了呼叫ut的总日容量EV=TXt=1∈ R+我们的经纪人在区间t内交易的股票数量，fort=1，T（我们再次假设体积足够大，因此舍入误差可以忽略。）根据规定，这些交易必须是非负的，以便经纪人作为订单的一部分进行的所有交易都具有相同的符号。价格出租∈ R++表示t=1，这不是股票的平均市价。这被定义为区间t内所有交易的VWAP（如果在区间t内，市场中没有>0个交易，则每个交易量ωi）∈ Z++和priceπi∈ R++，然后pt=PNti=1ωiπi/PNti=1ωi。）如果在区间t内没有交易，那么pti是未定义的，实际上我们将其设置为等于最后一个可用期间的价格。我们将这个价格过程建模为零漂移的年龄计量随机游动。初始价格是已知的常数。然后价格增加ηt≡pt-pt-1吨-1对于t=1，T是独立的，分布为ηT~ N（0，σt），其中N是高斯分布。周期波动率σt∈ R+表示t=1，从市场日开始就知道这些常数。我们确定了市场VWAP价格aspVWAP=PTt=1mtptV。（1） 交易成本我们通过引入有效价格^pt对交易成本进行建模，定义为t区间的整个交易成本为ut^pt。

我们的模型捕捉了即时交易成本，尤其是买卖价差的成本，而不是长期市场影响的成本。（有关交易成本和市场影响的详细文献综述，请参见[BFL09]。）让我们∈ R++是t期间的平均分数（作为股票价格的比率）买卖价差。我们假设经纪人使用优化交易算法进行交易，该算法将市场和限制订单最佳地混合在一起。买方市场订单的成本或交易费用平均为pt（1+st/2），而限价订单的成本或交易费用平均为pt（1+st/2）- st/2）。让uLO和uMObe分别通过限制订单和市场订单执行ut的部分，以便uLO+uMO=ut。我们要求算法使用相同符号的交易，因此uLO、uMO和UTA都是非负的（与§2.3中引入的约束一致）。我们假设市场订单占交易量的比例与参与率成比例，定义为ut/mt.SouMOut=αUTMt，其中比例系数α∈ R+取决于所用交易算法的具体情况。这是一个合理的假设，尤其是在参与率很低的情况下。交易的全部成本或程序为ut^pt=pt乌洛1.-圣+ 巫统1+st这意味着^pt=pt1.-st+αstutmt. （2） 因此，我们有一个简单的有效价格^pt模型，在ut中呈线性。这会产生二次交易成本，这是股票市场的合理近似值（[BFL09]，[LFM03]）。2.2问题目标考虑到经纪人的现金流，等于他从客户处收到的付款减去交易CPVWAP的成本-TXt=1ut^pt。实际上也会有费用，但我们忽略了它们。贸易行业通常将这种下滑定义为现金流的负面影响。它代表订单执行价格偏离基准的金额。

（符号的选择是常规的，因此优化问题在于最小化符号）。相反，我们定义了滑动屁股≡PTt=1ut^pt- cpvwappvwap，（3）通过订单的值进行规范化。我们需要这个来比较不同订单之间的滑动。通过替换上面定义的表达式，我们得到=TXt=1utpt1.-st+αstutmt- CPTt=1mtptV！，CpVWAP=TXt=1ptpVWAPutC-mtV+TXt=1ptst2pVWAPαutCmt-utC\'T-1Xt=1ηt+1Ptτ=1mτV-Ptτ=1uτC+TXt=1stαutCmt-utC（4） 我们使用了两个近似值（均为一阶，在一天的交易周期内合理）pt- pt-1pVWAP\'pt- pt-1吨-1=ηt（5）ptstpVWAP’st.（6）我们将经纪人建模为标准的风险规避代理人，因此目标函数为给定风险规避参数λ的最小值S+λvar（S）≥ 0.这些期望和方差运算符适用于系统中的所有随机性来源，即市场容量m和市场价格p，在我们的模型下，它们是独立的。滑动的预期值isEm，pS=EmEpS=Em“TXt=1stαutCmt-utC#（7） 因为价格增量的平均值为零。请注意，我们表达了对市场容量的预期。滑移的方差为Varm，pS=Em，p“s- 嗯，pS#= 嗯，pS-嗯，pS=EmEpS-EmEpS- Em（EpS）+Em（EpS）=Emvarp（S）+varm（EpS）。（8） 第一项isEmvarp=EmEpT-1Xt=1ηt+1Ptτ=1mtV-Ptτ=1utC!=埃姆特-1Xt=1σt+1Ptτ=1mtV-Ptτ=1utC#（9） 这源于价格增长的独立性。第二项isvarm（EpS）=varmTXt=1stαutCmt-utC!. （10） 我们放弃第二项，只保留第一项，这样产生的优化问题是可处理的。我们通过假设（如[FW13]中所述）与第一项相比，第二项方差可以忽略不计来激励这一点。我们在§5中的实证研究证实了这一点。因此我们得到，pS+λvarm，p（S）\'TXt=1Em圣αutCmt-utC+ λσtPt-1τ=1mtV-Pt-1τ=1utC！.

（11） 我们注意到，目标函数在每个时间步的项和中分离，这是我们将用于应用§4.2.3约束中的动态规划优化技术的关键特征。我们考虑适用于优化问题的约束。优化变量为UTT=1，T我们要求执行的交易量总和为总订单量CTXt=1ut=C。（12）然后我们要求所有交易都有正号（买入）ut≥ 0，t=1，T.（13）（如果我们执行销售订单，C<0，我们将拥有所有ut≤ 这是大多数市场对机构经纪人的监管要求，本质上是为了防止市场操纵。这是有关VWAP执行的文献中的标准约束。2.4优化范例价格增量η和市场容量是随机的。选择体积作为优化问题的解。这个问题可以用几种不同的方式来解决。我们定义了当时可用的信息集≡ {（p，m，u），…，（pt）-1.mt-1，犹他州-1)}. （14） 在本文的其余部分，我们推导了多种方法来解决最小化目标（11）的优化问题。对于这些不同的求解方法，（10）的经验值在（9）的1%到5%之间，因此我们的近似值是有效的。结果详见§5.6。通过因果关系，我们知道当我们选择UT的值时，我们最多可以使用其中包含的信息。在§3中，我们阐述了优化问题，并为变量utin提供了一个最优解决方案。在这种情况下，我们在选择ut时不访问信息集中的任何内容。UTA仅使用交易开始前可用的信息进行选择。我们称之为静态解决方案（或控制语言中的开环）。

在§4中，我们开发了一个最优策略，它可以被视为一系列函数ψtof信息集，在tut=ψt（It）时可用。我们在动态规划的框架下开发它，我们称之为动态解决方案（或闭环）。3静态解决方案我们考虑一个程序来解决§2中描述的问题，而无需访问其中的信息集。我们称这种解决方案为静态的，因为它在交易期开始时是固定的。（仅使用交易开始前可用的信息计算。）这与[Kon02]的假设相同，与许多从业者使用的方法相对应。然而，我们的模型比[Kon02]更灵活，它结合了可变的买卖价差和经过验证的交易成本模型。不过，它有一个非常简单的数值解，利用凸优化[BV09]理论和软件。我们从目标函数（11）和两个约束（12）和（13）的优化问题开始，最小化em，pS+λvarm，p（S）S.t.PTt=1ut=Cut≥ 0，t=1，T.我们从目标中去掉一个常数项，并将问题写成等价形式MinimizeUptt=1st2C（αutκt- ut）+λσtPt-1τ=1utC- 2百万吨-1τ=1utCs、 t.PTt=1ut=Cut≥ 0，t=1，T（15），其中mt和κ皮重为constantsMt=Em“Pt-1τ=1mtV#，κt=Emmt对于t=1，T在这种形式下，这个问题是一个标准的二次规划[BV09]，可以由开源求解器（如ECOS[DCB13]）使用符号对流优化套件（如CVX[GB14]或CVXPY[DCB14]）有效地解决。3.1常数扩展我们考虑了常数扩展的特殊情况，s=·sT，这导致了解决方案的极大简化。凸问题（15）的形式为minimizeuptt=1st2C（αutκt）- ut）+λPTt=1σt（Ut- 2MUT/C）≡ φ（u）+λψ（u）s.t.u∈ cWut=Pt-1τ=1ut/C，每t=1，T，C是凸可行集。

考虑到目标的两个方面，我们将问题分为两个子问题。第一个是最小φ（u）s.t.u∈ Cwhich相当于（因为传播是恒定的且α>0）最小化EUPTT=1utκts.t.u∈ C最优解是（[BV09]，拉格朗日对偶）u？t=C1/κtPTt=11/κt，t=1，我们估计κT=Em[1/mt]\'1/Em[mt]和thusu？t\'CEm[mt]PTt=1Em[mt]\'C EmhmtVi，t=1，T.第二个问题是极小ψ（u）≡PTt=1σt（Ut- 2MtUt/C）u∈ Cwe选择Ut，使σt（Ut- Mt=0，因此t=1时，Ut=Mt，T我们的价值观，美国犹他州-因此，我们选择最终体积uT，使uT=C- 切满足目标函数的一阶条件，并且这些u，UTAREFEABLE（因为MTT和MT没有减少≤ 1). 这是一个最优解，它的值为u？t=C Em[mt/V]对于t=1，T现在考虑一下最初的问题。它的目标是上述两个凸问题的目标的凸组合（除了常数因子），并且所有三个都具有相同的约束集。由于这两个子问题共享一个最优解u？，那么你呢？也是组合问题的最优解。因此，在恒定排列isu的情况下，（15）的最优解是什么？t=C EmhmtVit=1，T.（16）这相当于[Kon02]中推导的溶液，是经纪行业的标准。在我们的模型中，这个解是作为恒定扩散的特殊情况出现的，通常我们可以得到更复杂的静态解。我们还注意到，我们引入了近似值κt=Em[1/mt]\'1/Em[mt]。（实际上，估计新兴市场[1/mt]需要比新兴市场[mt/V]更复杂的市场容量模型）。因此，我们希望能够在优化交易成本方面取得一些成效。