金融扩散模型中向量场的代数结构及其应用

因此，我们将向量场和流的解扩展到整个空间R。在临界点，例如（0，x）对于SABRmodel，向量场及其流不是平滑的，但我们对这些模型应用KLNV方法和EOREM 5，原因与上一条评论相同。3基向量场流的分解let A={w，w，…}={wi；我∈ N} ，可以是字母表、一组字母和*由A组成的一组单词，包括用1表示的空单词。因为。威克∈ A.*, ij=0，j=1，k、 k=1，我们定义kwk=i+i+。ik+]{j∈{1,2，…，k}；ij=0}和k1k=0。注意，R[λ]是λ的多项式环。设d:R[λ]→ Z=0be定义为p=Pnk=0akλkasd（p）=（min{k=0；ak6=0}，p6=0，∞, p=0。对于M>0，定义[λ]hAiM={Xw∈A.*pww；嗯∈ R[λ]，~d（pw）M=kwk，]{w∈ A.*; pw6=0}<∞}andR[λ]hhaim={Xw∈A.*pww；嗯∈ R[λ]，~d（pw）M=kwk}。因为对于任何w，v，d（pwpv）=d（pw）+d（pv）和kwvk=kwk+kvk∈ A.*, 很容易看出R[λ]Haimare环和R[λ]HHaimare环。备注8。M代表的是√t和W指数（我们认为指数为1）出现在通过KLNV方法获得的向量场中。例如，将Ninomiya Victoir方案或Ninom应用于SABR模型，我们有以下向量场tV=tcW+tcW+tcW，√电视=√tcW+√tcWand√电视=√具有随机系数的TCW，其中cijare常数。然后，从λcw+λcw+λcw，λcw+λcw和λcw开始取M=1∈ R[λ]haim，M=1。如果我们使用Ninomiya Victoir方案或Ninom来表示Heston模型，那么我们取M=3。引理9。对于任何你∈ R[λ]hAiM，exp（u）∈ R[λ]hhaim。证据

因为R[λ]海米斯是一个环∈ R[λ]haimf适用于任何u∈ R[λ]hAiMand n∈ 所以exp（u）=N！P∞n=0un∈ R[λ]hhaim。对于u=Pw∈A.*pww∈ R[λ]hhaim，定义（u）=min{d（pw）；w∈ A.*}.定义运算符jm:R[λ]→ R[λ]as)jm（nXk=0akλk）=m∧nXk=0akλk，jm:R[λ]hhaim→ R[λ]hAiMasjm（Xw）∈A.*pww）=Xw∈A.*~jm（pw）w=Xw∈A.*,kwk5M m~jm（pw）w。很明显，如果d（u）=m+1，那么jm（u）=0。而且，对于任何u，jm（exp（u））=jm（exp（jm（u）））∈ R[λ]哈伊姆。设Φ：R[λ]hAiM→ R[λ] DO（RN）是由Φ（1）=Id，Φ（wi…wik）=wi…给出的同态。Wik，k=1，ij=0，j=1，2，kwhere DO（RN）是RN上的光滑微分算子集。注意，对于任意n，m=0，我们假设[Wn，Wm]=αnmWn+mf。为了k∈ N、 设L（k）={P`i=kpiwi∈ R[λ]哈伊姆；圆周率∈ R[λ]，`=k}。对于n=1，定义（k）为L（k）的n阶齐次李多项式的线性空间。PreciselyL（k）n={Ln（u，u，…，un）∈ R[λ]哈伊姆；Ln是n阶的李多项式，ui∈ L（k），i=1，2，n} 。引理10。对于任何你∈ L（k）与n=2，存在v∈ L（nk+1）使得Φ（u）=Φ（v）。证据由于{Wi}的李代数结构，对于任意阶n的齐次李多项式L，L（Wi，Wi，…，Win）=cWi+i+···+inc∈ 如果i=i=·in，那么c=0。因此，如果j=1，2，…，的ij=k，n、 L（Wi，Wi，…，Win）=CWP，p=nk+1和c∈ R.引理11。对于任何你∈ 如果n=m+1，则L（k）n，jm（u）=0。证据因为kwik=1表示任何i∈ N、 如果u=P`i=kpiwi∈ L（k），然后d（pi）M=1，因此d（u）=1。因此，对于美国来说∈ L（k）n，d（u）=n.引理12。对于任何u=P`i=kpiwi∈ L（k），存在一个序列u，u。满意的英贵∈ L（k）i，i=2，3。使得jm（exp（u））=jm（exp（pkwk）exp（pk+1wk+1）。exp（p`w`）exp（u）exp（u）。exp（um））。证据请注意Zassenhaus公式（参见[8]中的定理2]）exp（t（X+X+····+XK））=exp（tX）exp（tX）exp（tX）·exp（tXK）exp（tC（X，X，…，XK））·exp（tnCn（X，X。

，XK））······。对于李代数中的任意元素（X，X，…，XK），其中Cn是n阶齐次李多项式。将此公式应用于我们的u=Pli=kpiwian，注意引理11，我们得到了所需的分解。引理13。对于任何你∈ L（k），存在N∈ N和序列q，q，qN∈ R[λ]和ij∈ {k，k+1，…，Mm}，j=1，2，N使得Φ（jm（exp（u））=Φ（jm（exp（qwi）exp（qwi）。exp（qNwiN）））。证据引理10和引理12，对于任何u=P`i=kpiwi∈ L（k），存在一个序列v，v。满意的vi∈ L（ki+1），i=2，3。使得Φ（jm（exp（u））=Φ（jm（exp（pkwk）exp（pk+1wk+1）。exp（p`w`）exp（v）exp（v）。exp（vm）））。然后，我们可以把这个事实应用到v，v，我重复了一遍。重复该程序六次后（最多（m- 1） 自jm（u）起的mm次=如果u∈ L（Mm+1）），我们得到了完全分解。引理14。对于任何p，p∈ R[λ]和k5l，存在N∈ N和a序列q，q，qN∈ R[λ]和ij∈ {k+1，k+2，…，Mm}，j=1，2，N使得Φ（jm（exp（pw`）exp（pwk））=Φ（jm（exp（pwk）exp（pw`）exp（qwi）exp（qwi）。exp（qNwiN）））。证据这又是萨森豪斯公式的简单推论。也就是说，我们有jm（exp（pwk+pw`）=jm（exp（pw`）exp（pwk）exp（v）exp（v）。exp（vm）和jm（exp（pwk+pw`）=jm（exp（pwk）exp（pw`）exp（z）exp（z）。exp（zm））对于某些vi，zi∈ L（k）i，i=2，3，m、 然后，我们有jm（exp（pw`）exp（pwk））=jm（exp（pwk）exp（pw`）exp（z）exp（z）。exp（zm））exp(-vm）exp(-虚拟机-1) . . . 经验(-v） ）。然后，应用引理13，我们完成了证明。定理15。对于任何序列u，u，联合国∈ 当L（0）和m=1时，存在一个序列p，p。pMm∈ R[λ]使得Φ（jm（exp（u）exp（u）。exp（un））=Φ（jm（MmYi=0exp（piwi）），其中qmmi=0exp（piwi）=exp（pw）exp（pw）。exp（pMmwMm）。证据对i=1，2，…，的每个exp（ui）应用引理13，n、 我们有一个分解，其中w的索引不是有序的。

然后，反复应用引理14，我们可以按照指数w的数字顺序排列组件。对于t=0，我们定义了一个算子Φt:R[λ]hAiM→ DO（RN）asΦt=ψto Φ.引理16。对任何人来说∈ N和u，u，联合国∈ L（0），|f（exp（exp（Φt（jmun））o ··· o exp（Φt（jmu））o Φt（jmu））（x）））-X05k+k+。。。kn5mk。kn！Φt（（jmu）k。（jmun）kn）f）（x）|Xk+k+。。。kn=m+1k。kn！kΦt（jmu）k。（jmun）kn）f）k∞,无论如何∈ （0，1）.证明.它很容易从[3]的引理11.定义17.对于m=1，t=0和序列ξ=（ξ，ξ，…，ξn）在L*, letQξ，mtf=E[f（exp（Φt（jmξn））o ··· o exp（Φt（jmξ））o exp（Φt（jmξ））（x））]。定义18。我们说序列ξ=（ξ，ξ，…，ξn）和ζ=（ζ，ζ，…，ζ`）在L中*如果Φ（jm（exp（ξ）exp（ξ）。exp（ξn））=Φ（jm（exp（ζ）exp（ζ）。exp（ζ`）a.s.定理19。对于L中的任意m=1和序列ξ=（ξ，ξ，…，ξn）*, 存在一个序列P，P，PMmin R[λ]*使得ξ和ζ=（Pw，Pw，…，PMmwMm）相似。证据首先，请注意，由于ξi∈ L*, 我们可以找到M>0，使得ξi∈ R[λ]海马。s、 对于任何i=1，2，n、 然后，我们可以应用定理15得到P，P，PMm。定理20。设ξ=（ξ，ξ，…ξn）和ζ=（ζ，ζ，…ζ`）是L中的序列*. 如果它们是m-相似的，那么有一个常数C>0，这样kqξ，mtf- Qζ，mtfk∞5 Ct（m+1）/2supk=0,1，。。。，m+1，α，。。。，αk∈{0,1，…，Mm}kWα。Wαkfk∞无论如何∈ （0,1]和任何f∈ C∞b（注册护士）。证据注意jm（exp（ξ）exp（ξ）。exp（ξn））=X05k+k+。。。kn5mk。kn！（jmξ）k。（jmξn）kn+rWhere=X05k+k+。。。kn5mk。kn！jm（（jmξ）k。（jmξn）kn- （jmξ）k。（jmξn）kn）。因此，通过引理16，我们得到了| E[Φt（jm（exp（ξ）exp（ξ）…exp（ξn））f（x）]- Qξ，mtf（x）|5E[Xk+k+…kn=m+1k！…kn！k（Φt（（jmξ）k…（jmξn）kn）f）k∞] + E[kΦt（R）fk∞].设jmξi=PMm`=0（Pmk=1Z（i）k，`λk）w`和随机变量Z（i）k`∈ L∞,-, k=1，m、 `=0，嗯，i=1，N

那么，如果k+k+···+kn=m+1，E[k（Φt（（jmξ）k…（jmξn）kn）f）k∞]= E[kMmX`=0（mXk=1Z（1）k，`tk/2）W`！k…MmX`=0（mXk=1Z（n）k，`tk/2）W`！kn）f）k∞]5 E[MmX`=0（mXk=1|Z（1）k，`tk/2）！k…MmX`=0（mXk=1|Z（n）k，`tk/2）！kn）]kfkW，m+1其中kfkW，m+1=supα，。。。，αm+1∈{0,1，…，Mm}kWα。Wαm+1fk∞.自Z（i）k以来`∈ L∞,-, 存在一个常数C>0，使得e[MmX`=0（mXk=1 | Z（1）k，`tk/2）！k…MmX`=0（mXk=1 | Z（n）k，`tk/2）！kn）]5ctm+1/2∈ （0，1）。由于jmR=0，具有类似的估计，存在一个常数C>0，例如[kΦt（R）fk]∞] 5立方厘米+1/2平方公里，≤mfor t∈ （0,1]其中kfkw，5m=supk=0,1，…，msupα，…，αk∈{0,1，…，Mm}kWα。Wαkfk∞.结合这些估计，我们得到一个常数C>0，满足|E[Φt（jm（exp（ξ）exp（ξ）…exp（ξn）））f（x）]- Qξ，mtf（x）| 5ct（m+1）/2（kfkW，m+1+kfkW，≤m） 。同样，存在一个常数C>0，使得|E[Φt（exp（ζ）exp（ζ）…jm（exp（ζn）））f（x）]- Qζ，mtf（x）|5Ct（m+1）/2（kfkW，m+1+kfkW，≤m） 。因为ξ和ζ是m-相似的，所以我们有这个断言。定理21。设ξ=（ξ，ξ，…ξn）是L中的序列*. 然后，对于任意m=1，存在一个序列P，P，PMmin R[λ]*这样kqξ，mtf- Qζ，mtfk∞5 Cf，m，Wt（m+1）/2适用于任何t∈ 其中ζ=（Pw，Pw，…，PMmwMm）。证据它直接遵循定理19和20。定理5是定理21.4分解算法的直接结果。在本节中，我们解释了获得基向量场{Wn}n分解的显式算法≥0.应用定理15，n=1和a，a，ak∈ R、 每个人≥ 1，我们可以找到Pi，m（λ，a）∈ R[λ]满足jmexp（λkXi=0aiWi）=∞Yi=0exp（Pi，m（λ，a）Wi）。此外，通过构造的方法，我们可以找到普适Pi（λ，a）∈ 对于任意m，满足jmPi（λ，a）=Pi，m（λ，a）的R[[λ]]≥ 1.这里，R[[λ]]是λ的形式序列集。我们计算Pi（λ，a），i=0。

，使得Pi（0，a）=0形式上满足exp（λkXi=0aiWi）=∞Yi=0exp（Pi（λ，a）Wi）=exp（P（λ，a）W）exp（P（λ，a）W）。这里的确切含义是我们在上一节中展示的。为此，我们遵循[2]中介绍的聪明方法，高效地计算Zassenhaus公式。LetRn（λ，a）=exp(-Pn（λ，a）Wn）exp(-Pn-1（λ，a）Wn-1） ··（6）···经验(-P（λ，a）W）exp（λkXi=0aiWi），应该等于∞Yi=n+1exp（Pi（λ，a）Wi）=exp（Pn+1（λ，a）Wn+1）exp（Pn+2（λ，a）Wn+2）···。LetFn（λ，a）=（ddλRn（λ，a））Rn（λ，a）-1.然后，通过（6）Fn（λ，a）=-ddλPn（λ，a）Wn+exp(-Pn（λ，a）Wn（ddλRn）-1（λ，a））Rn（λ，a）-1.自上一学期开始满足感xp(-Pn（λ，a）Wn（ddλRn）-1（λ，a））Rn（λ，a）-1=exp(-Pn（λ，a）Wn（ddλRn）-1（λ，a））（exp(-Pn（λ，a）Wn）Rn-1（λ，a））-1=exp(-Pn（λ，a）Wn（ddλRn）-1（λ，a））Rn-1（λ，a）-1（实验）(-Pn（λ，a）Wn）-1=exp(-Pn（λ，a）Wn）Fn-1（λ，a）（exp(-Pn（λ，a）Wn）-1，我们有fn（λ，a）=-ddλPn（λ，a）Wn+exp(-Pn（λ，a）Wn）Fn-1（λ，a）（exp(-Pn（λ，a）Wn）-1=exp(-Pn（λ，a）Wn（Fn）-1（λ，a）-ddλPn（λ，a）Wn）（exp（Pn（λ，a）Wn）。最后一个术语可以改写为EXP（ad）-Pn（λ，a）Wn（Fn）-1（λ，a）-ddλPn（λ，a）Wn），这是众所周知的公式-A=eadAB=Xn=0n！adnAB，其中adAB=[A，B]，adjAB=[A，adj]-另一方面，由于Rn（λ，a）=Q∞i=n+1exp（Pi（λ，a）Wi），Fn（λ，a）=ddλPn+1（λ，a）Wn+1（7）+exp（Pn+1（λ，a）Wn+1）ddλ∞Yi=n+2exp（π（λ，a）Wi）！Rn（λ，a）-1=ddλPn+1（λ，a）Wn+1+∞Xi=n+2exp（Pn+1（λ，a）Wn+1）·exp（Pi）-1（λ，a）Wi-1） （ddλPi（λ，a）Wi）exp(-圆周率-1（λ，a）Wi-1） ·经验(-Pn+1（λ，a）Wn+1）=ddλPn+1（λ，a）Wn+1+Gn（λ，a），其中Gn（λ，a）=∞Xi=n+2exp（AdPn+1（λ，a）Wn+1）·exp（AdPi）-1（λ，a）Wi-1） （ddλPi（λ，a）Wi）。那么我们有以下关系。Gn（λ，a）=Fn（λ，a）-ddλPn+1（λ，a）Wn+1，（8）Fn（λ，a）=exp（ad-Pn（λ，a）Wn）Gn-1（λ，a）。

（9） 利用（8）和（9），我们得到了一个获得Pn（λ，a）的算法。对于F=PjajWj，我们定义πWiF=ai。根据（7）和Witt条件，我们得到i的πWiFn（λ，a）=0≤ n和πWn+1Fn（λ，a）=ddλPn+1（λ，a）。因此，一旦Fn-给出了1（λ，a），我们可以用ddλPn（λ，a）=πWnFn计算Pn（λ，a）-1（λ，a）和Pn（0，a）=0。此外，从（8）中，我们可以计算Gn-1（λ，a），然后使用（9），我们可以计算Fn（λ，a）。所以，如果我们有F（λ，a），通过迭代这个算法，我们得到了所有n的Pn（λ，a）≥ 0:F（λ，a）→ P（λ，a）→ G（λ，a）→ F（λ，a）→ ··· → Pn（λ，a）。4.1首先计算F（λ，a），注意通过构造，P（λ，a）=λa。然后，R=exp(-λaW）exp（λPki=0aiWi）。因此，F（λ，a）=（ddλR（λ，a））R（λ，a）-1= -aW+exp(-λaW（kXi=0aiWi）exp（λaW）=-aW+exp(-λaW）aWexp（λaW）+exp(-λaW（kXi=1aiWi）exp（λaW）=kXi=1aiexp（Ad）-λaW）WiOn另一方面xp（Ad-λaW）Wi=Xn≥0n！Adn-λaWWi=Xn≥0(-λa）nn！[W，[··，[W，Wi]··]=Xn≥0(-λa）nn！α0inWi=exp(-α0iλa）Wi。所以我们有f（λ，a）=kXi=1aiexp(-α0iλa）Wi。然后我们开始迭代。特别地，我们有p（λ，a）=-aα0ia（exp(-α0iλa）- 1） .4.2对于SABR模型，我们给出了Pi（a）：=Pi（1，a），i=0,1,2,3,4的明确公式，其中k=∞ 正式地当我们应用Ninomia Victoir方案或Ninomia Ninomia方案时，我们只需要取k=2，或等价地取a=a=·0。而且，因为M=1，所以要得到M+1阶的近似值，我们只需要计算Pi（a），i=0，1，从定理21。此外，由于√对于Ninomia-Victoir方案或Ninomia-Ninomia方案，在R上没有不对称分布，为了获得m=5时m+1阶的近似值，我们只需要使用术语SPI（a），i=0，1。

4.P（a）=a，P（a）=aa（exp（a）- 1） ，P（a）=a2a（exp（2a）- 1） ，P（a）=exp（a）- 16a(-aa- 实验（a）aa+2实验（2a）aa+2aa+2实验（a）aa+2实验（2a）aa），P（a）=12a(-1+exp（a））（aa+exp（a）aa- 5个实验（2a）aa+3个实验（3a）aa- 2AA- 2经验（a）aaa- 2 exp（2a）aaa+6 exp（3a）aaa+3 exp（a）aa+3 exp（2a）aa+3 exp（3a）aa）。5数值结果在本节中，我们报告数值实验的结果。我们比较了以下五种方案。本文提出了带解析计算的解析Ninomia-Ninomia格式。本文提出了一种利用解析计算的NV解析Ninomiya-Victoir格式，以及利用Runge-Kutta方法的Rk Ninomiya-Ninomiya格式。使用龙格-库塔方法的NV Rk Ninomiya Victoir方案。EM Euler Maruyama计划5。1设置我们使用准蒙特卡罗方法，特别是Sobol序列进行积分，wetake M=10用于采样数。我们用（3）给出的SABR模型为实验提供了结果。对于本实验，参数选择为β=0.9，ν=1.0，ρ=-0.7，初始值x=（1.0,0.3）。我们选择到期日为T=1.0，履约价格为k=1.05的欧洲看涨期权。为了简单起见，我们假设利率为零。该设置与[1]中的实验4.1相同，0.09400046用于真实结果。

在当前的实验中，我们也使用这个值作为真值。我们解释了NV解析格式和NN解析格式的构造细节。5.2 NV分析模式定义矩阵A=（ai，j）i=0,1,2，j=0,1,2，B=（bi，j）i=0,1,2，j=0,1,2和C=（ci，j）i=0,1,2，j=0,1,2如下。A=BC，B=T00√tZ0√tZ,andC=ν(β - 1)νρβ(β - 1)-νρ 1 - β 0-νp1- ρ0 0, （10） 其中Zi，i=1，2是独立的N（0，1）个随机变量。然后，从等式（4）中，我们得到电视√tZV√tZV= A.万维网.在NV分析方案中，我们将方程（1）中的每个流量exp（biiVi）（x）分解如下。exp（biiVi）（x）=exp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）ooexp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）（x），其中Pi，i=0，3是第4.5.3节NN分析模式Y中定义的功能，YbeY=rtV+（rZ+√Z）√电视+（rZ）+√Z）√电视，Y=（1）- r） 电视+（（1）- r） Z-√Z）√电视+（（1）- r） Z-√Z）√tV，其中Zji，i，j=1，2是独立的N（0，1）个随机变量。应用NN方案（2）YY= A.万维网,其中矩阵A=（ai，j）i=0,1,2，j=0,1，B=（bi，j）i=0,1，j=0,1,2和C=（ci，j）i=0,1,2，j=0,1,2rea=BC，B=rt（rZ+√Z）√t（rZ）+√Z）√t（1）- r） t（（1）- r） Z-√Z）√t（（1）- r） Z-√Z）√TC由式（10）确定。在NV分析方案中，我们将方程式（2）中的每个流量exp（Yi）（x）分解如下。exp（Yi）（x）=exp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）o exp（P（ai0，ai1，ai2）W）（x）。式中，Pi，i=0，4是第4.5.4节中定义的多项式。实验结果图1显示了五种方案的收敛速度。我们看到NN格式和NV格式实际上都是二阶收敛，Euler格式是一阶收敛。图2显示了五种方案的计算时间。本实验中使用的CPU是英特尔（R）核心（TM）i7-46000 CPU@2.10GHz 2.7GH。我们可以看到分析方案将计算时间缩短了约1/100。

NN解析格式和NV解析格式的计算时间大致相似。1.E$06\'1。E$05\'1。E$04\'1。E$03\'1。E$02\'1\'2\'4\'8\'绝对误差标准杆数；；onsNN$Anali；c\'EM\'NV$Anali；图1:SABR模型1的收敛顺序。E+00和1。E+01和1。E+02和1。E+03和1。E+04和1。E+05&1&2&4&8&Time&of&Computa7on77欧元的数量和价格NN>Analyze7C&EM&NV>Analyze7C&NV>Rk&NN>Rk&Figure 2:SABR模型的计算时间参考[1]拜耳，C.，弗里兹，P.，洛芬，R.半封闭式容积和金融扩散模型的应用定量金融第13卷，第5期（2013）[2]案例，F.，穆鲁阿，纳迪尼奇，M.扎森豪斯公式的高效计算计算机物理通信183，2386-2391（2012）[3]库斯卡，S.基于李代数和malliavin演算的扩散过程期望的逼近。高级数学。经济部。5,69-83（2004）[4]Kusuoka，S.Gaussian K方案：KLNV方法的调整。高级数学。经济部。17,71-120（2013）[5]莱昂斯，T.，北卡罗来纳州维克托，维纳空间上的容积。过程。R.Soc。隆德。爵士。数学。菲斯。Sci。460169-198（2004）[6]Ninomiya，M.，Ninomiya，S.，随机微分方程的一种新的高阶弱近似格式和Runge-Kutta方法。金融和随机性。13415-443（2009）[7]Ninomiya，S.，Victoir，N.，随机微分方程的弱近似，以及在衍生品定价中的应用。阿普尔。数学金融15，107-121（2008）[8]铃木，M.，关于指数算子的收敛性？Zassenhaus公式、BCH公式和系统逼近。数学物理。，157，第3193-200期（1977年）