金融扩散模型中向量场的代数结构及其应用

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英文标题：
《Algebraic Structure of Vector Fields in Financial Diffusion Models and
  its Applications》
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作者：
Yusuke Morimoto and Makiko Sasada
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  High order discretization schemes of SDEs by using free Lie algebra valued random variables are introduced by Kusuoka, Lyons-Victoir, Ninomiya-Victoir and Ninomiya-Ninomiya. These schemes are called KLNV methods. They involve solving the flows of vector fields associated with SDEs and it is usually done by numerical methods. The authors found a special Lie algebraic structure on the vector fields in the major financial diffusion models. Using this structure, we can solve the flows associated with vector fields analytically and efficiently. Numerical examples show that our method saves the computation time drastically.
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中文摘要：
Kusuoka、Lyons Victoir、Ninomia Victoir和Ninomia Ninomia介绍了使用自由李代数值随机变量的SDE高阶离散格式。这些方案称为KLNV方法。它们涉及求解与SDE相关的向量场流，通常通过数值方法完成。作者在主要金融扩散模型的向量场上发现了一种特殊的李代数结构。利用这种结构，我们可以解析且高效地求解与向量场相关的流。数值算例表明，该方法大大节省了计算时间。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：扩散模型 Applications Mathematical Quantitative Differential

金融扩散模型中向量场的代数结构及其应用*Kusuoka（[3]，[4]）、Lyons Victoir（[5]）、Ninomiya Victoir（[7]）和Ninomiya Ninomiya（[6]）介绍了使用自由李代数值随机变量的SDE高阶离散化方案。这些方案称为KLNV方法。它们涉及解决与SDE相关的向量场的流动，通常通过数值方法来解决。作者在主要金融扩散模型的向量场上发现了一种特殊的李代数结构。我们可以有效地解决与向量相关的问题。数值算例表明，该方法大大节省了计算时间。JEL分类：C63，G12数学学科分类（2010）：65C05，60G40关键词：计算金融，期权定价，李代数，SABR模型，Hestonl模型简介我们考虑N维Stratonovich随机微分方程x（t，x）=x+dXi=0ZtVi（x（s，x））o 其中N，d=1，W={W∈ C（[0，∞); Rd）；w（0）=0}，F是Borel代数，u是（w，F）上的维纳测度。让Bi:[0，∞) ×W→ R、 i=1，d、 由Bi（t，w）=wi（t），（t，w）给出∈ [0, ∞) 那么{（B（t），…，Bd（t）；t∈ [0, ∞)}是一个d维布朗运动。设B（t）=t，t∈ [0, ∞). 让V，V，性病∈C∞b（RN；RN）。

这里是C∞b（RN；RN）表示任意阶导数有界的RN值光滑函数的空间。*东京三菱UFJ银行，地址：日本东京千代田区丸内2-7-1号，邮编：100-8388，电子邮件：yuusuke。morimoto@gmail.com+东京大学数学科学研究生院，地址：3-8-1，日本东京美谷，邮编：153-8914，电子邮件：sasada@ms.u-东京。ac.J让我们定义一个线性算子{Pt}t的半群∈[0,∞)由（Ptf）（x）=E[f（x（t，x））]，t∈ [0, ∞), F∈ C∞b（注册护士）。在应用科学的各个领域，尽可能快速准确地逼近给定时间T和函数f的期望值（PTf）（x）是一个关键问题。本文的目的是给出一种快速准确逼近（PTf）（x）的新方法。解决这个问题有两种方法，基于偏微分方程（PDE）的方法和基于模拟的方法。请注意，u（t，x）=（Ptf）（x）满足以下等式tu（t，x）=Lu（t，x），u（0，x）=f（x），其中二阶微分算子L由L=V+Pdi=1Vi给出。这里是C中的weregard元素∞b（RN；RN）作为RNvia（Vif）（x）上的向量场=NXj=1Vji（x）Fxj（x），f∈ C∞b（注册护士）。在基于偏微分方程的方法中，我们数值求解这个方程。当N维相对较小时，它工作得很好，但在高维时，它的速度非常慢。在这种情况下，基于仿真的方法是唯一实用的方法。基于仿真的方法通常包括两个步骤。第一步是使用一组随机变量Xn（T，x）对随机微分方程进行时间离散化，在某种意义上，这些变量将x（T，x）近似为n→ ∞, 其样本可以通过分析或数值方法获得。如果对随机微分方程进行了解析求解，则可以跳过这一步。

否则，我们应用一个离散化方案，比如我们将在下面解释的Euler-Maruyama方案，以得到一个随机变量X（t，X），在一定意义上，对于小t>0，它接近于X（t，X）。然后，我们通过n次重复这个近似过程来构造一组随机变量{Xn（tk，x）}nk=0，（0=t<t<·t<·tn=t）。第二步是通过蒙特卡罗方法（MC）或准蒙特卡罗方法（QMC）对E[f（`Xn（T，x））]进行近似。这两种方法基本上都是通过对由{f（\'Xnm（T，x））}Mm=1表示的f（\'Xn（T，x））的M个样本进行平均来获得的。MC方法随机创建样本，QMC方法以确定性方式创建样本。误差粗略估计为O（M-1/2）对于MC方法andO（M-1） 对于QMC方法。在定量金融中，X（t，X）代表基础资产的价格，E[f（X（t，X））]代表支付函数为f的衍生产品的价格。对于金融模型，由于资产的维数N通常很大，因此找到基于模拟的方法的快速准确方法非常重要。在本文中，我们考虑第一步（离散化）的有效方案。对于离散化方案\'X（t，X），线性算子qt由（Qtf）（X）=E[f（\'X（t，X））]定义。然后，用近似路径{Xn（tk，x）}nk=0（0=t<t<···<tn=t）对（PTf）（x）进行的近似被描述为（Qtn）-tn-1··Qt-tQtf（x）。如果存在常数C>0，使得|（PTf）（x），我们说离散格式是r阶的弱近似- （（QT/n）nf）（x）| 5 Cn-所有x∈ RNand f∈ C∞b（注册护士）。最常用的离散格式是Euler-Maruyama格式Euler-Maruyama方案XEM（t，x）=x+~V（x）t+dXi=1Vi（x）√tZi，式中Vk=Vk+Pdi=1PNj=1Vji对于k=1，2。

，N和{Zi}i=1，。。。，N（0，1）个独立随机变量的分布。已知该方案的阶数为1。Kusuoka、Lyons、Ninomiya和Victoir研究了几个高阶格式，其中自由李代数起着至关重要的作用。请注意，elements公司∞b（RN；RN）被视为RN上的向量场。然后我们可以定义Lie括号[Vα，Vβ]=VαVβ- VβVα，0 5α5β5 d这里[Vα，Vβ]又是RN上的向量场。设L表示由（{V，V，…，Vd}，[·，·]）生成的李代数。Kusuoka（[3]、[4]）和Lyons Victoir（[5]）利用L值随机变量的流动引入了高阶离散化方案。对于任何向量场V∈ C∞b（RN；RN），V的流动是一个异态性exp（V）：RN→ 给定byexp（V）=u（1，x），其中u（t，x），t=0是下列常微分方程的解（du（t，x）dt=V（u（t，x）），t>0，u（0，x）=x。Kusuoka在[3，4]中表明，如果有一个由一个参数族的左值随机变量组成的序列（ξ（t），ξ`（t））t=0满足关于m=1的一些好条件，用相应的随机流exp（ξ（t）），…，构造了一个弱近似算子Q（K），exp（ξ`（t））as（Q（K）tf（x）=E[f（exp（ξ`（t））o ··· o exp（ξ（t））（x））]。更一般地说，如果有一组单参数L值随机变量族序列（ξi（t），ξi`i（t））i=1，。。。，K满足关于m=1的一些好条件，用相应的随机流构造一个近似算子Q（K），如（Q（K）tf）（x）=kXi=1ciE[f（exp（ξi`i（t））o ··· o exp（ξi（t））（x））]式中，c为适当常数。

在这种假设下，一步近似产生的误差由|（Ptf）（x）估计- （Q（K）tf（x）| 5 Cf，Vtm+1用于t∈ （0,1]，n步近似的总误差由|（PTf）（x）估计- （（Q（K）T/n）nf）（x）| 5cf，Vn-M-1.也就是说，这是orderm的弱近似-1.Ninomiya和Victoir在[7]中找到了m=5的实际例子Ninomiya Victoir方案X（内华达州）（t，X）（1）=特长（电视）o 经验(√（tZV）o . . .··· o 经验(√tZdVd）o exp（tV）（x），如果N=1，exp（tV）o 经验(√tZdVd）o . . .··· o 经验(√（tZV）o exp（tV）（x），如果N=-其中N是分布为P（N=1）=P（N）的伯努利随机变量=-1） =和{Zi}i=1，。。。，dis是一个独立的N（0，1）随机变量族，其中N和{Zi}i=1，。。。，也要敢于独立。弱近似算子Q（NV）表示为（Q（NV）tf）（x）=E[f（exp（tV）o 经验(√（tZV）o ··· o 经验(√tZdVd）o 实验（电视）（x））]+E[f（实验（电视）o 经验(√tZdVd）o ··· o 经验(√（tZV）o 特急（电视）（x））]。Ninomiya和Ninomiya在[6]定理1.6中发现了另一个单参数的实用例子族，即m=5Ninomiya Ninomiya方案X（NN）（t，X）（2）=exprtV+dXi=1Si√tVi！o 实验（1）- r） tV+dXi=1Si√tVi！（x） 其中Si=rZi+√Zi，Si=（1）- r） 子-√Ziand（Zji）j=1,2，i=1，。。。，dis是一个独立的N（0，1）随机变量族。R∈ R是一个任意选择的固定参数。弱近似算子Q（NN）表示为（Q（NN）tf）（x）=E[f（exprV+dXi=1Si√tVi！o 实验（1）- r） tV+dXi=1Si√tVi！（x） [注释1。在[6]中，一系列高斯随机变量的特征是参数u=r=√2（2u-1） 式中E[SijSij]=Rjjδiir=u，R=-Up2（2u- 1） R=1+u±p2（2u- 1).我们发现，这种高斯随机变量族是由Si=rZi构成的+√Zi和Si=（1）-r） 子-√其中（Zji）j=1,2，i=1，。。。，dis是一组独立的N（0，1）随机变量。Lyons和Victoir还通过在Wiener空间（[5]）上使用一个称为Tubaure的自由李代数引入了高阶格式。

这些方法被称为KLNV方法（Kusuoka、Lyons、Ninomiya和Victoir）。为了计算近似值（Q（K）tf）（x），例如（Q（NV）tf）（x）和（Q（NN）tf）（x），我们需要合成随机向量场的解流。合成通常依赖于数值常微分方程求解器，如高阶龙格-库塔法。对于一些幸运的向量场对和一个方案，常微分方程可以解析求解。在这种情况下，近似值的计算速度大大提高。本文证明了如果L有一个特殊的李代数结构（我们称之为Witt条件），那么对于L-值随机变量（ξ（t）的单参数族的任意序列，ξ`（t））t=0出现在KLNV方法和任意阶m中，存在一个单参数随机变量族序列（p（t），p（t），pk（t））t=0使得| E[f（exp（ξ`（t））o ··· o exp（ξ（t））（x））]- E[f（经验（峰值（t）周）o ··· o 经验（p（t）W）o exp（p（t）W（x））| 5 Cf，m，Wtm+1，其中集合{Wn，n=0}是L的一个特殊基。因此，如果有向量场Wn，n=0的流动的解析解，我们可以计算近似值（（Q（K）t/n）nf）（x），而不使用ODE解算器，因此有一个更快的近似方法。我们强调，我们的结果使我们能够对任意阶KLNV方法的任何方案，包括Ninomiya Victoir方案和Ninomiya Ninomiya方案进行更高速度的模拟。作为结果的一个有价值的应用，我们证明了我们关于李代数结构的条件以及向量场Wn的解析解的存在性对于SABR模型和Heston模型都是满足的，这两个模型都是最重要的财务模型。众所周知，如果我们将Ninomiya-Victoir方案应用于Heston模型，则Q（NV）皮重中的向量场搜索可解析求解（[7]）。拜耳等人。

[1] 建议，对于SABRmodel，如果我们使用漂移布朗运动重写SDE，然后应用NinomiyaVictoir格式，则出现在Q（NV）皮重中的向量场也可以解析求解。另一方面，对于这两种模型，要在不使用新方法的情况下应用Ninomiya-Ninomiya格式，我们需要使用数值ODE解算器，这会增加计算时间。我们将所得结果应用于SABR模型中的Ninomiya-Ninomiya格式，并进行了数值实验。结果表明，该方法具有足够的精度，大大节省了计算时间。2符号和主要结果现在，我们介绍向量场{V，V，…，Vd}族所需的精确条件。定义2。（Witt条件）如果存在一组向量场{Wn；n=0}满足，我们说向量场{V，V，…，Vd}族满足Witt条件∈ span{Wn，n=0}对于i=0，1，do对于任意n，m=0，[Wn，Wm]=αnmWn+mw，αnm∈ R.评论3。如果{V，V，…，Vd}满足Witt条件，那么很明显span{Wn，n=0}。备注4。Witt代数是著名的李代数，其基为{Un；n∈ Z} 令人满意的，令人满意的- m） Un+m，因此我们将上述条件命名为Witt条件。从现在开始，我们假设{V，V，…，Vd}满足Witt条件，所以span{Wn，n=0}。为了说明我们的主要定理，我们引入了一些符号。设R[λ]={Pnk=0akλk；n∈ N、 ak∈ R} 是λ的多项式环，其中N={0，1，2，…}。定义空间R[λ]*作为一组特殊的R[λ]值随机变量R[λ]*={Pnk=1Zkλk；n∈ N、 Zk∈ L∞,-}. 给我∞,-表示具有所有阶数的有限矩的随机变量集。注意，k的和取1。定义*作为一组特殊的R[λ] L值随机变量*= {Pnk=0QkWk；n∈ N、 Qk∈ R[λ]*}. Fort=0，定义一个算子ψt:R[λ]→ R为ψt（Pnk=0akλk）=Pnk=0ak(√t） k。

然后算符ψ自然扩展到R[λ]*和R[λ] L.下一个定理是本文的主要结果。定理5。对于任意m=1和L中的任意序列（ξ，ξ，…，ξ`）*, 存在一个数字k∈ N和R[λ]中的一个序列（P，P，…，Pk）*使得| E[f（exp（ψt（ξ`））o exp（ψt（ξ）））o ··· o exp（ψt（ξ））（x））]-E[f（exp（ψt（PkWk））o ··· o exp（ψt（PW））o exp（ψt（PW））（x））| 5 Cf，m，Wtm+1对于任何f∈ C∞b（RN）和t∈ （0，1]其中Cf，m，Wis是一个常数，仅依赖于f，m和w。我们在第3节给出了一个证明。系数P，P，…可以通过第4节给出的递归算法从（ξ，ξ，…，ξ`）显式计算出来。在第5节中，我们使用Ninomiya-Victoir方案和Ninomiya-Ninomiya方案，将你的主要结果应用于SABR模型的欧式期权价格的近似。仿真结果表明，与现有方法相比，SOUR方法具有较高的精度，大大减少了计算时间。2.1在金融模型中的应用我们证明了SABR模型和Heston模型满足Witt条件，并且它们的向量场的基础是解析可解的。因此，我们对这些模型提出了一种新的近似方法。2.1.1 SABR模型SABR模型由dX（t，x）=x（t，x）x（t，x）β+dB（t），（3）dX（t，x）=νx（t，x）（ρdB（t）+p1给出- ρdB（t）），其中x+=x∨ 0.设{WSn，n=0}为Rde上定义为WSn=1的向量场集- βx1-n（1）-β） +xnx、 n=1，WS=-十、X固定<β<1。很容易看出它们满足[WSn，WSm]=（n- m） WSn+m。SABR模型中的向量场由v=νWS+（β）给出- 1） νρWS+β（β- 1） WSV=-νρWS+（1）- β） WS（4）V=-νp1- ρWs，其中ν、β和ρ是模型参数（参见[1]）。因此，我们可以将定理5应用于该模型。

此外，我们有WSnasexp（tWSn）（x）流量的显式表达式=nxnt+xn（1-β)+n（1）-β） +，x对于n=1和exp（tWS）（x）=（x，xexp(-t） Heston模型Heston模型由dX（t，x）=ux（t，x）dt+pX（t，x）+x（t，x）dB（t），dX（t，x）=κ（θ）给出- X（t，X）+dt+ξpX（t，X）+（ρdB（t）+p1- ρdB（t））。设{Mn，n=0}和{Ln，n=0}为Rde定义的asMn=2xx上的向量场集-n+1+x、 Ln=2x-n+1+x、 很容易看出，它们满足关系[Mn，Mm]=0[Mn，Lm]=（n- 2） Mn+m（5）[Ln，Lm]=（n- m） Ln+m.现在，让WH2n=Ln和WH2n+1=mn表示n=0。然后，从（5）中，我们有[WHn，WHm]=cnmWHn+mwherecnm=0 n，m oddn-5n个奇数，m个偶数-嗯，嗯。Heston模型中的向量场由v=（u）给出-ξρ）WH-WH+（κθ）-ξ） 嗯-κWHV=WH+ξρWHV=ξp1- ρwh，其中u、ξ、ρ、κ和θ是模型参数（参见[1]）。因此，我们可以将定理5应用于该模型。此外，我们有MNX和Lnasexp（tMn）（x）流量的明确表达=xexp（2x-n+t），x,特警（tLn）（x）=十、nt+xn+n+.备注6。虽然我们假设所有向量场都是V，在高阶弱近似方法的分析中，金融模型中的向量场不是C∞b（R；R），另一方面，在实践中，我们将YKLNV方法或定理5应用于它们，数值实验效果良好。虽然我们在数学中严格证明近似方法的条件是非常严格的，但我们猜想这些方法在实际中工作良好的范围要大一些。备注7。如果初始状态为X（0，X）≡ （x，x）在SABR模型或Heston模型中满足x>0，x>0，然后满足x（t，x）∈ R+a.s.所以我们不需要将向量场扩展到非负区域来考虑SDE的解。然而，当我们应用KLNV方法时，由于我们考虑了随机向量场，我们有时需要考虑负时间流的解。