随机投资组合理论中的泛投资组合

市场权重的向量u（t）取开放单位单纯形中的值尼恩。补充股票i在t时的市值为Xi（t），其在时间间隔[t，t+1]内的简单回报率为Ri（t）。然后，t+1时的市场权重由ui（t+1）=Xi（t）（1+Ri（t））X（t）（1+R（t））+··+Xn（t）（1+Rn（t））给出。我们将市场视为一条离散的路径n、 这仅包括因重组而产生的资本化变化，并隐含排除了因公共服务等公司行为而产生的所有变化。我们假设{u（t）}∞t=0是中的任意序列N特别是，不涉及地下概率空间。假设状态是序列e{u（t）}的路径属性∞t=0。像sumption这样的例子如下。随机投资组合理论中的通用投资组合7假设2.1。存在一个常数M>0，使得市场权重序列{u（t）}∞t=0满意度（2.1）M≤ui（t+1）ui（t）≤ M全部1≤ 我≤ n和t≥ 0.让（2.2）S=（p，q）∈ n×男：男≤七皮≤ 我代表1≤ 我≤ N.然后（2.1）说明t（u（t），u（t+1））∈ It’这是一个很好的例子≥ 0.假设2.1说明股票的相对收益是有界的；这完全是出于技术原因，可以在以前的工作中找到，比如[8,19,9,18]。请注意，投资者不知道M的价值。而假设stock不会消亡（自u（t）∈ 尽管如此，不支付股息是不现实的，它们被用来减少技术细节，以便我们能够集中精力研究与投资组合长期属性有关的关键思想。使用更一般的模型，可以对股息进行再投资，并考虑不同数量的股票，但这会使分析复杂化。类似的假设在随机组合理论中很常见（见[13，C章1]和[14，第1章]）2.2。Portfol io和相对值。投资组合是一个元素的向量n、 封闭单元。

所有被考虑的投资组合都完全投资于股市，禁止卖空。每次t时，投资者选择一个投资组合向量π（t），由此产生的自我融资投资组合的绩效将与市场投资组合相关。正式地说，我们定义了π（t）=1美元的投资组合增长π1美元的市场投资组合增长u。定义2.2（相对值）。设{π（t）}∞t=0be组合向量序列。给定市场权重序列{u（t）}∞t=0，π的相对值（相对于市场投资组合）是序列{Vπ（t）}∞由Vπ（0）=1和（2.3）Vπ（t+1）Vπ（t）=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）=：π（t）·u（t+1）u（t），t≥ 0.这里a·b是欧几里得内积，a/b是成分比率的向量，只要它们定义得很好。关于（2.3）的推导，请参见[26]。在（2.3）中，隐含地假设投资者是价格接受者，交易不会影响价格。我们将限制拓扑组合策略是当前市场权重的确定函数，即π（t）=π（u（t））。在这种情况下，投资组合策略完全由映射π指定：N→n、 定义2.3（投资组合图）。投资组合图是一个映射π：N→n、 市场组合是身份图π（p）=p，用u表示。如果π是恒等的，则称之为常数加权的portfoliois。8丁甘·伦纳德·王2。3.Cover的投资组合是一个投资组合市场。设Θ为一个索引集，并支持每个θ∈ Θ与组合图πθ相关联：N→n、 πθ的各个分量将用（πθ，1，…，πθ，n）表示。（有时我们会使用π，…，πkT来指代一系列投资组合，其含义应从上下文中明确。）我们对Vθ（t）的性质感兴趣：=Vπθ（t）作为t和θ的函数。

为此，我们将考虑一个假想市场，其基本资产是投资组合πθ。我们假设Θ是一个拓扑空间，并给出了Θ上的Borel概率测度。测量值ν将被称为初始分布。ν的supportsupp（ν）是Θ满足ν（F）=1的最小闭子集F。我们说如果supp（ν）=Θ，则ν将得到完全支持。直观地说，虚拟市场是通过在时间0将单位财富分布在投资组合{πθ}θ上而定义的∈Θ根据初始分布ν，让投资组合进化。在时间0时，投资组合πθ接收财富ν（dθ），财富在时间t时增长到Vθ（t）ν（dθ）。因此（2.4）bV（t）：=ZΘVθ（t）dν（θ）是时间t时假想市场的总相对值。为了很好地定义（2.4）和相关量（如（2.5）），我们假设映射（p，θ）7→ πθ（p）onn×Θ在（p，θ）中可联合测量。可测量性通常直接来源于所考虑的族的定义。根据推测2。1和（2.3）我们有Vπ（t+1）/Vπ（t）≤ M代表任何投资组合，所以V*（t） <∞ （2.4）中的积分是有限的。定义2.4（财富分配）。给定一个组合族{πθ}θ∈Θ和初始分布ν，财富分布是Borel概率测度{νt}的序列∞t=0onΘ由（2.5）νt（B）=bV（t）ZBVθ（t）dν（θ）定义，其中B在Θ的可测量子集范围内。注意，dνtdν（θ）=bV（t）Vθ（t）。对数量bv（t）的主要兴趣在于[8]中的覆盖首次利用了以下事实（其中{πθ}θ）∈Θ是ConstantWeight投资组合家族）。一个证明可以在[9，引理3.1]中找到。Lemma 2.5（封面组合）。对于每个t，定义投资组合权重向量（2.6）bπ（t）：=ZΘπθ（u（t））dνt（θ）。那么Vbπ（t）≡bV（t）代表所有t。

我们称之为bπCover的投资组合。对于每个时间t，让（2.7）V*（t） =supθ∈ΘVθ（t）是在时间间隔[0，t]内家族中最佳投资组合的表现。Cover投资组合（2.6）的最初目标是跟踪V*（t） 在这个意义上，（2.8）tlogbV（t）V*（t）→ 随机投资组合理论中的普遍投资组合→ ∞. 如果（2.8）成立，投资组合bπ的渐近性能与家族中最好的投资组合一样好。在第3.3节中，我们给出了一个简单的例子来说明（2.8）并不总是成立的。（2.8）的渐近行为自然与财富分布的集中度有关，并激发了我们的研究。备注2.6。正如几位作者所指出的（参见示例[9]），将Cover的投资组合（2.6）构建为财富加权平均值具有很强的贝叶斯效应。想象一下在{πθ}θ族中找到最佳投资组合的问题∈Θ.在时间0时知之甚少，但从历史数据、经验和内幕知识来看，可以形成一个先验分布，描述投资者的信念。在时间t，在观察到截至时间t的投资组合s的回报后，投资者用满足的后验分布νtν（θ）更新信念∝Vθ（t）Vθ（0）=Vθ（t）。这符合Bayes法则，在Bayes法则中，相对收益起着相似性的作用。请注意，此过程与时间一致。也就是说，对于t>s，我们有νtdνs（θ）∝Vθ（t）Vθ（s）。Cover的投资组合（2.6）是πθ（u（t））的后验平均值。LDP for All bounded Families获得关于一般（可能是非参数）家庭的保险单和财富分配行为的直觉，并准备在第4节中对功能性一般投资组合进行更技术性的处理，在这一节中，我们研究了财富分布的大偏差性质，其中，投资组合族相对于一致度量是有界的。

我们将使用以下投资组合价值表示法，这是定义2.2的直接结果。引理3.1。设π：N→nbe有一张投资组合图。然后（3.1）tlog Vπ（t）=Zn×Nlπ（p，q）dPt（p，q）对所有t≥ 1，其中（3.2）lπ（p，q）：=logπ（p）·qp,由（1.10）定义的Pt是对（u（s），u（s+1））u pto时间t.3.1的经验测量。有限状态。为了更好地表达想法，我们需要一个更简单的情况，即序列{u（t）}∞t=0在一个有限的集合E中取值 n、 有限集E可以通过有限网格近似单纯形来获得。让我来=π：E→N=NEbe是E上所有投资组合映射的集合（注意，该系列由符号π本身索引）我们为Θ配备了一致收敛的拓扑。自Eis定义以来，这与逐点收敛的拓扑结构相同。注意，Θ是紧的和凸的。10丁甘·伦纳德·旺格勒玛3.2。假设ptp弱收敛于E×E上的概率测度P，那么对于每个π∈ Θ，渐近增长率存在s，我们有w（π）=limt→∞tlog Vπ（t）=ZE×ElπdP，在哪里lπ由（3.2）给出。此外，还有一个投资组合π*∈ Θ（3.3）W（π）*) = W*:= 最大π∈ΘW（π）。如果我们写P（P，q）=P（P）P（q | P），其中Pis是第一个边际分布，Pis是条件分布，然后是（3.4）π*（p） =arg maxx∈恩泽洛格x·qpP（dq | P）表示所有P，其中P（P）>0。满足（3.3）的投资组合可以称为对数最优投资组合图。证据由于E×E是一个有限集，通过弱收敛，我们得到了w（π）=limt→∞ZE×ElπdPt=ZE×ElπdP。因此，所有π的渐近增长率都存在∈ Θ. 清晰W（·）是Θ上的连续函数。因为Θ是紧的，所以它有一个最大值π*. 最后一个状态来自于表示w（π）=ZE泽lπ（p，q）p（dq | p）P（dp）。下面的LDP是定理1.2的特例，将在下一小节中证明。定理3.3（有限状态LDP）。假设{u（t）}∞t=0在一个特定的集合中生成值 N

让我来=N假设初始分布v有充分的支持。（i） Cover的投资组合bπ由（2.6）定义，满足普遍性属性（3.5）：（3.5）限制→∞tlogbV（t）V*（t） =0。（ii）如果ptp弱收敛于E×E上的概率测度P，则族{νt}∞t=0用凸速率函数i（π）=W满足Θ上的大偏差原理*- W（π）。备注3.4。在定理3.3（i）中，不难证明（见[9，定理3.1]）V*（t） /bV（t）以td的常数倍数为界，其中d=|E |（n- 1） 是Θ的“维度”，而| E |是随机投资组合理论113.2中E.通用投资组合的基数。自民党支持完全封闭的家庭。在这一小节中，我们证明了orem1。2.现在{u（t）}∞t=0是序列中的任意序列不满意的假设2.1。设Θ是L的子集∞NN, 来自nto具有上确界度量k·k的nequipp-Ed∞（根据欧几里得nor m |·| on定义）n） 。我们赋予Θ诱导拓扑，即一致共收敛的to拓扑。假设2.1的结论是l对于任何π，由（3.2）定义的π（·，·）在对数和对数M之间的S上有界∈ Θ.如果对于任何一个>0，存在π，…，我们说Θ是完全有界的，πN∈ Θ具有以下性质：对于任何π∈ Θ，存在1个≤ J≤ N这样的kπ- πjk∞< ε. 最小的N称为覆盖数。因此，当且仅当覆盖数对于所有>0是有限的时，Θ是完全有界的。例如，如果Θ={π（·）≡ π : π ∈n} 是常数加权的po-rtfolios族，那么Θ~=nis c紧，因此是完全有界的。[10]中使用了类似的思想，其中研究了Lipschitz投资组合图的某些空间。首先，我们证明了一个引理，它将[9，定理3.1]推广到非参数族。在这种普遍性中，像（1.3）这样的定量界是不存在的。引理3.5。

假设市场满足假设2.1。设Θ是L的全边界子集∞(Nn） 设ν为Θ上的任何初始分布。然后Cover的投资组合bπ满足普适性（3.5）。证据自bv（t）≤ 五、*（t） 尽管如此，这需要知道lim是如何影响的→∞tlogbV（t）V*（t）≥0.Le t>0。然后存在′>0和π。πN∈ Θ因此集合{πj}1≤J≤Nare′-在Θ中稠密，当kπ- πjk∞< \'我们有|lπ- lπj |<在（2.2）定义的集合上。每t>0，就存在一个投资组合π[t]∈ Θ使得tlog Vπ[t]（t）>tlog V*（t）- ，根据上述结构，存在1个≤ j[t]≤ N使得π[t]∈ Bj[t]：=B（πj[t]，′），半径′以πj[t]为中心的开放球。因此（3.6）tlog Vπj[t]（t）-tlog V*（t）< 2.此外，对于所有π∈ 我们有tlog Vπ（t）-tlog Vπj[t]（t）< 12 TING-KAM LEONARD WongforAll t.将这些不等式求幂并结合，使用三角形线，我们得到了logbv（t）≥tlogZBj[t]Vπ（t）ν（dπ）=tlogZBj[t]expt·tlog Vπ（t）ν（dπ）≥tlogZBj[t]expt·tlog V*（t）- 3ν（dπ）≥tlog V*（t）- 3+tlogν（Bj[t]）。（3.7）注意j[t]只能取很多值。既然ν得到了全力支持，我们就有了Limt→∞tlogν（Bj[t]）=0。根据（3.7）可知：→∞tlogbV（t）V*（t）≥ -3.通过让完成证明→ 0定理1.2是引理3.5和下列“统一大数定律”的推论。这个证明是一个标准的括号论点，类似于引理3.5的证明，可以在[31，第3.1节]中找到。引理3.6。在定理1.2的假设下，我们得到了limt→∞supπ∈Θtlog Vπ（t）- W（π）= 0.定理1.2的证明。假设W（π）=limt→∞tlog Vπ（t）对所有π都存在∈ Θ.

利用引理3.5的证明论证，可以证明（3.8）limt→∞tlogbV（t）=limt→∞tlog V*（t） =W*.Sincetlogνt（B）=tlogbV（t）ZΘVπ（t）dν（π）=tlogZΘVπ（t）dν（π）-tlogbV（t）和感谢（3.8），为了证明LDP，它必须证明（3.9）lim supt→∞tlogZFVπ（t）dν（π）≤ supπ∈所有闭集F和（3.10）lim inft的FW（π）→∞tlogZGVπ（t）dν（π）≥ infπ∈GW（π）适用于所有开放集G。事实上，我们将证明（3.9）适用于所有可测集，无论它是否封闭。随机投资组合理论中的普遍投资组合13通过引理3.6，数量R（t）=supπ∈Θtlog Vπ（t）- W（π）收敛到0as t→ ∞. 为了证明上界，写日志zfvπ（t）dν（π）≤tlogZFexp（t（W（π）+R（t）））dν（π）≤ supπ∈FW（π）+R（t）+tν（F）。让t→ ∞ 为所有可测量集建立上边界。开集的lowerbound可以用一个类似的方式证明，使用的事实是ν有完全的支持。定理3.3的证明。由于E是有限的，所以Θ是从E到n、 （它可以从E扩展到通过设置π（p）=p的π/∈ E、 其中π是n、 ）第一句话来自引理3。5.此外，通过引理3.2，极限W（π）=limt→∞RE×ElπdPtexists和qualsre×El所有π的πdP∈ Θ. 因此，定理1.2适用。很容易看出i（π）在π中是凸的。3.3. 举个例子。定理1.2假设该族在supremum度量中是完全有界的，并且所有投资组合的渐近增长率都存在。现在我们举一个简单的例子来说明可能出现的问题。首先，如果族是toolarge，并且拓扑选择不当，则通用性可能会失败。其次，自民党可能微不足道，即使存在一个政治投资组合。考虑一个有两支股票的市场（因此n=2）。

假设市场权重取可计算集合中的值＝{p=（p，p）∈ : p、 实践}。让我来=Ebe是E上的投资组合映射集，并为Θ配备点态收敛的拓扑。假设初始分布ν是上均匀分布的有限乘积. 也就是说，如果根据分布ν从Θ中随机选择π，那么对于任何p（1），p（k）∈ 投资组合向量π（p（j））在. 很容易验证ν是否完全支持Θ。设δ>0为有理数，考虑路径{u（t）}t≥0英寸由（3.11）u（0）递归定义=,, u（t+1）=u（t）1+Δu（t），（1+δ）u（t）1+Δu（t）.请注意，对于所有的t=3.12u（t+1）u（t）=（1+δ）u（t+1）u（t）≥ 0，可以直接验证{u（t）}t≥0满足消耗量2.1，M=1+δ。从（3.12）可以清楚地看出，任何最佳投资组合π到时间t都满足π（u（s））=（0,1）的所有0≤ s≤ T- 1.如下v*（t） =最大π∈ΘVπ（t）=u（t）u（0），t>0.14丁甘·伦纳德·旺普位置3.7。对于（3.11）给出的市场权重路径，Cover的投资组合bπ满意度bv（t）=u（t）u（0）1.-δ1 + δt、 特别是，我们有限制→∞tlogbV（t）V*（t） =原木1.-δ1 + δ< 因此，对于满足假设2.1的所有市场权重路径，Cover的投资组合不满足普适性属性（3.5）。证据给定一个投资组合π∈ 我们有vπ（t）=t-1Ys=0π（u（s））u（s+1）u（s）+π（u（s））u（s+1）u（s）.通过（3.12），我们可以写出vπ（t）=t-1Ys=0u（s+1）u（s）1+Δπ（u（s））+π（u（s））=u（t）u（0）t-1Ys=01.- ( 1 - π（u（s））δ1+δ.封面对开度的值为bv（t）=u（t）u（0）ZΘt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）。由于ν是均匀分布的有限乘积，独立性我们有bv（t）=u（t）u（0）1.-δ1 + δT提案3.8。对于（3.11）给出的市场权重路径，财富分布{νt}∞t=0满足Θ上的LDP和平凡速率函数I（π）≡ 0.证明。设G为Θ的任意开集。

然后G包含一个形式为（3.13）C={（π（p），…，π（p）的圆柱集l)) ∈ B} ，其中p，Pl∈ E和B是l. 因此，νt（G）≥1.-δ1+δtZCt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）。利用C仅对有限多个坐标施加限制的事实，我们得到了限制→∞tlogZCt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）=log1.-δ1 + δ.因此lim inft→∞tlogνt（G）≥ 0和极限→∞tlogνt（G）=0。由于上限很小，自民党得到了证明。随机投资组合理论中的普遍投资组合154。函数生成投资组合本节致力于证明函数生成投资组合的定理1.3。与第3节一样，我们对市场权重序列{u（t）}采用假设2.1∞t=0。首先，我们将陈述第1.3节中介绍的功能生成Portfoliosin d的一些性质。对于凸分析概念，标准参考文献为[29]。4.1。功能生成的投资组合。首先，我们给出定义不等式（1.9）的凸解析解释。让我们：N→ R是一个c onSave函数。超级差别p处Φ的Φ（p）∈ nis所有向量的凸集ξ∈ RnsatisfyingPni=1ξi=0（即ξ与n） Φ（p）+hξ，q- 圆周率≥ Φ（q）适用于所有q∈ n、 元素Φ（p）是Φ在p处的附加超梯度。注意，如果Φ为正且凹，则对数Φ为凹函数。引理4.1。[27，命题6]（i）假设π由Φ生成。每p∈ n、 的切向量v=（v，…，vn）ngiven byvi=πi（p）π-nnXj=1πj（p）pjis是 对数Φ（p），p处对数Φ的超微分。（ii）相反，s上的Φ是上的正凹函数n、 每小时∈ n、 设v（p）为 对数Φ（p）并用πi（p）=pi定义π（p）vi（p）+1-nXj=1pjvj（p）.π是从ntonand是Φ生成的投资组合。