随机投资组合理论中的泛投资组合

（根据[30，Theore m 14.56]，存在一个可测量的选择： 对数Φ）如果Φ在p处不可微，则超差 对数Φ（p）是一个有限集，根据引理4.1，有多种方法可以选择Φ生成的投资组合。然而，众所周知，一个有限值凹函数几乎在世界各地都是不同的n、 因此，由Φ生成的投资组合图几乎在所有地方都一致n、 然而，请注意，空集取决于Φ。一般来说，功能生成的投资组合π：N→不是连续的n、 让FG L∞NN是所有功能生成的投资组合的家族π：N→n、 众所周知，FG是凸的。实际上，如果π由Φ生成，η由ψ生成，那么对于任何λ∈ （0,1）投资组合λπ+（1）- λ） η（π和η的等距组合由几何平均数Φλψ1生成-λ. Weendow FG的拓扑结构为一致凸。下面的引理表明，定理1.2未涵盖当前设置。引理4.2。FG不是完全有界的。事实上，FG是不可分的。证据我们举一个n=2的例子，类似的考虑可以应用于所有尺寸。对于每个θ∈ （0,1），设πθ：→ 是πθ（p）=（1，0）如果p≤ θ（0，1）如果p>θ.16，则TING-KAM LEONARD WONGIt很容易验证πθ是函数生成的，且生成函数是函数Φθ上的最小饼状函数满足Φθ（（0，1））=Φθ（（1，0））=0和Φθ（θ，1）- θ) = 1. 因为{πθ}θ∈（0,1）在FG中形成一个不可数离散集，FG是不可分的。尽管这本书描绘了π：N→作为主要对象，使用它们的生成函数在技术上更方便。定义4.3。设Cbe为Φon上所有正凹函数的集合n满足归一化Φ（e）=1，其中e=NN是物体的重心n、 我们赋予cw局部一致收敛的topology。

我们定义了如下指标。对于m=1，2。，让Km=P∈ n:圆周率≥m、 一,≤ 我≤ N. 然后{Km}∞m=1是一种紧密的疲劳n、 对于Φ，ψ∈ 定义的Cwe（Φ，ψ）=∞Xm=1-mmaxp∈Km |Φ（p）- ψ（p）|1+maxp∈Km |Φ（p）- ψ（p）|。根据[27，命题6]，函数生成投资组合的生成函数在正乘法常数下是唯一的。通过规范化，我们可以假定生成函数集是一致的，而不丧失一般性。引理4.4。（C，d）是紧度量空间。证据参见[3，引理10]。虽然FG并不是完全封闭的，但引理4.1和引理4.4认为它与Cw几乎相同，Cw是一个紧度量空间。这使我们能够在适当的条件下证明，当t较大时，Vπ（t）作为π的函数表现良好。这里是C.引理4.5紧性的一个应用。每个t≥ 0，存在π*∈ Θ使得Vπ*（t） =supπ∈FGVπ（t）。证据该证明基本上是[33，定理4（i）]中的证明，并包含完整性证明。设{πk}∞k=1b是最大化序列，即supπ∈FGVπ（t）=limk→∞Vπk（t）=limk→∞T-1Ys=0πk（u（s））·u（s+1）u（s）.让{Φk}∞k=1 Cbe是相应的生成函数。根据Cwe的紧致性，它可以传递到一个子序列，因此Φk→ Φ ∈ 完完全全地n、 我们可以进一步进行下一步，使极限→∞πk（u（s））存在所有0≤ s≤ T- 1.让π*是由Φ生成的投资组合，由引理4.1存在。我们声称如果我们重新定义π*关于{u（s）：0≤ s≤ T- 1} 通过seπ*（u（s））=limk→∞πk（u（s））为0≤ s≤ T- 1，然后π*仍然由Φ生成，因此是Θ的一个元素。通过（1.9）可以检查（4.1）π*（μs）·qμs≥Φ（q）Φ（u（s））适用于所有0≤ s≤ T- 1和q∈ n、 既然πk是由Φk生成的，我们就有πk（u（s））·qu（s）≥Φk（q）Φk（u（s））。随机投资组合理论中的普适投资组合→ ∞, 我们得到（4.1），所以π*由Φ生成。

引理之后指出Vπ*（t） =limk→∞Vπk（t）。继续进行统计类比（见备注2.6），p Portfolioπ*可以被视为最大化共向增长率W（π）=limt的投资组合的最大似然估计→∞t（π）。引理4.6。让我们∈ 坎普∈ n、 让K nbe一个紧集，其（相对）内部包含p。那么对于任何>0，存在δ>0，使得Φ∈ C、 maxp∈K |Φ（p）- Φ（p）|<δ和| q- p |<δ，我们有 对数Φ（q）  对数Φ（p）+B（0,1）。证据这是[29，定理24.5]的统一版本。我们将自相矛盾地前进。如果这个说法是错误的，那么存在>0，这样下面的说法成立。每k≥ 1.存在Φk∈ 坎德pk∈ nsuch thatmaxp∈K |ΦK（p）- Φ（p）|<k，|pk- p |<kand 对数Φk（pk）6  对数Φ（p）+B（0,1）。这与[29，定理24.5]相矛盾，因此引理被证明是正确的。利用引理4.6和命题4.1，我们得到了以下推论，这是[33，引理11]的定义版本。引理4.7。设π为Φ生成的投资组合。让p∈ nbeΦ可微分的点。对于任何>0和任何紧凑邻域Kof pinn、 只要Φ和maxp生成π，就存在δ>0这样的t∈K |Φ（p）- Φ（p）|<δ，我们有maxp:|p-p |<δ|π（p）- π（p）|<。我们以一些技术性的评论来结束这一小节。备注4.8。人们很自然地会问，为什么不使用紧集作为索引集。这有三个原因。首先，投资组合映射π：N→ 投资组合分析的主要对象和生成函数仅为驱动实体。第二，即使π和π具有相同的生成函数Φ，在有限的视界上，Vπ（t）和Vπ（t）可能具有相当不同的行为。这是因为市场可能会在Φ不可区分且两个订单组合不同的订单处重复着陆。

第三，即使对于ea来说∈ Cwe可以选择由Φ生成的投资组合πΦ，没有标准的方法来实现这一点，因此映射Φ7→ πΦ和Φ7→ VπΦ（t）是可测量的。4.2. 渐近g增长率。回想一下Le mma 3.1，Vπ（t）可以写在形式tLog Vπ（t）=RS中lπdPt，其中lπ（p，q）=logπ（p）·qp定义见（3.2）和pt=tt-1Xs=0δ（u（s），u（s+1））是直到时间t的对（u（s），u（s+1））的经验度量。考虑到资本分布的长期稳定性，我们假设P弱收敛于绝对连续的概率度量P。我们用B（P，δ）表示n以p为中心，半径为δ。欧几里德范数由|·| 18 TING-KAM LEONARD WONGFirst表示。首先，我们证明了FG各个元素的“强大数定律”。我们将使用弱收敛理论的一些基本结果[3]。回想一下，aP连续性集合是一个满足P的集合(A） =0，其中A是A的边界。我们写作如果我们想解释它的基本拓扑空间。引理4.9。假设Pt弱收敛到S上的绝对连续概率测度P，则对于每个π∈ FG渐近增长率W（π）=limt→∞tlog Vπ（t）存在，由（4.2）W（π）=limt给出→∞ZSlπdPt=ZSlπdP。证据注意，（4.2）不直接遵循弱收敛的定义，因为lπ可能有不连续性。当我们在EMME 4.10中证明一致收敛时，这里的构造（由[33，定理5]的证明定义）将是有用的。设>0。让我们∈ Cbeπ的g生成函数，考虑setd={p∈ n：Φ在p}是可微的。然后n\\D具有Lebesgue度量值0。

给定，存在′>0使得无论何时π，π∈nand |π- π|<′，我们有（4.3）日志π·qp- 日志π·qp< 为所有人（p，q）∈ S.每p∈ D、 根据引理4.7，存在δ（p）>0，使得B（p，δ（p）） nand | q- p |<δ（p）意味着（4.4）|π（q）- π（p）|<′。作为可分度量空间的子空间，D是可分的。因此，存在一个可数集{pk}∞k=1 这是什么∞[k=1B（pk，δ（pk）），设A=B（p，δ（p）），对于k≥ 2 defineak=B（pk，δ（pk））\\k-1[j=1B（pj，δ（pj））。那么集合{Ak}是不相交的和（D×）n）∩ s∞[k=1（Ak×]n）∩ 自P（（D×）n）∩ S） 根据绝对连续性，根据测量的连续性，存在一个正整数k，例如k=1n）∩ S！>1.- .随机投资组合理论中的通用投资组合19定义=n\\k[k=1Akn）∩ （S）≤ .请注意，对于0≤ K≤ k、 （Ak×）n）∩ S是一个P-连续集，因为它是由S（具有piec-ewise光滑边界）上的集合论运算形成的，南德欧几里德球。同样，根据假设2.1|lπ（·，·）|一致有界于S byM′：=log M。因此，对于每1≤ K≤ K地图（p，q）7→ lπ（p（k））（p，q）：=logπ（p（k））·qp是S上的一个有界连续函数。通过弱收敛和引理a.2，在附录中，存在一个正整数t≥ 我们有（4.6）个Pt（（A×）n）∩ S） <2和（4.7）Z（Ak×）n）∩slπ（p（k））d（Pt- P）<k.（请注意，在选择KI之前必须先确定）。现在我们估计了差异tlog Vπ（t）-RSlπdP=RSlπd（Pt）- P）. 我们有ZSlπd（Pt）- P）≤kXk=1Z（Ak×）n）∩slπd（Pt）- P）+Z（A）×n）∩slπd（Pt）- P）.（4.8）使用lπ、 （4.5）和（4.6），（4.8）的第二项以3M′为界。

现在对于每个k，由（4.3），（4.4）和（4.7）得到Z（Ak×）n）∩slπd（Pt）- P）≤Z（Ak×）n）∩slπ- lπ（pk）dPt+Z（Ak×）n）∩slπ- lπ（pk）dP+Z（Ak×）n）∩slπ（pk）d（Pt）- P）≤ Pt（（Ak×）n）∩ S） +P（（Ak×）n）∩ S） +k.将上述不等式与k相加，得到ZSlπd（Pt）- P）≤ +++3M′，t≥ t、 证明了引理。20婷锦·伦纳德·旺格4。3.Glivenko Cantelli地产。现在我们观察到引理4.9的证明可以被修改，以产生一个统一的版本，这意味着定理1.3（i）。重新定义d（Φ，ψ）是定义4.3中Cgiven的度量。引理4.10。S uppose Pt弱收敛于S.Letπ上的绝对连续概率测度P∈ FG由Φ生成∈ C.对于任何>0，存在δ>0，使得（4.9）lim supt→∞supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）-tlog Vπ（t）< 其中FG（π，δ）是生成函数Φ的所有函数生成的组合π的集合∈ Csaties d（Φ，Φ）<δ。特别是，我们有“统一大数定律”（4.10）的限制→∞supπ∈前景tlog Vπ（t）- W（π）= 0.证明。我们要估计supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）-tlog Vπ（t）= supπ∈FG（π，δ）ZS(lπ- lπ） dPt.回忆一下定义4.3中的知识=P∈ n:圆周率≥M. 通过度量的连续性，我们可以选择m，这样p（（Km×x）n）∩ S） >1- .自（Km×起）n）∩ S是一个P-连续集，因为t足够大ZS-Z（公里×公里）n）∩s(lπ- lπ） dPt< 4M，其中M′=logm是|lπ|和|lπ|在S上。这使我们能够集中精力在场景（Km）上∩ n）∩ S.Fix′>0。

根据引理4.7，对于Kmat（相对）内部Φ可微的每一个p（称为该集Dm），存在δ′（p）>0，使得∈Km |Φ（q）- Φ（q）|<δ′（p）和| q- p |<δ′（p），我们有|π（q）- π（p）|<′。正如引理4.9所述，我们可以用一个不相交的可数并来覆盖DMD∞k=1Ak，其中aki是包含pk的P-连续集，其直径由δ′（pk）限定。现在选择一个正整数ksuch thatPk[k=1Ak×]N∩ S！>1.- 2.此外，选择δ>0，使d（Φ，Φ）<δ=> maxp∈Km |Φ（p）- Φ（p）|<min1≤K≤kδ′（pk）。接下来是supπ∈FG（π，δ（pk））supp:|p-pk |<δ′（pk）|π（p）- π（pk）|<′，随机投资组合理论21中的普遍投资组合在这种一致局部近似下，我们可以按照引理4.9的证明步骤来证明lim-supt→∞supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）- W（π）< C，其中C>0是常数。因此（4.9）允许→ 注意（4.9）意味着supπ∈FG（π，δ）|W（π）- W（π）|≤ . 由于是逆紧的，我们可以用FG（π，δ）和（4.10）的形式来覆盖FG。4.4. 自民党和普遍性。现在我们完成定理1.3的证明。回想一下bv（t）=RΘVπ（t）dν（π）和V*（t） =supπ∈ΘVπ（t）。引理4.11。假设ptp弱收敛于S上的绝对连续概率测度P，设ν为FG和W上的任何初始分布*=supπ∈supp（ν）W（π）。然后限制→∞tlogbV（t）=W*.证据对于π∈ FG writelog Vπ（t）=W（π）+Rπ（t），其中Rπ（t）是余数。通过引理4.10，我们得到了limt→∞supπ∈FG | Rπ（t）|=0。WritebV（t）=Zsupp（ν）et（W（π）+Rπ（t））dν（π）。很明显，lim supt→∞tlogbV（t）≤ W*. 为了说明另一个不等式，请注意w（π）在π中是连续的∈ 前景。因此对于任何π∈ supp（ν）和>0，通过将积分限制为π的邻域，我们得到lim inft→∞tlogbV（t）≥ W（π）- .取π的上确界∈ supp（ν）完成了证明。定理1.3的证明。

（i） 引理4.10已经证明了这一点。（ii）我们的论证如定理1.3所述。写入νt（B）=bV（t）ZB∩supp（ν）Vπ（t）dν（π）。利用一致收敛性（i），我们可以证明（4.11）lim-supt→∞tlogZFVπ（t）dν（π）≤ supπ∈F∩用F表示任意集合F的supp（ν）W（π）∩ 补充（ν）6=, 和（4.12）lim inft→∞tlogZGVπ（t）dν（π）≥ infπ∈G∩所有开集G的supp（ν）W（π），使得∩ 补充（ν）6=. 这些无能和爱玛4.11暗示了自民党。（iii）让{Φk}∞k=1b是度量空间e（C，d）中的可数稠密集。对于eachk，让πkbe表示由Φk生成的投资组合。考虑形式为（4.13）的初始分布=∞Xk=1λkΔπk，其中λk>0，p∞k=1λk=1.22 TING-KAM LEONARD WONGTo se e，设π为任意函数生成的投资组合，Φ∈ Cbe是它的生成函数。然后有一个序列πk′，其母函数Φk′局部一致收敛于Φ。通过引理4.10，我们得到了W（πk′）→ W（π）。因此W*= supπ∈supp（ν）W（π）=supπ∈FGW（π）。通过引理4.1，为了建立渐近普适性性质（1.12），仍然需要证明Limt→∞tlog V*（t） =W*,但这是一致收敛性（i）的直接结果。5.结论和进一步的问题本文从随机投资组合理论的角度研究了Cover的投资组合。给定一系列投资组合，我们研究了它的财富分配，这类似于股票市场的资本分配。在这种情况下，财富分布在托卡斯蒂克投资组合理论的意义上是不稳定和多样的，在某些条件下，我们根据大偏差原则对其集中度进行了量化。

我们还将Cover的投资组合推广到了函数生成投资组合的非参数族，并在[21]的spir it中建立了它的渐近普适性。与[21]和[17]类似，本文的结果本质上是渐进的，在这种非参数设置中，我们无法建立适用于所有有限视界的定量界限。人们希望获得定量界限，尽管它们可能过于保守，无法在实践中使用。即使基础市场过程被正确建模，收敛对数Vπ（t）→ W（π）可能需要很长的时间，而portfolio bπ（t）可能由噪声控制。一种可能的方法是使用较小的族或通过适当的先验（初始分布）施加正则化。在动态投资组合选择中处理这种偏差-方差权衡效应是一个非常有实际意义的有趣问题。问题5.1。对于功能一般投资组合族的Cover投资组合，是否可以选择一个初始分布，使得bπ可以用数值计算或近似，以及Bv（t）/V的定量下限*（t） 可以证明吗？一个可能的方向是对基于等级的功能生成的投资组合进行重新限制，也就是说，股票的投资组合权重仅取决于其根据资本化的等级。等价地，这意味着生成函数在坐标重新标记下是不变的。这有减少π和Φ的有效域的效果！单纯形单元n、 通过减少维度的诅咒，我们也许能够得到一个更好的边界。我们可以使用其他投资组合选择算法为功能生成的投资组合构建通用投资组合，而不是使用Cover的投资组合作为财富加权平均值。

也许[18]中的跟随正则化领导者（FTRL）方法可以推广到这种非参数设置。直观地说，我们希望在场景FG上执行某种在线梯度下降。作为符号参数统计的一个经典结果是Bernstein von Misetheorem，它指出，在适当的标度下，后验分布与符号正态分布一样[32，第10章]。非参数模型的某些推广是可能的，例如参见[5]。正如引言中没有ted一样，对于Constantweight投资组合，地图π7→ Vπ（t）本质上是随机投资组合理论23（见[21]和[9]）中标准密度通用投资组合的倍数。因此，如果初始分布非常规则，那么财富分布在适当地重新调整比例后大致正常。由于函数生成的投资组合族是凸的，因此可以将其视为一个有限维恒定加权的投资组合族。问题5.2。在orem 1.3的背景下，推导并证明伯恩斯坦-冯-米塞斯定理的一个版本。附录A.以下引理是标准结果。由于我们无法找到合适的参考文献，我们将提供完整性证明。引理A.1。设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集，带有子空间拓扑。如果 好吧XA 对∪ XY。证据我们将用矛盾来辩论。Suppos e x∈ XA和x/∈ 对∪ XY。通过子空间拓扑和边界的定义，在x中存在邻域a和Uof x，比如t（1）U∩ Y A或（2）U∩ Y 是的，和（我）你 Y或（ii）U X\\Y.我们可以通过它们的交点U=U来替换U和U∩ 美国也是，因为∈ XA，U与A和X\\A相交。我们声称上述陈述不兼容。我们考虑以下情况。（1） 和（我）：自从你 Y和U∩ Y A、 我们有你 A.