弱链矩阵、策略迭代和脉冲控制

在汇率问题的半拉格朗日格式的特殊情况下，可以使用简单的三对角解，因为该问题是一维微分。策略迭代在达到所需的容错能力时终止：maxivki- vk-1i最大值vki, 规模< 托尔。比例参数确保不会对解决方案施加不切实际的精度级别。我们取10-6对于本次测试和所有未来测试，ANDSCALE=1。在上一个时间步un+1中，最初的猜测是解决方案。[16]之后，我们将:= Dt和δ：=1/ D=10-2.为了完整性，我们提到^u（t，x）：=0和^f（t，x）的明显分裂：=-p（x）用于半拉格朗日格式。续集（6.2和6.3）的数值例子也使用了明显的分裂。直接控制和惩罚方案超线性收敛。我们推测这种情况发生在7世纪→ u（t，x）与x=η（t）的右边成线性关系，因此在近似术语dxuan和dxuther时没有误差。假设半拉格朗日格式的解un+1与η（tn+1）右侧成线性关系，则由于η（tn）与η（tn+1）的近似而引入误差。这表明，对于具有简单连续区域和线性交易费用的问题，直接控制和惩罚方案可能优于半拉格朗日方案。毫不奇怪，直接控制方案和惩罚方案在性能和精度上几乎相同，因为比例因子和惩罚因子的选择是相同的（即δ=1）/). 我们提到，选择δ=1（即无缩放）会在直接控制设置中产生较差的性能（有关解释，请参见[16]）。请注意，每次调用Solvec的BiCGSTAB迭代的平均次数可能少于一次，这表明有时在策略迭代的第3行不需要BiCGSTAB迭代。

当初始残差b（P`）时，就会发生这种情况-A（P`）v`-1，小到足够大（即在收敛前的最后一次策略迭代）。HU（t=0，x=0）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1-0.60685256 3.13 0.74 1.32e+011/2-0.61187228 2.88 0.90 6.99e+011/4-0.61300925 2.58 0.93 4.42 3.98e+021/8-0.61317577 2.49 0.94 6.83 2.77e+031/16-0.61321292 2 2.48 0.95 4.48 2.09e+041/32-0.61321903 2.46 0.95 6.08 1.61e+05（a）直接控制，H u（t）Avg=0。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1-0.60717652 3.19 0.71 1.38e+011/2-0.61194960 2.88 0.76 6.96e+011/4-0.61302973 2.55 0.91 4.42 3.95e+021/8-0.61317966 2.48 1.28 7.20 2.76e+031/16-0.61321390 2.48 1.33 4.38 2.09e+041/32-0.61321928 2.46 0.99 6.36 1.61e+05（b）DH=0常模比。时间1-0.69277804 1.00e+001/2-0.64806716 6.49e+001/4-0.62865965 2.30 4.90e+011/8-0.62027822.32 3.86e+021/16-0.61653511 2.24 3.17e+031/32-0.614800123 2.16 2.64e+041/64-0.61398311 2.12 2.17e+05（c）半拉格朗日方程6.1.3：汇率的最优组合控制：收敛性检验6。2具有固定和比例交易成本的最优消费和投资组合[]研究了以下内容。假设一个投资者在任何时候都有两个投资机会：一个股票和一个银行账户。让我们来看看≥0和（Bt）t≥0表示分别投资于这两个项目的金额。投资者能够连续消费（随机控制）（脉冲控制）。用（wt）t表示≥0消耗率为0≤ wt≤ wmax。在任何时间点，投资者都可以将资金转移到（z>0）或（z<0）股票，从而产生λ| z |+C的交易成本，其中C>0和0≤ λ < 1.

这可以通过dst=uStdt+ξStdWtifτj<t<τj+1（随机控制）来获取；dBt=（rBt）- wt）如果τj<t<τj+1（随机控制）；Sτj+1=Sτj+1-+ zτj+1（脉冲控制）；Bτj+1=Bτj+1-- zτj+1- λzτj+1- C（脉冲控制）。组合控制θ：=（w，τ，τ，…，zτ，zτ，…）如果股票持有量和银行账户始终为非负，则可接受。设Θ表示所有可容许控制的集合。银行账户中的tsbt=b由u（t，s，b）给出：=eρtsupθ∈ΘE（t，s，b）“中兴通讯-ρtwγtγdt+e-ρTmax（BT+（1- λ） 圣- C、 0）γ#式中0≤- γ<1是投资者的相对风险规避和ρ≥0是时间首选项的比率。到期时收到的效用相当于清算资产并立即消耗所有东西。相关的HJBKVIOhm:= (0, ∞)和∧：=由（1.1）给出，其中g（T，x）：=max（b+（1- λ） s- C、 0）γ/γ和w:=[0，wmax]；Z（t，x）：={Z:x+Γ（t，x，Z）≥ 0} ;Lw:=ξss+uss+（rb）- w）b>0；否则为0；Γ（t，x，z）：=（z，-Z- λ| z |- C） )；fw:=b>0时wγ/γ；否则为0；K（t，x，z）：=0。在上面的表达中，比如ass·/当n=0时，应解释为相同的零。公约[q，q]= 如果q>QI使用。参数值贴现系数ρ10%年利率r 7%年利率裂开u11%年收益率ξ30%年利率T 40年相对风险规避1- γ0.7标度交易成本λ0.1固定交易成本C 0.05最大取款率W最大初始股票价值s$45.20初始银行账户价值b$45.20表6.2.1：最优消费：来自§6.1.1中直接控制方案收敛的参数，[0，T]×0，∞)andZ（t，x）被截断，因此anxit，xi，zixisi，Bit之后的状态直接控制问题由（4.3）根据（5.1）和（5.2）给出。假设存在一个网格节点exi和p:=（w，z，ψ），使得ψi=1，并且不存在从某个点到ψj=0的路径inB（z）。

因为CEC>0，所以存在一个路径→ 我→ · · ·有限长度，使得所有q的si+bi>si+bi>·和ψiq=1。由于网格的有限性，对于某些<`，xiq=xi`（hencesiq+biq=si`+bi`），这是一种传统。6.2.2最优控制在[]中，在最优控制中观察到三个区域：买入（B）、卖出（S）和继续/无交易（NT）区域。在B和S区域，控制器通过跳回标记的两条线中最近的一条进行干预和. 在NT中，控制器持续消费。6.2.3收敛测试收敛测试如表6所示。2.3. 我们提到了arti ficial Neumann边界条件曲/sq=0和u/b=0用于截断的boundariess=smax和bbmax。前者要求每个时间步有明显更多的策略迭代。半拉格朗日格式的收敛速度在更高水平的情况下变为次线性。6.3可变年金中的保证最低支取福利（GMWB）可变年金中的保证最低支取福利（GMWB）为投资者提供可变年金的税收递延性质以及保证最低付款。GMWB定价以前被认为是[，]和H s节点b节点w节点z节点时间步120 20 15 321/2 40 30 64。。。。。。。。。。。。。。。。。。表6.2.2：最优消费：数值网格u（t=0，s，b）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 56.062123 7.63 1.28 1.63e+011/2 58.739224 8.80 1.90 2.93e+021/4 59.420125 10.4 2.28 3.93 5.66e+031/8 59.658413 11.8 3.28 2.86 1.03e+051/16 59.754780 13.4.45 2.47 1.85e+061/32 59.797206 14.2 6.54 2.27 3.05e+07（a）直接控制u（t=0，s，b）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。

时间1 56.058496 4.09 1.43 1.03e+011/2 58.739041 3.95 1.77 1.47e+021/4 59.420075 3.40 2.35 3.94 1.99e+031/8 59.658399 3.04 3.69 2.86 2.69e+041/16 59.754778 2.80 5.50 2.47 4.02e+051/32 59.797215 2.58 5.98 2.27 5.86e+06（b）平均处罚DH u（t=0，s，b）及其标签。比率标准。time1 55.621632 1.00 1.00e+001/2 58.782064 2.00 1.55e+011/4 59.404576 3.00 5.08 2.60e+021/8 59.569370 4.00 3.78 4.05e+031/16 59.651186 6.00 2.01 6.68e+041/32 59.705315 8.00 1.51 1.11e+061/64 59.748325 10.8 1.26 1.85e+07（c）半可计算的6.2.3：最佳消费：40万元汇合银行账户（100808080808080808080808080800B）股票1.20510152025最优消费（w）（a）最优控制股票持有量020406081000银行账户020406081000价值（u（t=0，s，b））020406080100（b）价值图6.2.1：初始时间的最优消费（与[11，图1和图2]相比）作为[]中的脉冲控制问题。[1]中考虑了具有年度提取的GMWBs的最优控制。GMWB由投资和担保账户（St）t组成≥0和（At）t≥分别为0。它是通过向保险公司支付一次总付，存入（风险）投资账户（即S=S）来实现的。GMWB承诺至少一次性偿还，前提是合同持有人的提款率不超过一定的比率。这是取款时的一美元对一美元的基础。只要保证账户为正，持有人可以继续提款。

特别是，在合同T到期之前的任何时间点，持有人可以：oG≥投资（随机控制）按超额提取率即时减少提取金额0≤ κ ≤ 1（脉冲控制）。持有人获得投资账户中较大的一个，到期时全额取款。担保账户可以连续或即时提取：dAt=-如果τj<t<τj+1（随机控制），则为wtdt；Aτj+1=Aτj+1-- zτj+1（脉冲控制）。让ρ≥ 0表示无风险利率。考虑一个指数（Yt）t≥0YTDYT=风险中性度量下的ρYtdt+ξYTDWTU。投资账户跟踪指数，并通过从担保账户取款进行调整：dSt=(ρ - η） 圣- wt{St>0}dt+ξStdWtifτj<t<τj+1；Sτj+1=最大值Sτj+1-- zτj+1，0.每笔交易的一次性支付成本参数：$10%每年10%的年利率≤ η ≤ ρ是从投资账户中扣除的比例利率，用作θ：w，τ，τ，z、 z。任何时候，担保账户都是非负的。设Θ表示所有可容许控制的集合。保险人最坏情况下的套期保值成本（在[]中讨论）风险账户中的金额t=s和金额at=a isu（t，s，a）：=eρtsupθ∈ΘE（t，s，a）“中兴通讯-ρtwtdt+e-ρTmax（ST，（1- κ） 在- C） +Xτj≤Te-ρτj(1 - κ） zτj- C#其中C>0为固定交易成本。最终支付金额对应于投资账户的最大金额，或按照超额提取率提取整个担保账户。Letx:=（s，a）和ζ：=ρ- η.

相关的HJBKVIOhm:= (0, ∞)和∧：=由（1.1）和g（T，x）给出：=max（s，（1）- κ） a- C） 和w:=[0，G]；Z（t，x）：=[0，a]；Lw:=ξss+ζss+-Wa+s如果s，a>0；-Waifa>0；否则为0；Γ（t，x，z）：=- （最小（z，s，z）；fw:=w如果a>0；否则为0；K（t，x，z）：=（1）- κ） z- C.6.3.1直接控制模式的收敛性i，ai，直接控制问题由（4.3）根据（5.1）和（5.2）给出。假设（H4）不满足，因此对于某些解决方案V，存在vi=[Bv]i=[Bv]i=。因为CEC>0，所以它就是vi=-∞, 矛盾。因此，（H4）成立。0 50 100 150 200 250 300投资账户020406081000担保账户（a）以Gw的利率支取固定金额Z01020304050607080最佳脉冲支取（z）图6.3.1:GMWB：初始时间的最佳控制，η=0.03126来自[12]Pcontrols P:=（w，z，ψ），当ai=0时满足ψi=0，当ai6=0时满足zi6=0。如例4所示。5，（H2）源于zi的单向性。（4.7）是通过指出Zi=0会产生有限成本（因此是次优的）来确定的。然后，从定理4.10和6.2的应用中得出收敛性。条件Zi=0符合直觉：持有者永远不应该为零美元的提款支付C>。6.3.2最佳控制图6。在最坏的情况下，如何考虑WBA的最佳成本。我们参考[12]来解释三个不同的撤退区域。6.3.3收敛测试收敛测试如表6所示。3.3. 从7号开始→ L（t，x，w）是线性的，我们取wh={，G}独立于h。在截断边界处使用渐近边界条件（沿方向）。有关详细信息，请参见[]。

直接控制和惩罚方案产生几乎相同的结果，并表现出相似的执行时间。7结论性意见这项工作建立了（1.3）的适定性，并给出了相应策略迭代收敛的充分条件。（1.3）已应用于H w节点a节点z节点时间步长1 64 50 2 321/2 128 100 4 64的数值解。。。。。。。。。。。。。。。表6.3.2:GMWB：数值网格u（t=0，s，s）平均策略。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 107.68342 3.47 1.47 1.71e+011/2 107.70679 4.25 1.64 2.03e+021/4 107.71878 4.34 1.85 1.95 2.60e+031/8 107.72578 4.43 2.22 1.71 3.46e+041/16 107.72964.31 2.71 1.81 4.75e+051/32 107.73176 4.15 3.40 1.83 7.55e+06（a）直接控制u（t=0，s，s，s）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 107.68243 3.47 1.58 1.80e+011/2 107.70639 4.08 1.65 2.06e+021/4 107.71870 3.95 1.76 1.95 2.45e+031/8 107.72576 3.98 1.97 1.74 3.22e+041/16 107.72964 3.71 2.39 1.82 4 4.34e+051/32 107.73175 3.32 3.01 1.83 6 6.62e+06（b）平均惩罚DH u（t=0，s，s，s，s，s+s）及其标签。比率标准。时间1 107.42351 1.00 1.00e+001/2 107.68443 1.00 1.02e+011/4 107.70841.00 10.9 1.39e+021/8 107.72257 1.00 1.70 2.03e+031/16 107.73015 1.00 1.87 3.31e+041/32§107.73224 1.98 3.62 6.10e+051/64 107.73337 2.90 1.85 1.13e+07（c）半稳定的6.3.3:ShGMWB+1.3:ShQ5收敛系数与Lagrange.4的拉格朗日（MD4）视界（§5）的收敛系数和消失系数。HJBKVI（1.1）的半拉格朗日格式易于实现，并且每个时间步只需要一个线性解。然而，如果潜在随机过程的扩散或跳跃到达速度依赖于控制，则不能使用该方法。直接控制和惩罚计划并不支持这些限制。Numericalevidence表明这两种方案的性能相似。

然而，应用于直接控制方案的策略迭代可能会失败（例4.9），除非采取额外措施消除某些次优控制。取消这些控制措施是临时的（即取决于问题）。迭代求解得到的非线性方程组。Bellman问题（2.1）的一般适定性通过修改策略迭代，可以得到命题2的一个版本。2独立基金（H1.ii）。我们可以将该算法解释为考虑了在策略迭代中逼近上确界的误差。与[算法Ho-4]密切相关的算法XrmCrxCxC，每个组件都添加了c）：-策略迭代（P，A（·），b（·），v）1选择一个正序列(`)`≥在这种情况下`≥1.`< ∞2表示“=1，2。3.挑选这样的人-A（P`）v`-1+b（P`）+`≥ 晚餐∈P{-A（P）v`-1+b（P）}4v`:=Solve（A（P`）、b（P`）、v`-1） 下面出现在[7]：引理A.1中。五``≥0R(`)`≥在这种情况下`≥1.`< ∞ 和v`- 五`-1.≥ -`为了`≥ 1.我们需要下面的引理，它的证明很简单，因此省略了：引理A.2。设一个集合，是赋范线性空间，T:X×Y→ R、 andQ:X→ 如上图所示。假设每个xinx，Tx:Y→ Rdefined byTx（y）：=T（x，y）是线性的，且TxHas算子范数关于tox一致有界。马皮7号→ 好的∈X{T（X，y）+Q（X）}是一致连续的。定理A.3。假设（H0），（H1.i），a（P）是allPinP的单调矩阵。（v`）`≥1定义人-策略迭代收敛到（2.1）的唯一解v。证据首先，注意a（P`）五`- 五`-1.= -A（P`）v`-1+b（P`）≥ 晚餐∈Pn-A（P）v`-1+b（P）o- `. （A.1）对于“>1，支持∈Pn-A（P）v`-1+b（P）o≥ -A（P`-1） 五`-1+b（P`-1) = 0.结合（A.1），v`- 五`-1.≥ -A（P`）-1(`, . . . , `)|≥ -C`为了一些C≥ 0.P7→ 美联社-1（H0）A.1v`→ v代表RM中的一些v。

取（A.1）中的极限并应用引理A.2,0=lim`→∞晚餐∈Pn-A（P）v`-1+b（P）o！=晚餐∈P{-A（P）v+b（P）}。因此，v是（2.1）的解。唯一性的证明类似于定理4.8。引理4.1的证明。我们把aδ和bδ写成δ的应力依赖关系。设δ=1的（4.3）解。Apigeonhole原理参数允许我们选择一个序列（P`）`≥0:=（w`，z`，ψ`）`≥因此ψ`=ψ是常数，且-A（P`）v+b（P`）→0.两边乘以i-ψ+Δψ（其中ψ：=diag（ψ））产生-Aδ（P`）v+bδ（P`）→0和hencesupP∈P{-Aδ（P）v+bδ（P）}≥假设这个不等式是严格的，那么对于somePandi[-Aδ（P）v+bδ（P）]i>0。两边乘以[I]-Ψ +δ-1ψ]Iyelds[-Aδ=1（P）v+bδ=1（P）]i>0，与v是一个解相矛盾。反之亦然。参考文献[1]P.Azimzadeh和P.A.Forsyth。gmxb合同最优bang-bang控制的存在性。暹罗J.金融数学。，6(1):117–139, 2015.[2] P·阿齐姆扎德、P·A·福赛斯和K·R·维扎尔。制度转换下可变年金的套期保值成本。《金融学中的隐马尔可夫模型》，第133-166页。斯普林格，2014年。[3] J.巴宾、P.A.福赛斯和G.拉班。政权转换下美式期权的迭代最优停止和局部政策迭代的比较。J.Sci。计算机。，58(2):409–430, 2014.[4] 巴勒斯和苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。渐近线。肛门。，4(3):271–283, 1991.[5] E.Bayraktar和H.Xing。为跳转差异定价亚洲期权。数学《金融》，21（1）：117–143，2011年。[6] A.本苏桑和J.L.狮子。脉冲控制与拟变分不等式。Gaunthier Villars，巴黎，1984年。[7] O.博卡诺夫斯基、S.马罗佐和H.齐达尼。Howard\'salgorithm的一些收敛结果。暹罗J.努尔。肛门。，47(4):3001–3026, 2009.[8] J·H·布拉姆布尔和B·E·哈伯德。