向量时间序列模型及其诱导模型的显式解

在定理2的条件下，逆Q-1of Q是（3.24）Q-1=Pn，2n(-1） P2n，nP2n，n~τ-1ατ-诊断Q-1，Q-1.,式中，τ=α（τ-- τ+，（3.25）Q-1=-bTn-1英寸-1.- 1Tn-1b(-1） bb(-1)!和（3.26）Q-1=-aTn-1英寸-1.- 1Tn-1a(-1)~τ-1a~τ-1a(-1)!.两个经济计量模型的显式解。将Q的第n列乘以-1，并将结果列添加到Q的第2n列，给定sq=QPn，2n(-1) =-B-1b(-1） 在-1Tn-1n×nn×（n）-1)-ατ-Tn-A.-1a(-1） ττIn-1~τ1Tn-1.τ=α（τ-- τ+). 将qn的第2n列乘以∧τ-1ατ-并将结果列添加到qsq=QP2n，n的第n列--1/2ατ-=-B-1b(-1） 在-1Tn-1n×nn×n-A.-1a(-1） ττIn-1~τ1Tn-1..让（3.27）Q=-B-1b(-1） 在-1Tn-1.Q=-A.-1a(-1） ττIn-1~τ1Tn-1.然后Q=diag{Q，Q}和（3.28）Q-1=Pn，2n(-1） P2n，nP2n，n~τ-1ατ-Q-1.因此，必须找到Q-1=诊断Q-1，Q-1.或等同于发现Q-1和Q-1.LetR=（n）-1） ×1In-11 01×（n-1)!.然后R-1=RT，左乘R表示行，右乘R表示列。此外，Q=RQ=In-1Tn-1.-B-1b(-1)!.从1+b开始-1b(-1） Tn-1=b-16=0，我们有（3.29）~Q-1=英寸-1.- 1Tn-1b(-1)-bTn-1b(-1） b！Q-1=~Q-1R，这意味着（3.25）。为了得到Q-1，我们从中开始-1~τ1Tn-1.-A.-1a(-1)~τ!.自∧τ+a-1a(-1） ■τ1Tn-1=τa-16=0，我们看到（3.30）~Q-1=英寸-1.- 1Tn-1a(-1)-aTn-1~τ-1a(-1)~τ-1a！两个经济计量模型11q和11q的显式解-1=~Q-1R，这意味着（3.26）。结合（3.25），（3.26）和（3.28），我们得到（3.24），这就完成了证明。定理3表明Q-1有一个简单而明确的形式，允许快速计算，即使当n是大的，因为Q-1和Q-1非常简单，请注意2(-1） 和p2n，nτ-1ατ-在diag的两列上只有两个线性运算Q-1，Q-1.. 逆Q-1有助于给出M的显式分解和显式解{zt}t∈推论1中的Z+揭示了它的长期行为。4.

显式解及其性质我们准备提供显式解{zt}t∈Z+使用M在J、Q和Q方面的显式分解来模拟（2.2）-1参考定理1、定理2和定理3。推论1。在定理2的条件下，模型（2.2）有显式解（4.1）zt+1=QJt+1Q-1z+tXi=0QJiQ-1γt-i显式等效解（4.2）~zt+1=Jt+1 ~z+tXi=0Jiγt-i、 式中zt=Q-1ztandγt=Q-1γt∈ Z+。证据根据第3节的结果，模型（2.2）仅为zt+1=Mt+1z+tXi=0Miγt-i为初始值z，其中Q在（3.12）中给出，J在（3.5）中给出，Q-1in（3.24）。这意味着（4.1）和（4.2），并完成了证明。换句话说，{zt}t∈ZC几乎可以表示为t阶的向量移动平均模型- 1具有独立且同分布（i.i.d.）误差{γt}t∈Z.4.1。非平稳性。回想一下，一个随机过程是二阶平稳的，如果其固定滞后的协方差函数只取决于滞后，而不取决于时间指数。为了研究{zt}t的行为∈Z、 我们需要以下关于二阶平稳性等价性的引理。引理1。在定理2的条件下，序列{zt}t∈Z+定义在推论1和{zt}t中∈Z+是二阶静止的。证据设（4.3）Γt+τ，t=Eh（zt+τ）- E（zt+τ））（zt- t，τ的两个计量经济模型的E（zt）TiEXPLICIT解∈ Z+，其中E是关于P的期望，然后E（~zt）=Q-1E（zt）和（4.4）Γt+τ，t=Eh（Γzt+τ）- E（~zt））（~zt+τ- E（~zt））Ti=Q-1Γt+τ，tQ-1.这一点，加上Q的非奇异性，意味着要么两者都有，要么两者都没有{zt}T∈Z+和{zt}t∈Z+是二阶静止的。这就完成了证明。利用引理1，可以研究{zt}t的二阶平稳性∈Z.根据第1节给出的{εi（t）}2ni=1的假设，我们得到了γtasut=（αu，…，αun，-βun+1。

, -βu2n）与协方差矩阵∑tofγtas∑t=diagασ, . . . , ασn，βσn+1，βσ2n.下面的结果显示{zt}t∈Z+不是二阶平稳的。提议1。假设zis独立于序列{γt}t∈Z+和协方差矩阵G。然后Γt+τ，t的tin（4.4）≥ 2满足度（4.5）~Γt+τ，t=Jt+τGJt+t-1Xi=1Jτ+i∑Ji。因此{zt}t∈Znor{zt}t∈Z+是二阶平稳的。证据为了计算Γt+τ，t，必须假设zand每个γt，t∈ Z+具有平均零，但具有相应的协方差。也就是说，必须假设zt+1=Jt+1^z+tXi=0Ji^γt-i、 式中，^zi是以平均值为中心的Zan，每个^γ是以平均值为中心的γt。这意味着Γt+τ，t=E~zt+τzTt= EJt+τ^z+Xt+τ-1i=0Ji^γt-我Jt^z+Xt-1i=0Ji^γt-我,将其简化为（4.5）。因为Γt+τ，tdepend在t上，{zt}t∈Z+不是二阶平稳的，引理1也不是{zt}t∈Z+。这就完成了证明。4.2. 限制行为。对于（4.1）和（4.2）中给出的表示，很容易探索{zt}t的长期行为∈Z+比{zt}t∈Z.RecallJ=diag{λIn-1，λI，λIn-1，λI}，其中λ=1- α, λ= 1 - β, λ3,4= 2-1.2.- α - β ±√.推论2。在定理2的条件下，如果（4.6）0<max1≤我≤4 |λi |<1，两个经济计量模型的显式解13，然后，作为t→ ∞,（4.7）~zt+1D→ diagnλIn-1，λI，λIn-1、~λIo~γ和zt+1D→ Qdiagn∧In-1，λI，λIn-1，λIoQ-1γ，在哪里→ 表示分布中的收敛性，且∧i=（1）- λi）-1对于1≤ 我≤ 4.推论2的证明被省略，因为它紧随P的收敛∞i=0λij=（1）- λj）-16=0表示1≤ J≤ 4当（4.6）成立时，事实上-1ztandγt=Q-1γt∈ Z+，以及{γt}t的i.i.d.性质∈Z+。很明显，对于某些1，任何λi>1≤ 我≤ 4导致ztas t的相应子向量和ztas t的某些子向量的方差爆炸→ ∞.

进一步，当λi，1≤ 我≤ 4有不同的信号，~Zt的成分和Zt的成分会发生振荡。然而，对于原始系列{zt}t，似乎很难对这种振荡进行完整的分析∈“JiQ”这个词的用法-1γt-iin（4.1）。商业周期的诱导模型表明，在Ormerod（2001）中提出模型（2.2）的目的是在情绪yi（t）的影响下，诱导经济增长率xi（t）产生的商业周期模型。Ormerod（2001）中给出了这种诱导模型，但其强迫项计算错误（见其中的恒等式（10.9A）），称为“阻尼摆”。尽管如此，商业周期的诱导模型与XTT中的2阶自回归（AR）模型相似∈ Z+，我们现在提供并分析。从模型（2.2）中，我们通过与a和b相对应的加权，（5.1）（\'x（t+1）=（1- α） \'x（t）+α\'y（t）+α′ε（t），\'y（t+1）=（1）- β） \'y（t）- βx（t）- βη（t），其中ε（t）=Pni=1biεi（t）和η（t）=Pni=1aiηi（t）。根据（5.1）中的第一个恒等式，我们得到（5.2）`y（t）=α-1[°x（t+1）- (1 - α） \'x（t）- α′ε（t）]=α-1.\'x（t）+\'x（t）- ε（t），其中\'x（t）=\'x（t+1）- \'x（t）。将（5.2）插回（5.1）的第二个恒等式，wegetα-1.\'x（t+1）- α-1.\'x（t）+\'x（t+1）- \'x（t）+βα-1.\'x（t）+2β\'x（t）（5.3）=\'ε（t+1）- (1 - β） ε（t）- βη（t）。简化后，（5.3）变成（5.4）\'x（t）+（α+β）\'x（t）+2αβ\'x（t）=h（t），两个经济计量模型的显式解，其中\'x（t）=\'\'x（t+1）- \'x（t），ε（t）=ε（t+1）- ε（t）和（5.5）h（t）=αε（t）+αβ[\'-ε（t）- η（t）]。方程式（5.4）和（5.5）共同描述了Ormerod（2001）中所称的“阻尼摆”，其中h（t）是强迫项。然而，请注意，（5.5）中的h（t）是正确的，与其中的错误的（10.9A）不同。5.1.

周期解。另一方面，（5.4）和（5.5）几乎形成了“xtt”中的二阶微分方程∈ Z+，但随机误差h（t）涉及时间t+1的aterm。具体来说，（5.6）x（t+2）+（α+β- 2） \'x（t+1）+（1）- α - β+2αβ）x（t）=h（t）。应该注意的是，（5.6）不是一个二阶自回归模型，因为h（t）在时间t+1处涉及ε（t+1）。探索{xt}t的性质∈Z+，设κ=α+β- 2, κ=1 - α - β+2αβ，以及（5.6）be（5.7）\'x（t+2）+κx（t+1）+κx（t）=0的同质版本。（5.6）和（5.7）的特征多项式都是q（w）=w+κw+κ，其根为ρ1,2=-κ±√具有= κ- 4κ=  = α+ β- 6αβ（注意定义在定理1）之前。设L是一阶的滞后算子，回忆一下d=3.- 2.√β和d=3 + 2√β.下面的结果描述了{xt}t∈Z+可以显示周期性行为，并给出解{xt}t∈Z+。定理4。集合ω=-阿尔克坦κ-1p||. 对于模型（5.7），如果（5.8）min{d，d}<α<max{d，d}，那么一般的周期解{xt}t∈对于某些常数c和c，Z+为（5.9）`x（t）=c|ρ| tcos（c+ωt）- 12β - 1< α <β2β - 和β>或（5.11）β2β- 1< α <β - 12β - 1和β<，则表示一般的周期解{xt}t∈Z+是（5.12）`x（t）=c|ρ| tcos（c+ωt）+（1- ρL）-1(1 - ρL）-1h（t），其中常数Cd和Cc可根据初始值‘x（0）和‘x（1）确定。两个经济计量模型的显式解。WLOG，假设d=min{d，d}和d=max{d，d}。（5.7）的通解有三种情况：（1）= 0当且仅当α=dorα=d。在这种情况下，ρ=ρ=-2.-1κ和x（t）=（c+ct）ρ是（5.7）的通解，对于某些常数c.（2）> 0当且仅当α<dorα>d。在这种情况下，`x（t）=cρt+cρ是（5.7）对某些常数c的通解。（3）< 0当且仅当d<a<d时。

在这种情况下，让ρ=|ρ| eiω加ω=-阿尔克坦κ-1p||∈ (-π、 π]，其中i=-1.然后ρ=|ρ| e-iω和（5.9）是（5.7）对于某些常数c的一般周期解。因此，需要找到（5.6）的特殊解才能得到（5.12）。当|ρ|<1时，运算符（1- ρjL），j=1，2是可逆的，逆（1）- ρjL）-1=P∞s=0ρsjLsforj=1，2，其中lsi是L自身的组成s次。然而，|ρ|=κ，且0<|ρ|<1当且仅当0<1- α - β+2αβ<1，当β-12β-1< α <β2β-1和β>或当β2β-1< α <β-12β-1和β<。因此，当另外（5.10）或（5.11）成立时，我们有（5.12）。这就完成了证明。注意，满足定理4中（5.8）和（5.10）或（5.8）和（5.11）的对（α，β）不存在，这意味着解（5.12）总是存在。模型（5.6）的轨迹如图1:0 100 200 400 600 700所示-10-图1所示的诱导模型TX（t）的5 0 5 10A轨迹。对于t=0，…，x（t）的轨迹，从模型（5.6）中模拟700，α=1.09804，β=0.7，其中ε（t）∝ N（0，1）和η（t）∝N0, 1.6对于每一个t，轨迹清楚地表明，（5.12）中x（t）的周期性受到随机扰动的影响。两个经济计量模型的显式解166。讨论对于模型（2.2），我们给出了它的转移矩阵M的显式分解，显式解，以及该解的两个关键性质。此外，我们还提供并分析了由（2.2）导出的商业周期（5.6）模型的解决方案。我们推导出的解释性表述有助于更好地理解这些模型解的计量经济学行为，并可以作为进一步分析它们的起点。感谢我要感谢L.Thomas Ramsey教授推动了模型（2.2）的研究。

卢明涛指出了经济增长模型和商业周期的一些参考。本文的主要部分是作者在美国夏威夷大学数学系完成的。商业周期模型：一篇评论文章。《东方经济杂志》14（2），第197-202页。伯恩斯、A.F.和W.C.米切尔（1946年）。衡量商业周期。美国马萨诸塞州剑桥：国家经济研究局。雅各布森，N.（1953年）。抽象代数讲座，第二卷，线性代数。SpringerScience+Business Media，LLC.Kydland，F.E.和E.C.Prescott（1977年）。规则而非自由裁量权：最优计划的不一致性。《政治经济学杂志》85（3），第473-492页。凯德兰，F.E.和E.C.普雷斯科特（1982）。是时候构建和聚合功能了。《计量经济学》50（6），第1345-1370页。卢卡斯，R.E.（1977）。理解商业周期。卡内基-罗切斯特公共政策系列会议5（1），7-29。卢卡斯，R.E.（1991）。商业周期模型。威利·布莱克威尔。奥梅罗德，P.（1998）。黄油泡沫经济学：一种新的社会和经济行为的一般理论。英国伦敦：费伯和费伯有限公司，奥梅罗德，P.（2001）。商业周期的凯恩斯主义微观基础：全球化的一些影响。在P.Arestis、M.Baddeley和J.McCombie（编辑）的著作中，什么是全球经济危机？，第203-218页。英国伦敦：麦克米伦出版社有限公司，美国新泽西州普林斯顿普林斯顿普林斯顿大学统计与机器学习中心和刘易斯·西格勒整合经济学研究所，邮编：08544电子邮件地址：xiongzhi@princeton.edu