向量时间序列模型及其诱导模型的显式解

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英文标题：
《Explicit solutions to a vector time series model and its induced model
  for business cycles》
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作者：
Xiongzhi Chen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This article gives the explicit solution to a general vector time series model that describes interacting, heterogeneous agents that operate under uncertainties but according to Keynesian principles, from which a model for business cycle is induced by a weighted average of the growth rates of the agents in the model. The explicit solution enables a direct simulation of the time series defined by the model and better understanding of the joint behavior of the growth rates. In addition, the induced model for business cycles and its solutions are explicitly given and analyzed. The explicit solutions provide a better understanding of the mathematics of these models and the econometric properties they try to incorporate.
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中文摘要：
本文给出了一个通用向量时间序列模型的显式解，该模型描述了在不确定性条件下但根据凯恩斯原理运行的相互作用的异构代理，从中可以通过模型中代理的增长率的加权平均来建立一个商业周期模型。显式解可以直接模拟模型定义的时间序列，更好地理解增长率的联合行为。此外，还明确给出并分析了商业周期的诱导模型及其求解方法。显式解提供了对这些模型的数学以及它们试图结合的计量经济学性质的更好理解。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Explicit_solutions_to_a_vector_time_series_model_and_its_induced_model_for_busin.pdf (440.64 KB)

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关键词：时间序列模型 时间序列 Quantitative Multivariate Time Series

商业周期的向量时间序列模型及其诱导模型的显式解熊志成摘要。本文给出了一个广义向量时间序列模型的显式解，该模型描述了在不确定性条件下运行的、相互作用的、异构的代理，并根据凯恩斯原理，通过模型中代理增长率的加权平均值，导出了一个商业周期模型。显式解决方案能够直接模拟模型定义的时间序列，更好地理解增长率的联合行为。此外，还明确给出并分析了商业周期的诱导模型及其求解方法。明确的解决方案提供了对这些模型的数学以及它们试图结合的计量经济学性质的更好理解。内容1。导言12。向量自回归模型23。转移矩阵的分解33.1。M 33.2的Jordan标准形。63.3基矩阵的显式形式。基94的矩阵的逆。显式解及其性质114.1。非平稳性114.2。限制行为125。商业周期的诱导模型135.1。周期解。讨论16致谢16参考文献161。引言商业周期的研究和建模在经济理论和实践中具有重要意义；例如，参见Burns and Mitchell（1946）、Lucas（1977）、Kydland和Precott 2010数学学科分类。初级91B62，62M10；中学91B70。关键词和短语。循环经济行为，乔丹标准型，二阶微分方程，平稳性，向量自回归模型，弱收敛。两个经济计量模型的显式解2（1977）和Kydland and Prescott（1982）。阿金和米勒（1988年）和卢卡斯（1991年）保证了商业周期模型的各种形式。

其中一个是在Ormerod（2001）中提出的（较早但随后发表），它基于相互作用的异构代理，这些代理在未来的不确定性下行为，但符合凯恩斯主义原则。该模型非常通用，Ormerod（1998）第9章详细介绍了该模型的原理和良好性能。尽管Ormerod（2001）或Ormerod（1998）只提供了作为“积分方程”的模型的部分解，但没有分析模型的数学性质，也没有分析与模型相关的个体制剂的生长率应如何表现。此外，还没有对商业周期的归纳模型进行数学分析。这使得对模型中使用的增长率和诱导模型能够捕捉的商业周期的长期计量经济行为的理解变得不那么透明，而且有些困难。为了解决这些问题，我们推导了模型和诱导模型的显式解，分析了这些解的关键性质，并将它们的数学特征与计量经济学含义联系起来。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们陈述了自回归模型，第3节提供了模型中涉及的转移矩阵（见（2.3））的显式分解。第4节给出了模型及其性质的显式解，第5节探讨了商业周期及其性质的诱导模型的解。第6节中的简短讨论结束了本文。2、向量自回归模型i=1，n加n∈ R和t∈ Z+={m∈ Z:m≥ 0}，假设xi（t）是第t个时期内第i个企业产出的增长率，yi（t）是第t个时期内形成的第i个企业未来情绪的变化率=w=（w。

，wn）∈ Rn:min1≤我≤nwi>0，Xni=1wi=1.产出的总体增长率是个体增长率的加权和，对于某些b=（b，…，bn），定义为“x（t）=Pni=1bixi（t）∈ Cn，情绪的总体增长率是个体yi（t）的加权和，对于某些a=（a，…，an），定义为“y（t）=Pni=1aiyi（t）∈ 中国。此外，{xi（t）}ni=1和{yi（t）}ni=1由Ormerod（2001）提出的模型关联为（2.1）（xi（t+1）=（1）- α） xi（t）+α[\'y（t）+εi（t）]yi（t+1）=（1）- β） 易（t）- 常数α，β的β[\'\'x（t）+ηi（t）]∈ R、 εi（t）∝ Nui，σiηi（t）=εn+i（t）∝ Nun+i，σn+i对于ui，un+i∈ R和σi和σn+i>0，其中ξ∝ Nu, σ表示ξ为正态分布，密度为μg，σ（x）=√2πσ-1exph-2σ-1（x）- u）3X两个计量经济模型的iEXPLICIT解决方案∈ R.这里我们假设所有随机向量都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）在哪里Ohm 是样本空间，F aσ代数Ohm, 概率测量。设xt=（x（t），xn（t）），yt=（y（t），yn（t）），zt=（xt，yt）t，εt=（ε（t），εn（t）），ηt=（η（t），ηn（t））和γt=（αε（t），-βη（t））t，其中上标t表示矩阵的转置。进一步，让我们来看看s女士，s女士∈ N是s×sreal矩阵的集合，当s=s时，用Ms表示。然后模型（2.1）可以重写为（2.2）zt+1=Mzt+γt，其中“转移矩阵”（2.3）M=（1- α） 在α1Tna中-β1Tnb（1- β） 进来！∈ M2n表示s×s单位矩阵，1表示s one的行向量。模型（2.2）将存储在向量ZT中的代理的增长率捆绑在一起，其中ZT通过矩阵M诱导的映射发送到不久的将来。因此，它限制了ZT应该如何共同行为。然而，{zt}Z+中没有明确的解决方案。

这使得直接模拟{zt}Z+变得困难，并且难以从数学和经济计量角度理解{zt}Z+的长期行为。3.对转移矩阵进行分解，以探讨{zt}t的长期行为∈在模型（2.2）中，一个有效的策略是将2n×2n矩阵M分解为简单矩阵的乘积。为此，我们需要了解由2n×2n矩阵M导出的映射的非平凡不变子空间（如果存在）。为了保持模型（2.2）的良好经济意义，自然要假设（3.1）（α，β）/∈ {(0, 0) , (1, 1)}.本节给出的结果与t的分布假设无关∈ Z+3.1。M的Jordan标准形。在本小节中，我们在向量空间R2nover R中提供了M的Jordan标准形（参见Jacobson（1953）的定义）。这将有助于转换{zt}t的迭代恒等式，即（2.2）∈Z+转化为（4.1）中的直接、明确的表达，而不计算平均值“xtor”yt。对于θ∈ R集J（θ）=θ，对于自然数R≥ 2确定约旦地块（3.2）Jr（θ）=θ 1θ 1......θ 1θ∈ mr两个计量经济模型的显式解4，其对角线项均为θ，超对角线项均为1，且无标记的中心均为零。设f（λ）=λI- M |是M的特征多项式， =α+ β- 6αβ，d=3.- 2.√β和d=3 + 2√β. 下面的定理给出了f（λ）的定理和关于M可对角化的条件。定理1。特征多项式（3.3）f（λ）=（λ- 1+β）n-1(λ - 1+α）n-1g（λ）与（3.4）g（λ）=（λ）- 1)+ (λ - 1) (α + β) + 2αβ.所以，f（λ）总是有实根λ=1- α和λ=1- β.

此外，以下结论成立：（1）如果min{d，d}<α<max{d，d}，那么f（λ）没有其他实根，M不能在向量空间R2nover R中对角化。（2）如果α≤ min{d，d}或α≥ max{d，d}，那么f（λ）还有两个实根λ=-1.2.- α - β +√λ=2-1.2.- α - β -√. 如果α<min{d，d}或α>max{d，d}，M的约当标准形是对角矩阵（3.5）J=Q-1MQ=诊断{λIn-1，λI，λIn-一类非奇异矩阵Q的1，λI}∈ M2n。然而，如果α=dorα=d，M在向量空间R2nover R中不可对角化，且M的约当标准形为（3.6）J=Q-1MQ=diag{λIn-1，λIn-一类非奇异矩阵Q的1，J（λ）}∈ M2n。证据对于某些ε≥ 0，设（3.7）Mε=（1）- α - ε） 在α1Tna中-β1Tnb（1- β） 进来！，和（3.8）Mλ，ε=λI2n- Mε=（λ）- 1+α+ε）In-α1Tnaβ1Tnb（λ- 1+β）英寸！。那么M=M，很明显λ=1- α和λ=1- 当（sinf=λ）的根（sinf=λ）小于λ时。要找到f（λ）的其他根，设置ε=In-βλ-1+α+εTnb In！∈ M2nEXPLICIT两个计量经济模型的解5，其中ε>0现在假设，0表示一个矩阵，具有相同的相容维度零项。然后| Tε|=1和| Mε=TεMλ，ε=In-βλ-1+α+εTnb In！(λ - 1+α+ε）I-α1Taβ1Tb（λ- 1+β）英寸=(λ - 1+α+ε）In-α1Tnaαβλ-1+α+εb1tna+（λ- 1+β）英寸！。（3.9）因此，利用事实b1Tn=1和西尔维斯特行列式定理，我们得到f（λ）=|λI2n- M |=limε→0T-1ε~Mε= limε→0~Mε= limε→0|(λ - 1+α+ε）I | nαβλ - 1+α+εTna+（λ- 1+β）In= limε→0(λ - 1+α+ε）n（λ- 1+β）n-1.(λ - 1 + β) +αβλ - 1 + α + ε因此，（3.3）和（3.4）保持不变，即f（λ）=（λ- 1+β）n-1(λ - 1+α）n-1g（λ）。这意味着f（λ）总是有根λ=1- α和λ=1- β.现在我们讨论f（λ）的额外根，将应用Jacobson（1953）关于jordan标准形的理论。

在不丧失一般性（WLOG）的情况下，假设其余证明为d=min{d，d}和d=max{d，d}。很容易验证（3.4）中g的行列式是 = α+ β- 6αβ = 0当且仅当α=3.- 2.√β或α=3 + 2√β. 通过（3.3）和二次函数的性质，我们发现当α≤ 多尔α≥ 但当d<α<d时，不再有重根。因为f（λ）不能写成qj（λ）- λj）对于实λjnd<α<d，M不能在向量空间R2nover R中对角化。最后，我们推导了与每个λifor i=1，4当α≤ 多尔α≥ d、 在这种情况下，α6=β，f（λ）的形式为qj（λ）- λj）对于实λjand-Mcan可能是对角化的。对于λ=1- α、 我们有（3.10）米- λI2n=0α1Tna-β1Tnb（α- β） 在！。所以，当α6=β时，我们有秩（M- λI2n）=n+1和ρM（λ）=2n- 排名（米）- λI2n）=n- 其中ρA（λ）表示A的核空间的维数- λIs对于一个平方矩阵∈ Msandλ∈ R作为线性映射v7→ （A）- λ是）v，表示列向量v∈ λ=1的两个经济计量模型的Rs显式解- β、 我们有（3.11）米- λI2n=（β- α） 在α1Tna中-β1tnb0！。所以，当α6=β时，秩（M- λI2n）=n+1和ρM（λ）=2n- 排名（米）-λI2n）=n- 1.对于λ和λ，当α<dorα>d时，我们立即看到响应它们的Jordan块分别是J（λ）=λ和J（λ）=λ，因为λ和λ都是f（λ）的单根。因此，Pi=1ρM（λi）=2n，存在一个（3.5）成立的非奇异矩阵Qsuch。然而，对于λ和λ，当α=dorα=d时，λ=1- 2.-1（α+β）成为双根和M- λI2n=-1(β - α） 在α1Tna中-β1Tnb-2.-1(β - α） 在！。为了确定ρM（λ），M的秩rλ- 需要获得λi2n。从（3.9）中，我们知道rλ是mλ=α的值-β-In-α1Tnaβ-α-In-2αββ-αTna！。设定B=β-α-In-2αββ-α-Tna。然后| B |=0，即，由于a1Tn=1且α=dor dimpliesβ，秩（B）<n-α=2αββ-α. 因此，必须得到B的秩才能得到rλ。

让我们(-1） 通过从a和Bn中删除一个条目而得到的向量-1=β-α-In-1.-2αββ-αTn-1a(-1).然后| Bn-1| =β - α在里面-1.-4αβ(β - α） Tn-1a(-1)=β - αN-1.1.- a(-1） Tn-1.根据a的定义，6=0。因此，等级（B）=n-1和ρM（λ）=2n-排名（米）-λI2n）=1。这意味着对应于λ的Jordan块是J（λ），并且pi=1ρM（λi）=2n- 1.因此，M不能在向量空间R2nover R中对角化。然而，存在一个非奇异的Q∈ M2nsuch thatJ=Q-1MQ=诊断{λIn-1，λIn-1，J（λ）}，这正好是（3.6）。这就完成了证明。3.2. 基矩阵的显式形式。定理1提供了M的特征分解。然而，它没有显示基Q的矩阵是什么。在下面的内容中，我们将只为定理1中的第二种情况显式地提供Q，对于这种情况，M可以对角化，因为这种情况使{zt}t∈Z+最适合于对其长期行为进行经济计量分析。对于整数s>1，设ei，s∈ Rs应确保只有ei，sis 1的两个经济计量模型的显式解为零，而其他模型的显式解均为零 Rslet span（B）是包含B的最小线性空间。我们有：定理2。假设α<dorα>dsuch（3.5）成立，那么（3.5）中的矩阵Q由（3.12）Q给出=WTλWTλWTλWTλ,在哪里，一个人≤ 我≤ N- 1,(3.13)WTλ=εT，εTn-1.εi=-B-1bi+1，ei，n-1, 0WTλ=εT，εTn-1.带εi=0, -A.-1ai+1，ei，n-1.WTλ=N-2αβ - α -√-1n行波管λ=N-2αβ - α +√-1nT.证明。回想一下，MQ=QJ，其中j=diag{λ，…，λ，λ，…，λ，λ，}如（3.5）所示，λ=1- α, λ= 1 - β, λ3,4= 2-1.2.- α - β ±√. 对于每个λi，i=1，…，我们将使用方程MQ=QJ和（3.5）得出q，4.为此，letx=（x，x）∈ r2n的x=（x，…，xn）和x=（xn+1。

，x2n）。对于λ=1- α、 我们有- λI2n=0α1Tna-β1Tnb（α- β） 进来！那（M）- λI2n）xT=0当且仅当（3.14）axT=0且xT=βbxTα- βTn.自a∈ Cn和axT=0时，很明显，当xT6=0时，X的某些分量必须是正的，而某些分量必须是负的。然而，由于βbxTα的符号-β是固定的，因此第二个标识in（3.14）迫使xto的组件具有相同的符号。因此，（3.14）仅当xT=0时保持不变，这就得到了bxT=0。换句话说，（3.15）~Wλ=ker（M- λI2n）=十、∈ R2n:bxT=0，xT=0,其中ker（A）表示方阵A的核空间∈ Msas a线性映射V 7→ 列向量v的Av∈ 自暗淡以来~Wλ= N-1，我们看到与λ相对应的本征空间是Wλ。此外，很容易验证εi=-B-1bi+1，ei，n-1, 0∈R21≤ 我≤ N- 1是Wλ的基础。对于λ=1- β、 我们有- λI2n=（β- α） 在α1Tna中-β1tnb0！。两个计量经济模型的显式解8So，（M）- λI2n）xT=0当且仅当（3.16）bxT=0且xT=αaxTα- βTn。通过对λ情况的相同推理，我们可以看到（3.17）~Wλ=ker（M- λI2n）=十、∈ R2n:axT=0，xT=0昏暗的~Wλ= N-1是对应于λ的本征空间。此外，很容易验证|εi=0, -A.-1ai+1，ei，n-1.∈ R21≤ 我≤ N- 1是Wλ的基础。对于λ3,4=1- 2.-1(α + β) ± 2-1.√, 我们有- λ3,4I2n=α1Tna中的τ-β1TnbδIn！，式中τ=β-α√δ=α-β√. LetT=Inτ-1.1Tnb In！M=T（M- λ3,4I2n）。那么M=Inτ-1.1Tnb In！α1Tna中的τ-β1TnbδIn=α1Tna0τ中的τ-1βα1Tna+δIn！，和ker（M- λ3,4I2n）=k~M因为| T |=1。显然，当且仅当（3.18）τxT+α1TnaxT=0且τ-1δ-1βα1Tna+InxT=0。因为τδ=-4.-1.β - α √β - α ±√= -4.-1h（β- α)- 我=-αβ和τ-1δ-1βα = -1，（3.18）中的第二个身份变成（3.19）特娜- 在里面xT=0因为矩阵a1Tn=1有唯一的特征值1，其对应的特征向量为1，所以对于某些c（3.19）的通解为xT=C1TN∈ R.让R=In-1.-1Tn-1a(-n） ，在哪里(-n） =（a。

一-1). 那么| R |=1-Pn-1i=1ai>0，因为∈ n和秩（R）=n- 1.那么，克尔特娜- 在里面= span（{1n}），以及（M）的通解- λ3,4I2n）xT=0是（3.20）x=-ατ-1X和x=c1n。因此，解空间为（M- λI2n）xT=0，即当τ=β时-α-√δ=α-β-√, is（3.21）~Wλ=跨度十、∈ R2n:x=N-2αβ - α -√-1n.两个计量经济模型的显式解进一步，解空间为（M- λI2n）xT=0，即当τ=β时-α+√δ=α-β+√, is（3.22）~Wλ=跨度十、∈ R2n:x=N-2αβ - α +√-1n.结合方程（M）的解- λiI2n）xT=0表示1≤ 我≤ 我们看到（3.12）与（3.13）保持一致。这就完成了证明。3.3. 矩阵的逆矩阵为基。接下来我们推导出逆Q-使M的完整、显式分解可用。尽管通常很难明确地找到一个大维矩阵的逆，即当n较大或相等时，模型（2.2）中涉及许多增长率，但逆Q-1术语非常简单（见定理3），因为权重a和b都代表凸组合，并且位于单纯形Cn中。为了说明结果，我们引入了一些符号。让τ-= 2.β - α -√-1,τ+= 2β - α +√-1、a(-1） =（a，…，an）和b(-1） =（b，…，bn）。召回（3.12）和（3.13）。然后，Q可以写成4×4块矩阵（3.23）Q=-B-1b(-1） 在-1Tn-1n×（n）-1） Tnn×（n）-1)-ατ-Tn-A.-1a(-1)-ατ+In-1.-ατ+Tn-1.,在哪里∈ Ms×shas所有条目均为零。此外，对于整数i和j，1≤我≤ J≤ 2n，让Eij∈ M2nbe，其第i个条目为1，其他条目为相同的Y，且为^c∈ R设Pi，j（^c）=I2n+^cEi，j。注意，对于任何矩阵A=（^aij）∈ M2N AEIJ的第j列是A的第i列，AEIJ的所有其他条目为零。定理3。